云南师范大学量子力学期末试题及答案ABC.docx
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云南师范大学量子力学期末试题及答案ABC
云南师范大学2011-2012学年（下）学期期末考试
量子力学试卷
学院专业年级学号姓名
考试方式：
闭卷考试时量：
120分钟试卷编号：
A
题号
-一一
二二二
-三
四
总分
评卷人
1、请写出德布罗意关系中粒子的频率公式
2、请给出动量表象中坐标算符的表达式
3、请给出不确定度关系的表达式
4、请给出力学量平均值随时间的变化公式
5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton量为H?
，本征函数族为｛f｝n0，对
应本征值为｛En0）｝n0。
Hamilton量在被施加微扰H?
之后变为H?
H?
0H?
，则能
1•请给出关于波函数随时间发展变化的假定。
（4分）
2•请叙述关于全同粒子的假定。
（4分）
3.请叙述关于算符的假定。
（6分）
4.
请叙述量子力学中关于自旋的假定。
（6分）
1•在单个电子穿过双缝装置的实验中确实存在规律，但是这个规律只是在电子数量很大的时候才存在。
（）
2•波函数的统计诠释其实只是一个假定
3.（x）是一维Schrodinger方程的解，则*（x）也是具有相同能量本征值的解
4.一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的
中央处。
（）
5.任何一种角动量J都遵守形如JJiJ的关系。
（）
6.如果A是厄米算符，则A（n是自然数）也是厄米算符。
（）
7.非定态下，任何力学量的平均值都一定随时间改变。
（）
8.自旋为半奇整数倍的全同粒子体系，其波函数对于两粒子交换是对称的。
（）
9.中心力场中，动量守恒而角动量不守恒。
（）
10.
n3的氢原子，其能级简并度为9。
（）
O
2
X
2
（10分）
a
1.一维谐振子（x）处在基态，波函数为
请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式:
2一维无限深势阱中的粒子,0xa,（x,0）J—（1cos—^sin—X。
求:
V5aaa
（1）任意时刻归一化的波函数（x,t）;
（2）任意时刻的能量平均值。
（10分）
3.{n}n为哈密顿量的本征值。
有一个状态为&!
C22$3，各系数模的平方之
和为1,试求
（1）测量能量的可能值及对应的概率；
（2）测量能量的平均值？
（3）在态下测量能量值，第一次测得E2,然后又对测量后得到的体系测量能量值，同样方法共测量了6次，则最后一次测得E3的概率为？
（4）在态下测量力学量>?
的值，测得的结果是什么？
（10分）
4.设氢原子处于状态
1<345
（r,,）3R32W）Yd,）丁RM'）Y」,）—R43（r）丫32（，）,
求：
（1）氢原子角动量平方及角动量Z分量的可能值、相应几率；
（2）角动量平方及角动量Z分量的平均值。
（10分）
云南师范大学课程考试
试卷参考答案及评分标准
课程名称：
量子力学考试班级：
物理09级ABCD班
解答及评分标准：
（A卷）
1.请写出德布罗意关系中粒子的频率公式
vE/h
、（每题4分，共20分）
2.请给出动量表象中坐标算符的表达式i—
Px
1
3.请给出不确定度关系的表达式AB列鋼1
4•请给出力学量平均值随时间的变化公式
dtti
5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton量为H?
，本征函数族为｛『人。
，对应本征值为｛En0）｝n0。
Hamilton量在被施加微扰H?
之后变为H?
H?
。
H?
，则能量本征函数的计算公式为kk0）'（0）hnk（0）n0）（准确到一级近似）。
nEkEn
二、简答题（共20分）
三、1•请给出关于波函数随时间发展变化的假定。
（4分）
微观体系状态随时间的变化由S.Eq.决定:
（3分）
i一严H（r,t）（1分）哈密顿算符：
H?
T?
V?
坐标空间中的S.Eq.
2•请叙述关于全同粒子的假定。
（4分）
1.全同粒子-内禀属性（如静止质量、电荷、自旋、磁矩或者寿命等等）完全一样的粒子。
（1分）
2.粒子全同性原理：
全同粒子具有不可区分性。
（1分）因此，由若干全同粒子构成的量子体系中，
任意交换两个粒子，不会引起体系状态的改变，（1分）即体系波函数在两个粒子交换下保持不变。
（1分）
3.请叙述关于算符的假定。
（6分）
算符假定：
1力学量使用相应的厄米算符来代表；（3分）
2.对完备的力学量完全集的本征函数族{k}k，展开定理成立，即任意的波函数，都可以用{k}k来展开。
（3分）
4.请叙述量子力学中关于自旋的假定。
（6分）电子自旋角动量的假定：
1.在空间任意方向上，其投影都只有两个值：
Sz一（2分）
2
2.每个电子都有一个和自旋角动量相关联的内
Is|
|S|
me
3自旋是一个力学量，对
应的算符要满足角动量
秉磁矩s,满足
的基本对易关系
AAA
SSiS（2分）
三、判断题（每题4分，共20分）
X
V
V
X
V
V
X
X
X
V
四、计算题（40分）
1（2分），已经归一化（2分）
:
5
由上式可得任意时刻波函数
任意时刻能量平均值
（x,0）
解:
（川）
1e
iE[t
iE2t
x*（x）x（x）dx|（x）|2xdx（2分）
由于（x）是偶函数，贝VI（x）I2x是奇函数，
利用：
奇函数的积分在对称区间上结果为0,得
x0（2分）
px*（x）px（x）dx（2分）
利用结论：
束缚本征态下，动量均值为0.
px0（2分）
2.—维无限深势阱中的粒子,0xa,（x,0）J—（1cos—^）sin—求:
V5aaa
（1）任意时刻归一化的波函数（x,t）;
（2）任意时刻的能量平均值。
（10分）
E（（x,t）,R（x,t））
这里可以用代入任意时
3.{n}n为哈密顿量的本征值。
有一个状态为Ci!
C22G3,各系数模的平方之
和为1,试求
（1）测量能量的可能值及对应的概率；
（2）测量能量的平均值？
（3）在态下测量能量值，第一次测得E2,然后又对测量后得到的体系测量能量值，同样方法共测量了6次，则最后一次测得E3的概率为？
（4）在态下测量力学量/?
的值，测得的结果是什么？
（10分）
解：
各系数模的平方之和为1,则波函数已经归一化。
（份）
（1）所以测得能量的可能值和概率为E1,|d|，E2,|C2|2，E3,|C3|2（3分）
（2）测量能量的平均值E|C1|2E!
|C2|2E2|C3|2E3（2分）
（3）在态下测量能量值，第一次测得E2,然后又对测量后得到的体系测量能量值，同样方法共测量了6次，则最后一次测得E3的概率为0（2分）
（4）在态下测量力学量A的值，测得的结果是可能值为A的全部本征值中的某一个，对应概率为用R的全部本征值展开后对应各本征态的系数模的平方。
（2分）
4.
V5
）R43（r）丫32（，），
相应几率；
（2）角动量平
设氢原子处于状态
（「，，）3R32（r）丫20（，）_3R21（r）丫11（，
求：
（1）氢原子角动量平方及角动量Z分量的可能值、方及角动量Z分量的平均值。
（10分）
1
解：
（1）角动量平方的可能值为62,22,122，相应概率为-
量的可能值为
9135
2相应及率为-,—，-。
（4分）
L2
999
_1
Lz09（）
（6分）
云南师范大学2011-2012学年（下）学期期末考试
星子力学试卷
彩试方式，闭卷彩试时虽：
120分钟试誉编号：
B
学院专业年级学号姓名
2、请给出敢呈志象甲势能卑符的未达o
3、请给出不确定度关系的表达式v
■4、守世虽具有的性质是和不随时间改变。
、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton呈为H,本征函数族为｛讷力乙，对
应本征值为⑺丁汇。
。
Hamilton呈在被赧加微折才之后变为H=,則能
量本征值的计隽公式为（准请
到二级近似）•
I诗分别给出坐标和动量表象中薛定谴方程的具滋比式•〔4分）
2•什么是粒子全同性原理？
（4分）
3.请给出所学过的求力学量平均道使用的公式。
（6分）
得分
评卷人
4.谴叙述量子力学中关于亡旋的假定。
（6分）
判断题.判断下列表述的lE误.（毎小题2分•共2U分）
1.在单个电子穿过双缝装署的实验中，偷实发生了千涉现象：
就是一个电子肖
己利自己发宅了干涉。
2・波函数的统讣産释只实只是-个低定.
3.—飨规则势场卞即7（力无奇◎的粒子.势函®TG）=7（y）,且处在耒缚态,
则在能量本征态下，坐悚的平均值一定为0（）
4.一维无限採势阱中的粒子处于基态，则三噸率分布的根大•宜点不出现在阱的
屮央处。
5.不是所有角动S7部道守形的关系。
（）
6,对于一个厄米算符，涨落为零的态就是它的本征态。
（）
九细果哈玄顿気不显含时间，则求任一时刻能呈平均値时•只需求E0时刻的能
量平均值即为所求。
（）
S.自旋知整数佶的全同粒子体系其波函数对于两粒节勺交换是反对称的.
（）
9・中心力场中，动虽和角动虽都守恒。
（）
10”6的氢原子，其能级简進为12。
1.一维谐振子（一处在基态，復函数为二
九（16分）
请计算该态下粒子坐标WB的平均勺（可能用到的公弍,
2•—维无限深势阱中的粒子，初始时刻态为0（纭0）=勺旳兀）以202（力讥3必仗人"（X）、如X）和03（x）分别为基态、第一撒魁和第一教发态本征殲。
3个系数嘆的平方和为。
求：
⑴任意时刻归一化的波函枚y心上）：
（2）任意时刻的能量平均值（1J分）
3•对于臬个体系，力学smw-化完备本征创継只有2入成员，分别为衍和相应的本征值为幻和勺.另一个力学至的归一化完备本征函数族亦只有2个成员，分別为么和亦用应的本征佢站刘场。
己知这两个本征承殺族之间的关系为
A=7^i+如I"=g松十申舛
与、•］（两组式子均己归一化）
.43I4/3i,
A=—_寸妬m=yA-
令有某态八在该态下和量力学勿得如继裟肝测量后的棗统再池星力学量凡潯到结果后再对测量后的系统再测量力学虽。
求最后测導结果不勘的几率。
（10分）
4.笔原子处于态0（匕&0）=*凡3耳】+彳魚鬲-彳心心中，问
J』J
co屮rm是否为能量的本征态？
若是，写出苴本征值.若不是，说明理由；
（2）在叭心0中，测角动虽平方肉结果有几种可能值？
相应几率为多少？
（10分）
试卷参考答案及评分标准
诔程名称：
量子力学考试班级，物理09级AECD班
试卷编号：
E命鬆教师签名20126月U日
解答及评分标准，（B卷）
一、（毋题」分，共20分）
1.清写出德布罗意关系中粒子的波长公式“i/p
2.请给出动鱼表第中势能算符的表达式”（加话
—■_-
3・请绐出不确定度关系的表达式AB>^||X.B]|
4.守怛复貝有的性质是平均值和各可能值出现悔皇不随创间改变。
5、在非勁并微扰论中，体系的原Hamilton£为耳，本征函数族戈｛诃忙,対
（准确到二级近似）。
龙的能呈本征值为
应本征值为噂洽若Haimlton在被施加徴扰才之方变为力二庇+力\相
二、简答题（共20分）
1.请分别给出坐标和动量表象中薛定谭方程的具体形式。
（4分）
坐标表薯？
小沁山1=卜丄1匸2十？
（刁叨『0（2分）ctlm
动量表象：
山°理0丄）=［一上_十卩俩厶）］0恥）（2分》ciIracp
2什么是粒子全同性竟理？
（4分）
全同粒子具有不可区分性C（丄分）因比，由若干全同粒子构成的量子体系中，任意交换两个粒子'不会引起•本系状态的改5L（2分）即体系疚函数在两个粒子交拱下保持不变。
（1分）
3清给出胪学过的求力学髭平均佰使用貯公式。
（6分）
A=（屮A（//）=J*iffAifdK37t）^=V|cJ24（3分）4诸叙述鱼子力手中关于自徒的假定.（6分）
电子自旋角乱鱼的假定
I在空间任意方向上，舐影祚只育两个值：
S八土”2分）
2•卸个电于都有一个和戲fe角裁虽相关联的内弟磁矩必•满足
必L皂（2分〉
|S|me
3启股昙一个力学鱼，帝应的算符爱满足角动食的基本对易关系
AAA
S於（2分）
三.判断题（期题4分，共20分）
J
J
X
X
J
J
X
X
X
口、计算题
co
解：
由于\\i/Ax）\2dx=l,所以波函数已经归一化（2分）
CO0
x-|y*（x）xy/（rMx一11y*）|2xy仅（2分）
■•
-co-cc
由于y/U）是偶函数，则0X）卩X是奇函数,
利用：
奇茎数的积分在对称区间上结果加，得
t=0（2分）
8
A=心）尤C分）
-<0
利用结论：
束縛本征态F,动呈均值加.
p„-0（2分）
2—维无限深聘阱中的將子，初始时刻态为i/ftxS））=C］i/4（刘+c21/6（x）+c彤⑴.加、"（X）和％（X）分别为辜态、第一激师和第二激发态牛征函故J个系数除的邛方和为L求：
⑴任祭时更归一化的波豳i//（x.ty.
⑵任意时刻的能量平均値a吩）
雛：
生已知，渡函救离归一化.Q分］
f型（ft?
⑴任意时刻归一化的［翅效为刚x#）=qw（狀h+c2y/2（x）eA+°區（立月Q分）
（2）任意时刻的能昼平均值
“gFe+C隔+血裁分）
求法要么是代入任童时刻波厨敖求平均值，冥么足使巨能虽守怛关系从初始时刻求出.
3•对于臬个体系，力学罢1的归一化完备本征函数挨只有2个成員，分别为0和％,柜应的本征值畑冋知另一个力学1B的扫一化完备本征逼数性亦只有2个戌•氐分别为/［和扫相应的本征值矩和®。
己知这两个本征函数族之问旳关系为
3,4.
1=7A+"T松
1两组式子均己归一化）
43i
%=严_評
今有某态0在该态下派量力学麻1得钏绻续对测量后的系统再测星力学量凡得到结果后再对漁量后的系统再测量力学莹4。
求最后测得結果不迪】的几率。
'10»趟：
第一次测得吟波国数坍缩，与-"（1分）
在孙下测艮可能值为耳和①，4分）概率分别为
b】（从分）
勾4）；；；（1分）
在上两个结呆中继线渋憧儿妾求的不是知那就是勺。
（1分）两种途径得到这个结吴
耳仏）-»02（仏）：
77（1分）
n
◎⑷1如（匕）：
讦口分）
最后得总概宰九：
91616928»心——XK——X——=IS”，25252525625
云南师范大学2011-2012学年（下）学期统一考试
量子力学试卷
学院》业年级学号姓名
考试方式：
闭卷考试时虽：
120分钟试卷諒寻C
题号
—
四
总分
评卷人
得分
评卷人
一、判斷题（每题4分•共20分）
判断卞而表述是否正确
X屮依）与10屮（"表示量子体疾的两个不同的狀态。
（）
2、微观粒子在仝简；处的动虽为lOkgm/s.
3、两个疋米算符有共叵本征函数族，则它们一定彼此对•易❾
5、电子自旋拜动量及自旅厳矩是电子言转形成的。
得分
评卷人
简答题
每小题4分,共20分）
（）
（）
4、一个体杀旳力学虽完全集収法是唯一的心
b什么是简并？
什么是简并度?
2.什么是波函数的合格条件?
3・什么是定态及非定态玻函数旳一股表达形式?
G写d束缚态非筍并哦扰"童计算一级近似公式及近似计算的洁用条件。
5.
什么是泡利不相容原理。
1•激观規孑具有波检二象性.其熒量E动量「体现粒子性，波长人，频率v体现波改性.
则体現粒子性的量与体现僉动性的量乙间有关杀是和
2.在W态下算符A附平均值刀二
3.初虽算符在动莹表象中可表示为彳=,在坐标表篆下
/=・
4.-维线性诸拯子的能级更度为2a的一维无限保势阱中牠子的能级
En二。
5.有算符A,B淸足対易关互[A,B]二iC,则A,B的测不准关系为・
6.[ly,li]=•
7.氢原子处在一个狀态，n-4,毙量的筒并度为:
1-3,角动量的面并度为•
8.坐标K对应本征值疋的本征函数为ibx（x>,蔑归一化可表为
（“幺）.叶⑻）=,
9.T=■
/r
10.
力学宣其符应是其苻〉同时还应是算贰
2氢原子处在状态屮（/@（p）=丿；付⑴））-£/备（〃丿;e•业），求氢原于
北気谢动量及句切量Z分量的可能值，对应几电及它们的平均值。
1-7
粒于处在%（:
）=
:
态的几率
3・氢原子处在基态*|心6屮）=-=^,求电子处在匚＞3久的几率。
试住参号再案及评分标海
课程名称：
命干力学考试班级；
试卷編号：
C命题软师签名2010年6n11
II
一、IX；2、X；3、J；4、X；5、J・（每題4分，共20分）
：
、（每岂」分，兵20分）
1•个杠征低与不止个的本征函数对虑的宿况称简并，对应的本征函数的个
敎为簡井，吨-
1在广I变屋变化的全部区域内.支即教m伯、有限、连纹。
左态屮（/,=屮//）詐非定态屮（/；=VOK/；）°
不能有两个戒两个以t的费密r处在同-卜氓粒f
2.（每题4分，丿〔20分）
7.16.
8.8（.V-3y）5（•存一屮）
9.j*屮并汽。
10线性，
•
尢密
8
2门卩（・7.）川P（"矗（4分）
PU.1
2.
=12—1
乙二亍力3r=-^C0厶M
a2*2d
■z
■—CD
4
F的Hf肚们-:
E〜上毘32力
和应几率为：
山
-30
?
1
•1公=—方CD
4
34
（6分）
（4分）
/的叮能值：
6/（
2时
几率列1/4,3/4。
7=3呼
（3分）
/的町能值：
0力
17/
*1应几率为：
1口
34
-133
y/■—.107/十亍M■—/）
（3分）
3・
85]2z
所求几率为II13”忘，勿&血心邓尹（6分）
=13/
（」分）
＜山戸,Cr—/心得別人=启（5分）
p尸j屮（・：
）屮二^（5分）
b81兀
22
丄秀4原于处于态0（人&、0）=］尺3『31+g艮1厶0-中'问
（1）0（匚氏⑷是否为能复的本征态？
若是，写出其本征值"若不是，说明理由:
Q）在0（尸.30）中，测角动复平方的结果有几种可能值？
相应几率为多少？
〔1。
分）
解：
（1）y/（匚Ry）满足方程肓i”=E#p,（2分）
所以它是熊量的本征态，本征佰为居。
Q分）
（2）逊为V|C„|2******9=VC2=1,所以波函数己经归一化.（2分）
1O
则昼角动量平方的可能值有两个，MM,相应几卒分别.为，（2分）
99
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