高考数学二轮复习专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质学案.docx

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高考数学二轮复习专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质学案

第1讲　函数的图象与性质

[考情考向分析]　1.函数的概念和函数的基本性质是B级要求，主要是利用函数图象，即通过数形结合思想解决问题.2.指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，B级要求.3.函数与方程是B级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，试题难度中等偏上．

热点一　函数性质及其运用

例1　

（1）（2018·江苏徐州铜山中学期中）已知函数f（x）＝ex－e－x＋1（e为自然对数的底数），若f（2x－1）＋f（4－x2）>2，则实数x的取值范围是________．

答案　（－1,3）

解析　令g（x）＝f（x）－1，则g（x）为奇函数，且为增函数，

由f（2x－1）＋f（4－x2）>2，得g（2x－1）＋g（4－x2）>0，所以g（2x－1）>g（x2－4），即2x－1>x2－4，

所以x2－2x－3<0，解得－1

（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝|x－a|－a（a∈R）．若∀x∈R，f（x＋2016）>f（x），则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，504）

解析　当a＝0时，f（x）＝x，x∈R，满足条件；

当a<0时，f（x）＝为R上的单调递增函数，也满足条件；

当a>0时，f（x）＝

要满足条件，需4a<2016，即0

综上，实数a的取值范围是a<504.

思维升华　

（1）可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．

（2）利用函数的单调性解不等式的关键是化成f（x1）

跟踪演练1　

（1）（2018·江苏省前黄中学等三校联考）若f（x）是周期为2的奇函数，当x∈（0,1）时，f（x）＝x2－8x＋30，则f（）＝__________.

答案　－24

解析　∵f（x）是周期为2的奇函数，当x∈（0,1）时，f（x）＝x2－8x＋30，

∴f ＝f ＝－f ＝－24.

（2）（2018·常熟期中）已知奇函数f（x）在上单调递减，且f

（2）＝0，则不等式>0的解集为________．

答案　（－2,0）∪（1,2）

解析　∵函数f（x）为奇函数且在（－∞，0）上单调递减，

∴f（x）在（0，＋∞）上也单调递减，

又∵函数f（x）为奇函数且f

（2）＝0，

∴f（－2）＝－f

（2）＝0，∴当x＜－2或0＜x＜2时，f（x）＞0，当－2＜x＜0或x＞2时，f（x）＜0（如图），

∴不等式>0等价于

或

解得x∈（－2,0）∪（1,2）．

热点二　函数图象及其运用

例2　

（1）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是________．

答案　[－2,0]

解析　函数y＝|f（x）|的图象如图，y＝ax为过原点的一条直线，当a＞0时，与y＝|f（x）|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a＝0时，成立；当a＜0时，找与y＝|－x2＋2x|（x≤0）相切的情况，即y′＝2x－2，切线方程为y＝（2x0－2）（x－x0），由分析可知x0＝0，所以a＝－2，综上，a∈[－2,0]．

（2）已知函数f（x）＝若a

答案　

解析　作出函数f（x）＝的图象，如图所示．

∵当a

∴－log4a＝log4b，即log4a＋log4b＝0，则log4（ab）＝0，

∴

∴16＝24

即c的取值范围是.

思维升华　

（1）涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围；

（2）图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用常与图象数形结合研究．

跟踪演练2　

（1）已知定义在区间上的函数y＝f的图象如图所示，对于满足0

①f－f>x2－x1；

②x2f>x1f；

③

其中正确的结论是________．（把所有正确结论的序号都填写在横线上）

答案　②③

解析　由f －f >x2－x1，可得>1，即两点与连线的斜率大于1，显然①不正确；由x2f >x1f ，得>，即表示两点，与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③正确．

（2）（2018·江苏省常州市横林高中月考）已知函数f（x）＝则不等式f（2x2－|x|）≤5的解集为________．

答案　

解析　方法一　作出函数f（x）的图象如图所示．

若2x2－<0，则不等式f ≤5恒成立，此时<0，得0<<；

若2x2－≥0,∵f ＝5，∴不等式f ≤5等价于f ≤f，

则2x2－≤1,则0≤≤1,又≥或≤0，

∴≤≤1或＝0，

综上，0≤≤1，故－1≤x≤1.

方法二　∵f

（1）＝5，∴f（2x2－|x|）≤5等价于2x2－|x|≤1，

解得0≤|x|≤1，故－1≤x≤1.

热点三　函数与方程

例3　

（1）函数f（x）＝4cos2·cos－2sinx－|ln（x＋1）|的零点个数为________．

答案　2

解析　f（x）＝4cos2sinx－2sinx－|ln（x＋1）|

＝2sinx·－|ln（x＋1）|

＝sin2x－|ln（x＋1）|，

令f（x）＝0，得sin2x＝|ln（x＋1）|.

在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln（x＋1）|的大致图象如图所示．

观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f（x）有2个零点．

（2）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x）＝－2f（x＋1），当x∈时，f（x）＝x2，若函数y＝af（x）－log4（x＋1）（a>0）恰有4个零点，则a的取值范围是________．

答案　4

解析　函数y＝af（x）－log4（x＋1）恰有4个零点，等价于y＝af（x）与y＝log4的图象有4个交点，则a＞0，画出y＝af（x）与y＝log4（x＋1）的图象．

∵f（x）满足f（x）＝－2f（x＋1），当x∈时，f（x）＝x2，

∴当x∈时，f（x）＝－2（x＋1）2，

由图象知在上两图象有一个交点，在上有两个交点，只需在上有一个交点即可，如图，

解得4

思维升华　

（1）求解零点或零点个数的方法：

解方程法、利用零点存在的判定定理、数形结合法．

（2）利用函数零点的情况求参数范围的方法：

①利用零点存在的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解；③转化为熟悉的两函数图象的上、下关系，从而构建不等式求解．

跟踪演练3　

（1）（2016·江苏）定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．

答案　7

解析　在区间[0,3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cosx的简图如下：

由图象可得两图象有7个交点．

（2）（2018·江苏省海门中学模拟）已知函数f（x）＝若f（x）在区间[0，＋∞）上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　当0≤x≤1时，由2x2＋2mx－1＝0，得m＝－x＋（x＝0显然不是零点），

当x>1时，函数的零点满足mx＋2＝0，则m＝－，

由题意可得函数y＝m与函数g（x）＝有两个不同的交点，绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数m的取值范围是.

1．（2016·江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1）上，f（x）＝其中a∈R.若f ＝f ，则f（5a）的值是________．

答案　－

解析　由已知得，

f ＝f ＝f ＝－＋a，

f ＝f ＝f ＝＝.

又f ＝f ，

则－＋a＝，∴a＝，

∴f（5a）＝f（3）＝f（3－4）＝f（－1）

＝－1＋＝－.

2．（2018·江苏）若函数f（x）＝2x3－ax2＋1（a∈R）在（0，＋∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．

答案　－3

解析　f′（x）＝6x2－2ax＝2x（3x－a）（x＞0）．

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

又f（0）＝1，∴f（x）在（0，＋∞）上无零点，不合题意．

②当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞，

由f′（x）＜0，解得0＜x＜，

∴f（x）在上单调递减，

在上单调递增．

又f（x）只有一个零点，∴f ＝－＋1＝0，∴a＝3.

此时f（x）＝2x3－3x2＋1，f′（x）＝6x（x－1），

当x∈[－1,1]时，f（x）在[－1,0]上单调递增，在（0,1]上单调递减．

又f

（1）＝0，f（－1）＝－4，f（0）＝1，

∴f（x）max＋f（x）min＝f（0）＋f（－1）＝1－4＝－3.

3．（2017·江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1）上，f（x）＝其中集合D＝，则方程f（x）－lgx＝0的解的个数是________．

答案　8

解析　由于f（x）∈[0,1），则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，x∈Q，且x∉Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质．若lgx∈Q，则由lgx∈（0,1），可设lgx＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质．因此

＝，

则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lgx∉Q，因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分的交点，画出函数草图．图中交点除（1,0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x∉D部分，且x＝1处（lgx）′＝＝<1，则在x＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.

4．（2018·无锡期中）已知函数f（x）＝－，则f（a＋1）＋f（a2－1）>0的解集为________．

答案　（－1,0）

解析　函数f（x）的定义域为R.

f（－x）＝－＝，

f（x）＝－＝，

所以f（－x）＝－f（x），f（x）为奇函数．

又f（x）＝－在R上单调递减，

所以f（a＋1）＋f（a2－1）>0⇔f（a＋1）>f（1－a2），

所以a＋1<1－a2，解得－1

5．（2018·江苏高考预测）已知a>0，若函数f（x）＝且g（x）＝f（x）－ax2有且只有5个零点，则a的取值范围是________．

答案　（2，e）

解析　由题意可知，x＝0是g（x）的1个零点，

当x≠0时，由f（x）＝ax2可得

a＝

令h（x）＝（x＞0），则h′（x）＝.

当00，当x>时，h′（x）<0，

∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减，

∴h（x）≤h（）＝e，且当x→＋∞时，h（x）→0，当x→0时，h（x）<0.

在同一平面直角坐标系中作出h（x）和y＝的图象，

由图可知，g（x）＝f（x）－ax2有且只有5个零点需满足2

则a的取值范围是（2，e）．

A组　专题通关

1．已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，且在（－∞，0]上单调递增，若a＝f（

），b＝f（log35），c＝f（0.20.5），则a，b，c的大小关系为________．（用“＜”连接）

答案　b

解析　∵f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，

∴a＝f（

）＝f（－log53）＝f（log53），

∵1>log53>log5＝，log35>log33＝1,0<0.20.5＝<，∴0.20.5

∵f（x）在上是增函数，

∴f（x）在上为减函数，

则f>f>f，即b

2．已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数．当x∈[2,4]时，f（x）＝，则f 的值为____________．

答案　

解析　由函数的周期性可得f ＝f ＝f ，

由函数的奇偶性可得f ＝f ＝|log42|＝.

3．函数y＝logax（a>0且a≠1）在x∈[2，＋∞）上恒有|y|>1，则a应满足的条件是_______．

答案　

解析　若0

由题意知loga2<－1，∴a∈.

若a>1，当x≥2时，logax>0，∴logax>1.

由题意知loga2>1，∴a∈（1,2）．

综上可知，

4．若函数f（x）＝在R上是增函数，则a的取值范围为________．

答案　

解析　由题意得

∴a∈.

5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x－2，则不等式f（x－1）≤2的解集是________．

答案　[－1,3]

解析　因为偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f

（2）＝2.

所以f（x－1）≤2，即f（|x－1|）≤f

（2），

即|x－1|≤2，所以－1≤x≤3.

6．函数f（x）＝2x－

（x－1），x∈（1,3]的值域为______．

答案　（－∞，7]

解析　∵u1＝

（x－1）在（1,3]上为减函数，

∴u2＝－

（x－1）在（1,3]上为增函数．

又u3＝2x在（1,3]上也为增函数，

∴f（x）＝u3＋u2＝2x－

（x－1）在（1,3]上为增函数．

故f（x）的值域为（－∞，7]．

7．若函数f（x）＝（a，b∈R）为奇函数，则f（a＋b）的值为________．

答案　－1

解析　因为函数f（x）为奇函数，所以f（－1）＝－f

（1），

f（－2）＝－f

（2），即

解得a＝－1，b＝2.经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，

所以f（a＋b）＝f

（1）＝－1.

8．已知函数f（x）＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f（mx－2）＋f（x）<0恒成立，则x的取值范围是________．

答案　

解析　∵f′（x）＝3x2＋1>0，

∴f（x）在R上为增函数．

又f（x）为奇函数，由f（mx－2）＋f（x）<0知，f（mx－2）

令g（m）＝mx＋x－2，m∈[－2,2]，

由g（m）<0恒成立，可得

∴－2

9．若函数f（x）＝|x2－4x|－2m＋1在区间上有3个不同零点，则实数m的取值范围为________．

答案　

解析　令g（x）＝|x2－4x|，

在同一直角坐标系中作出函数y＝g（x）和y＝2m－1的图象如图所示，则函数f（x）有3个不同零点等价于直线y＝2m－1与函数y＝g（x）的图象有3个不同交点．

因为g（0）＝g（4）＝0，g（－1）＝5,g

（2）＝4，g＝，结合图象分析可得

<2m－1<4，解得

所以实数m的取值范围为.

10．已知函数f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝－x2＋x.若不等式f（x）－x≤2logax（a>0且a≠1）对∀x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　由已知得当x>0时，f（x）＝x2＋x，

故x2≤2logax对∀x∈恒成立，

即当x∈时，函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，

可以从图象（图略）知0

解得≤a<1.

B组　能力提高

11．函数f（x）＝的值域为________．

答案　

解析　函数f（x）＝的定义域为{x|x≥－1}，

则当x＝－1时，f（－1）＝0.

当x＞－1时，

f（x）＝＝

＝，

∵x＋1＋≥4，

当且仅当x＝1时，等号成立，

∴≤＝.

故函数f（x）＝的值域为.

12．设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<0，则实数a的取值范围是________________．

答案　

解析　设g（x）＝ex（2x－1），h（x）＝ax－a，由题意知存在唯一的整数x0，使得g（x0）

因为g′（x）＝ex（2x＋1），可知g（x）在上单调递减，在上单调递增，

作出g（x）与h（x）的大致图象如图所示，

故

即

所以≤a<1.

13．（2018·江苏省姜堰等三校联考）若方程|x2－2x－1|－t＝0有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则2＋的取值范围是______．

答案　（8,4]

解析　如图，作出函数y＝|x2－2x－1|和y＝t的图象．

由图象知，0＜t＜2，

因为|x2－2x－1|－t＝0，所以|x2－2x－1|＝t，

故x2－2x－1－t＝0或x2－2x－1＋t＝0，

则x4－x1＝

＝＝，同理可得

x3－x2＝，

故2（x4－x1）＋（x3－x2）＝2＋，

令f（t）＝2＋（0＜t＜2），

则f′（t）＝，令f′（t）＝0得t＝，

故f（t）在上是增函数，在上是减函数，

而f＝4，f（0）＝6，f

（2）＝8，

故2（x4－x1）＋（x3－x2）的取值范围是（8,4]．

14．已知函数f（x）＝log2（2x＋1）．

（1）求证：

函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调递增；

（2）若g（x）＝log2（2x－1）（x>0），且关于x的方程g（x）＝m＋f（x）在[1,2]上有解，求m的取值范围．

（1）证明　任取x1

f（x1）－f（x2）＝log2（

＋1）－log2（

＋1）

＝log2

，

∵x1

∴0<

<1，

∴log2

<0，

∴f（x1）

即函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调递增．

（2）解　方法一　由g（x）＝m＋f（x），得

m＝g（x）－f（x）＝log2（2x－1）－log2（2x＋1）

＝log2＝log2，

当1≤x≤2时，≤≤，

∴≤1－≤，

∴m的取值范围是.

方法二　解方程log2（2x－1）＝m＋log2（2x＋1），

得x＝log2，

∵1≤x≤2，∴1≤log2≤2，

解得log2≤m≤log2.

∴m的取值范围是.

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

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读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

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  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

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幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。