版高中数学苏教版必修一学案221 函数的单调性二.docx

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版高中数学苏教版必修一学案221函数的单调性二

2.2.1　函数的单调性

（二）

学习目标

　1.理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．

知识点一　函数的最大（小）值

思考　在如图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？

1为什么不是最小值？

梳理　设y＝f（x）的定义域为A.

如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最大值，记为ymax＝f（x0）．

如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最小值，记为ymin＝f（x0）．

知识点二　函数的最大（小）值的几何意义

思考　函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：

试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．

梳理　函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点．

知识点三　函数的单调性与最值

若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是单调增函数，则函数的最小值为ymin＝f（a），最大值为ymax＝f（b）；若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是单调减函数，则函数的最小值为ymin＝f（b），最大值为ymax＝f（a）．即单调函数在闭区间上必有最大值、最小值．

类型一　借助单调性求最值

例1　已知函数f（x）＝

（x>0），求函数的最大值和最小值．

反思与感悟　

（1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上为单调增函数，则f（x）的最大值为f（b），最小值为f（a）．

（2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上为单调减函数，则f（x）的最大值为f（a），最小值为f（b）．

（3）若函数y＝f（x）有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大（小）．函数的最大（小）值是整个值域范围内最大（小）的．

（4）如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．

跟踪训练1　已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－1|.

（1）画出f（x）的图象；

（2）根据图象写出f（x）的最小值．

类型二　求二次函数的最值

例2　

（1）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f（x）的最值；

（2）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值；

（3）已知函数f（x）＝x－2

－3，求函数f（x）的最值；

（4）“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h（t）＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？

这时距地面的高度是多少（精确到1m）?

反思与感悟　

（1）二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．

（2）图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．

跟踪训练2　

（1）已知函数f（x）＝x4－2x2－3，求函数f（x）的最值；

（2）求二次函数f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；

（3）如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h（单位：

m）与水平距离x（单位：

m）之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋

，x∈[0，

]，求水流喷出的高度h的最大值是多少？

类型三　函数最值的应用

例3　已知x2－x＋a>0对任意x∈（0，＋∞）恒成立，求实数a的取值范围．

引申探究　

若将本例中“x∈（0，＋∞）”改为“x∈（

，＋∞）”，再求a的取值范围．

反思与感悟　恒成立的不等式问题，任意x∈D，f（x）>a恒成立，一般转化为最值问题：

f（x）min>a来解决．任意x∈D，f（x）

跟踪训练3　已知ax2＋x≤1对任意x∈（0,1]恒成立，求实数a的取值范围．

1．函数y＝－x＋1在区间[

，2]上的最大值是________．

2．函数f（x）＝

在[1，＋∞）上的最大值为________．

3．函数f（x）＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分别为________．

4．已知函数f（x）＝

则f（x）的最大值，最小值分别为________．

5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈（0，

]恒成立，则a的最小值为________．

1．函数的最值与值域、单调性之间的联系

（1）对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝

.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．

（2）若函数f（x）在闭区间[a，b]上单调，则f（x）的最值必在区间端点处取得．即最大值是f（a）或f（b），最小值是f（b）或f（a）．

2．二次函数在闭区间上的最值

探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f（x）的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大（小）值不一定在顶点处取得．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．

知识点二

思考　x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点．

题型探究

例1　解　设x1，x2是区间（0，＋∞）上的任意两个实数，且x1

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

＝

.

当x10，x1x2－1<0，

f（x1）－f（x2）<0，f（x1）

∴f（x）在（0,1]上为单调增函数；

当1≤x10，x1x2－1>0，

f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2），

∴f（x）在[1，＋∞）上为单调减函数．

∴f（x）max＝f

（1）＝

，无最小值．

跟踪训练1　解　

（1）f（x）的图象如图．

（2）由图知，f（x）在（－∞，－1]上为单调减函数，在[－1,1]上为常函数，在[1，＋∞）上为单调增函数，

∴f（x）min＝2.

例2　解　

（1）∵函数f（x）＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，

∴f（x）在[0,1]上为单调减函数，在[1,2]上为单调增函数，且f（0）＝f

（2）．

∴f（x）max＝f（0）＝f

（2）＝－3，

f（x）min＝f

（1）＝－4.

（2）∵对称轴x＝1，

①当1≥t＋2即t≤－1时，

f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，

f（x）min＝f（t＋2）＝t2＋2t－3.

②当

≤1

f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，

f（x）min＝f

（1）＝－4.

③当t≤1<

，即0

f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，

f（x）min＝f

（1）＝－4.

④当11时，

f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，

f（x）min＝f（t）＝t2－2t－3.

设函数最大值为g（t），最小值为φ（t），则有

g（t）＝

φ（t）＝

（3）设

＝t（t≥0），则x－2

－3＝t2－2t－3.

由

（1）知y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上为单调减函数，在[1，＋∞）上为单调增函数．

∴当t＝1即x＝1时，f（x）min＝－4，无最大值．

（4）作出函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象（如图）．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．

由二次函数的知识，对于函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：

当t＝－

＝1.5时，函数有最大值h＝

≈29.

于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.

跟踪训练2　解　

（1）设x2＝t（t≥0），则x4－2x2－3＝t2－2t－3.

y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上为单调减函数，在[1，＋∞）上为单调增函数．

∴当t＝1即x＝±1时，f（x）min＝－4，无最大值．

（2）∵函数图象的对称轴是x＝a，

∴当a<2时，f（x）在[2,4]上是单调增函数，

∴f（x）min＝f

（2）＝6－4a.

当a>4时，f（x）在[2,4]上是单调减函数，

∴f（x）min＝f（4）＝18－8a.

当2≤a≤4时，f（x）min＝f（a）＝2－a2.

∴f（x）min＝

（3）由函数h＝－x2＋2x＋

，x∈[0，

]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．

对于函数h＝－x2＋2x＋

，x∈[0，

]，

当x＝1时，函数有最大值

hmax＝－12＋2×1＋

＝

.

于是水流喷出的最高高度是

m.

例3　解　方法一　令y＝x2－x＋a，

要使x2－x＋a>0对任意x∈（0，＋∞）恒成立，只需ymin＝

>0，解得a>

.

∴实数a的取值范围是（

，＋∞）．

方法二　x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.

要使a>－x2＋x对任意x∈（0，＋∞）恒成立，

只需a>（－x2＋x）max，

又（－x2＋x）max＝

，∴a>

.

∴实数a的取值范围是（

，＋∞）．

引申探究　

解　f（x）＝－x2＋x在（

，＋∞）上为单调减函数，

∴f（x）的值域为（－∞，

），

要使a>－x2＋x对任意x∈（

，＋∞）恒成立，

只需a≥

，

∴a的取值范围是[

，＋∞）．

跟踪训练3　解　∵x>0，

∴ax2＋x≤1可化为a≤

－

.

要使a≤

－

对任意x∈（0,1]恒成立，

只需a≤（

－

）min.

设t＝

，∵x∈（0,1]，∴t≥1.

－

＝t2－t＝（t－

）2－

.

当t＝1时，（t2－t）min＝0，即x＝1时，（

－

）min＝0，

∴a≤0.

∴a的取值范围是（－∞，0]．

当堂训练

1.

　2.1　3.4,0　4.10,6　5.－