导数的简单应用与定积分.docx

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导数的简单应用与定积分

导数的简单应用与定积分

导数的简单应用与定积分

（1）

1.本部分内容高考的出题方式常见有三种

（1）利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义.

（2）考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解（证）不等式.

（3）用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法.

2.应对策略

首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.

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1．导数的几何意义

（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，即k＝f′（x0）．

（2）曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．

（3）导数的物理意义：

s′（t）＝v（t），v′（t）＝a（t）．

2．四个易误导数公式及两个常用的运算法则

（1）（sinx）′＝cosx.

（2）（cosx）′＝－sinx.

（3）（ax）′＝axlna（a＞0，且a≠1）．

1（4）（logax）′＝（a＞0，且a≠1）．xlna

（5）[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）．

（6）⎡f（x）⎤f′（x）g（x）－f（x）g′（x）′＝（g（x）≠0）．⎣g（x）⎦[g（x）]3．导数与函数单调性的关系

（1）f′（x）＞0是f（x）为增函数的充分不必要条件，如函数f（x）＝x3在（－∞，＋∞）上单调递增，但f′（x）≥0.

（2）f′（x）≥0是f（x）为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′（x）＝0时，则f（x）为常数，函数不具有单调性．

4．函数的极值与最值

（1）设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f（x）＜f（x0），那么f（x0）是函数的一个极大值，记作y极大值＝f（x0）；如果对x0附近的所有的点都有f（x）＞f（x0），那么f（x0）

是函数的一个极小值，记作y极小值＝f（x0）．极大值与极小值统称为极值．

（2）函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．

（3）函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．

（4）闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．

5．定积分的三个公式与一个定理及几何性质

（1）定积分的性质：

①⎛bkf（x）dx＝k⎛bf（x）dx；⎠a

⎠a

⎠a⎠ab②⎛b[f1（x）±f2（x）]dx＝⎛bf1（x）dx±⎛f2（x）dx；⎠a⎠a③⎛bf（x）dx＝⎛cf（x）dx＋⎛bf（x）dx（其中a＜c＜b）．⎠a⎠c

（2）微积分基本定理：

一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么⎛bf（x）dx＝F（b）－F（a）．⎠a

（3）定积分的几何性质：

如果在区间[a，b]上的函数f（x）连续且恒有f（x）≥0，那么定积分f（x）dx表示由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积．⎛⎠a

高考真题要回访，做好真题底气足

1．（2019·新课标全国卷Ⅱ）设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x.则a＝

（）

A．0B．1C．2D．3

2．（2019·山东）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）

A．2B．2C．2D．4b

3．（2019·陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（

）

A．y＝133234331xB．y＝－C．y＝x3－xD．y＝－3＋x[**************]

4．（2019·安徽）设函数f（x）＝1＋（1＋a）x－x2－x3，其中a>0.

（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（2）当x∈[0,1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

热点盘点细研深究

必须回访的热点名题

导数的几何意义及运算

[试题调研]

[例1]

（1）（2019·全国大纲卷）曲线y＝xex－1在点（1,1）处切线的斜率等于（）

A．2eB．eC．2D．1

b

（2）（2019·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋（a，b为常数）过点P（2，－x

5），且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

1．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．

2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间

的关系，进而和导数联系起来求解．

[回访名题]

（2019·安徽质检二）已知函数f（x）＝x－ax（a＞0，且a≠1）．

（1）当a＝3时，求曲线f（x）在点P（1，f

（1））处的切线方程．

（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．

导数的简单应用与定积分

（2）

利用导数研究函数的单调性

[试题调研]

[例2]（2019·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝ex－ex－2x.－

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）＝f（2x）－4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值；

（3）已知1.4142

1．利用导数研究函数单调性的步骤

第一步：

确定函数f（x）的定义域；

第二步：

求f′（x）;

第三步：

解方程f′（x）＝0在定义域内的所有实数根；

第四步：

将函数f（x）的间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；

第五步：

确定f′（x）在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．

2．根据函数的单调性求参数取值范围的思路

（1）求f′（x）．

（2）将单调性转化为导数f′（x）在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．

[回访名题]

（2019·吉林三模）已知函数f（x）＝ax＋lnx，a∈R.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，使不等式f（x）＜ax2对x∈（1，＋∞）恒成立？

若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

定积分

[试题调研]

[例3]

（1）（2019·陕西）定积分⎛1（2x＋ex）dx的值为（）⎠0

A．e＋2

C．eB．e＋1D．e－1

（2）（2019·湖北）若函数f（x），g（x）满足⎛1f（x）g（x）dx＝0，则称f（x），g（x）为区间[－1,1]上的一⎠-1

11组正交函数．给出三组函数：

①f（x）＝sinx，g（x）＝cos；②f（x）＝x＋1，g（x）＝x－1；③f（x）22

＝x，g（x）＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是（）

A．0B．1C．2D．3

1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．

（1）画出图形，确定图形范围；

（2）解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；

（3）确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；

（4）计算定积分，求出平面图形的面积．

2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．

[回访名题]

（1）（2019·江西）若f（x）＝x2＋2⎛1f（x）dx，则⎛1f（x）dx＝（）⎠0⎠0

11A．－1B．－C.D．133

（2）（2019·南昌二模）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：

①函数y＝f（x）是偶函数；

②对任意的x∈R，都有f（x＋2）＝f（x－2）；

③函数y＝f（x）在区间[2,3]上单调递减；

π＋1④⎛2f（x）dx＝2⎠0

其中正确判断的序号是________．

2ex⎫[典例]（2019·山东）设函数f（x）＝k⎛⎝x＋lnx⎭（k为常数，e＝2.71828„是自然对数的x底数）．

（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在（0,2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

提能专训

A组

一、选择题

1．（2019·武汉名校联考）曲线y＝2x－lnx在点（1,2）处的切线方程为（）

A．y＝－x－1B．y＝－x＋3C．y＝x＋1D．y＝x－1

1⎫x3a22．（2019·福州质检）若函数f（x）＝＋x＋1在区间⎛⎝23⎭上有极值点，则实数a的取值32

范围是（）

55102，B.⎡2，⎫C.⎛2A.⎛3⎝2⎣2⎭⎝102，⎫D.⎡3⎭⎣

3．（2019·陕西五校联考）定义在R上的函数f（x）满足：

f（x）＋f′（x）>1，f（0）＝4，则不等式exf（x）>ex＋3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）∪（3，＋∞）C．（－∞，0）∪（0，＋∞）D．（3，＋∞）

4．（2019·安徽望江中学一模）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（

）

导数的简单应用与定积分（3）

5．（2019·山西高考信息优化卷）给出定义：

若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f′（x））′，若f″（x）

π0上不是凸函数的是（）恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在⎛⎝2A．f（x）＝sinx＋cosxB．f（x）＝lnx－2xC．f（x）＝－3x3＋2x－1D．f（x）＝xex

6．（2019·河南六市联考）已知定义在（0，＋∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，＋∞），都有f[f（x）－log3x]＝4，则函数g（x）＝f（x－1）－f′（x－1）－3的零点所在区间是（）

1⎫1，1D.⎛0，⎫A．（1,2）B．（2,3）C.⎛⎝2⎭⎝2⎭

7．（2019·东北三省四市二联）已知函数f（x）＝x2的图象在点A（x1，f（x1））与点B（x2，f（x2））处的切线互相垂直并交于点P，则点P的坐标可能是（）

313⎫B．（0，－4）C．（2,3）D.⎛1，－⎫A.⎛4⎭⎝2⎭⎝

ln（2x＋3）－2x28．（2019·云南统检）函数f（x）＝的图象在点（－1,2）处的切线与坐标轴围成的三x

角形的面积等于（）

2411A.C.D.3326

ex9．（2019·呼和浩特教研）已知x1，x2是函数f（x）＝3的两个零点，若a

满足（）

A．f（a）＝0B．f（a）>0C．f（a）

10．（2019·银川第六次月考）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，

⎧f（n）⎫f

（1）f（－1）5的前n项和f′（x）g（x）>f（x）g′（x），且f（x）＝axg（x）（a>0且a≠1）若数列⎨g

（1）g（－1）2⎩g（n）⎭

大于62，则n的最小值为（）

A．6B．7C．8

二、填空题

11．（2019·安阳调研）已知函数f（x）＝2x2－xf′

（2），则函数f（x）的图象在点（2，f

（2））处的切线方程是________．

12．（2019·广西四市第二次联考）已知f（x）＝x2＋alnx的图象上任意不同两点连线的斜率大于2，那么实数a的取值范围是________．

ππ⎤ππππ⎡.若∀x1∈⎡⎤，13．（2019·云南统检）已知f（x）＝ax－cos2x，x∈⎡∀x∈x1≠x2，2⎣86⎦⎣86⎦⎣8，6，

f（x）－f（x）

D．9

114．（2019·成都三诊）设定义在R上的函数f（x）满足f

（1）＝1，f′（x）>，其中f′（x）是f（x）的导3

12函数，则不等式f（x3）

15．（2019·沈阳质检）已知函数f（x）＝x（x－a）（x－b）的导函数为f′（x），且f′（0）＝4，则a2＋2b2的最小值为________．

16．（2019·南昌一模）已知点P是曲线y＝x2－lnx上的一个动点，则点P到直线l：

y＝x－2的距离的最小值为________．

B组

一、选择题

f（x－4），x>0，⎧⎪1．（2019·重庆七校联盟联考）若f（x）＝⎨x则f（2016）等于（）21∫e＋dt，x≤0，1⎪t⎩

A．0B．ln2C．1＋e2D．1＋ln2

1⎫⎛2．（2019·巴彦淖尔一中考试）若∫a12x＋xdx＝3＋ln2（a>1），则a的值为（）⎝⎭

A．2B．3C．4D．6

3．（2019·天津七校联考）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8，则曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处切线的斜率是（）

A．2B．1C．3D．－2

4．（2019·海口调研）记曲线y＝1－（x－1）与x轴所围的区域为D，若曲线y＝ax（x－2）（a

33π3ππA．－B．－C．－D．－816816

5．（2019·陕西质检）已知顶点为P的抛物线y＝－x2＋2x与x轴交于A，B两点，现向该抛物线与x轴围成的封闭区域内随机抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落在△APB中的概率为（）

332A.C.54312

f（x），则x6．（2019·沈阳质检）已知函数y＝f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有f′（x）1函数F（x）＝xf（x）＋（）x

A．0B．1C．2D．3

7．（2019·保定调研）已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）＝f（4－x），且当x≠2时，其导数f′（x）满足xf′（x）>2f′（x），若2

A．f（2a）

8．（2019·昆明调研）已知函数f（x）＝lnx＋1（）lnx

A．若x1，x2（x1

B．若x1，x2（x1

C．∀x>0，且x≠1，f（x）≥2

D．∃x0>0，f（x）在（x0，＋∞）内是增函数

9．（2019·淄博一模）如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（

）

222221222A.∫20|x－1|dxB.|∫0（x－1）dx|C.∫0（x－1）dxD.∫0（x－1）dx＋∫1（1－x）dx

10．（2019·衡水中学二调）在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y＝kx（k>0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为8，则k的值为（）27

1213A.B.C.D.3324

二、填空题

11．（2019·吉林三模）∫a0ba－xdx＝________.a

12．（2019·洛阳统考）用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f（x）＝min{x2，x}，

1那么由函数y＝f（x）的图象、x轴、直线xx＝4所围成的封闭图形的面积为________．

2

13．（2019·安阳调研）已知函数f（x）＝2sinx，其导函数记为f′（x），则f（2013）＋f′（2013）2＋1＋f（－2013）－f′（－2013）＝________.

1214．（2019·咸阳一模）∫e1x＋∫－24－xdx＝________.x

f′

（1）x115．（2019·贵州适应性考试）曲线f（x）＝－f（0）x＋x2在点（1，f

（1））处的切线方程为e2

1216．（2019·武汉武昌区调研）过函数y＝x（0

＝1分别交于点P，Q，点N（0,1），则△PQN面积的最大值为________．