定积分的简单应用.docx

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定积分的简单应用

[学习目标]　1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.

知识点一　定积分在求几何图形面积方面的应用

1.求由一条曲线y＝f（x）和直线x＝a，x＝b（a＜b）及y＝0所围成的平面图形的面积S.

（1）如图①，f（x）＞0，f（x）dx＞0，所以S＝f（x）dx.

（2）如图②，f（x）＜0，f（x）dx＜0，所以S＝

＝－f（x）dx.

（3）如图③，当a≤x≤c时，f（x）≤0，f（x）dx＜0；当c≤x≤b时，f（x）≥0，f（x）dx＞0.所以S＝＋f（x）dx＝－f（x）dx＋f（x）dx.

2.求由两条曲线f（x）和g（x）（f（x）＞g（x）），直线x＝a，x＝b（a＜b）所围成平面图形的面积S.

（1）如图④，当f（x）＞g（x）≥0时，S＝[f（x）－g（x）]dx.

（2）如图⑤，当f（x）＞0，g（x）＜0时，S＝f（x）dx＋＝[f（x）－g（x）]dx.

3.当g（x）＜f（x）≤0时，同理得S＝[f（x）－g（x）]dx.

思考　

（1）怎样利用定积分求不分割型图形的面积？

（2）当f（x）<0时，f（x）与x轴所围图形的面积怎样表示？

答案　

（1）求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.

（2）如图，因为曲边梯形上边界函数为g（x）＝0，下边界函数为f（x），所以

S＝（0－f（x））dx＝－f（x）dx.

4.利用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画出图形：

在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；

（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标（或纵坐标），确定积分上、下限；

（3）确定被积函数；

（4）写出平面图形面积的定积分表达式；

（5）利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案.

知识点二　定积分在物理中的应用

1.在变速直线运动中求路程、位移

路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b

所经过的路程s和位移s′分别为：

（1）若v（t）≥0，则s＝v（t）dt，s′＝v（t）dt.

（2）若v（t）≤0，则s＝－v（t）dt，s′＝v（t）dt.

（3）若在区间[a，c]上v（t）≥0，在区间[c，b]上v（t）<0，

则s＝v（t）dt－v（t）dt，s′＝v（t）dt.

2.定积分在物理中的应用

（1）做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v（t）（v（t）≥0）在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v（t）dt.

（2）一物体在恒力F（单位：

N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s（单位：

m），则力F所做的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F（x）在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝F（x）dx.

思考　下列判断正确的是.

（1）路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；

（2）利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子v（t）dt；

（3）利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子v（t）dt.

答案　

（1）（3）

解析　

（1）显然正确.对于

（2）（3）两个判断，由于当v（t）≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用v（t）dt求解；当v（t）<0时，求某一时间段内的位移用v（t）dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为

－v（t）dt.所以

（2）错（3）正确.

题型一　利用定积分求平面图形的面积问题

例1　求由抛物线y2＝，y2＝x－1所围成图形的面积.

解　在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.

方法一　以x为积分变量.

由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A，B.

设点P（1,0），则所求面积S＝2

＝2

＝.

方法二　以y为积分变量.

由可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A，B.

设点P（1,0），则所求面积S＝2（y2＋1－5y2）dy

＝2＝.

反思与感悟　若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.

跟踪训练1　在曲线y＝x2（x≥0）上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为.试求：

切点A的坐标和过切点A的切线方程.

解　如图所示，设切点A（x0，y0），由y′＝2x得过A点的切线方程为y－y0＝2x0（x－x0），即y＝2x0x－x.

令y＝0，得x＝即C.

设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则S＝S曲边△AOB－S△ABC.

S曲边△AOB＝

x2dx＝x3＝x，

S△ABC＝|BC|·|AB|＝·x＝x，

即S＝x－x＝x＝，所以x0＝1.

从而切点为A（1,1），切线方程为y＝2x－1

题型二　运用定积分求解物理问题

例2　一点在直线上从时刻t＝0（s）开始以速度v＝t2－4t＋3（m/s）运动，求：

（1）此点在t＝4s时的位置；

（2）此点在t＝4s时运动的路程.

解　因为位置决定于位移，所以它是v（t）在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负.

（1）在t＝4s时，该点的位移为

（t2－4t＋3）dt＝＝（m）.

即在t＝4s时该点在距出发点m处.

（2）∵v（t）＝t2－4t＋3＝（t－1）（t－3），

∴在区间[0,1]及[3,4]上，v（t）≥0，

在区间[1,3]上，v（t）≤0，

∴该点在t＝4s时的路程为

S＝（t2－4t＋3）dt＋＋（t2－4t＋3）dt

＝（t2－4t＋3）dt－（t2－4t＋3）dt＋（t2－4t＋3）dt＝4（m）.

反思与感悟　解决此类问题的一般步骤：

（1）求出每一时间段上的速度函数；

（2）根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分.

跟踪训练2　有一辆汽车以每小时36km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车.设汽车以2m/s2的加速度刹车，问：

从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？

解　设从开始刹车到停车，汽车经过了ts.

v0＝36km/h＝10m/s，v（t）＝v0－at＝10－2t.

令v（t）＝0，解得t＝5.

所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s＝（10－2t）dt＝（10t－t2）＝25（m）.

故从开始刹车到停车，汽车行驶了25m.

题型三　用定积分解决变力做功问题

例3　设有一个长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功.

解　设x表示弹簧伸长的长度，f（x）表示加在弹簧上的力，则f（x）＝kx（其中常数k为比例系数）.

因为当f（x）＝100时，x＝5，所以k＝20.

所以f（x）＝20x.

弹簧由25cm伸长到40cm时，弹簧伸长的长度x从0cm变化到15cm，故所做的功

W＝20xdx＝10x2＝2250（N·cm）＝22.5（J）.

反思与感悟　

（1）根据物理学知识，求出变力f（x）的表达式；

（2）由功的物理意义知，物体在变力f（x）的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；（3）根据变力做功的公式W＝f（x）dx求出变力所做的功.

跟踪训练3　如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V1变为V2，求气体压力所做的功.

解　由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P＝（V表示气体体积，C为常数），而活塞上的压力为F＝PQ＝＝（Q表示截面积，L表示活塞移动的距离，V＝LQ）.

记L1，L2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有W＝F（L）dL＝dL＝CdV＝C（lnV）

＝C（lnV2－lnV1）.

所以气体体积由V1变为V2，气体压力所做的功为C（lnV2－lnV1）.

用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误

例4　求由抛物线y2＝8x（y＞0）与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积.

错解　由题意，作出图形如图

由得所以抛物线y2＝8x（y＞0）与直线x＋y－6＝0的交点坐标为（2,4），

所以所求面积为S＝（6－x－）dx

＝

＝24－8－×

＝16－.

错因分析　S＝（6－x－）dx

＝（6－x）dx－dx.

（6－x）dx表示由直线y＝6－x与直线x＝0，直线x＝4，直线y＝0围成的图形的面积，dx表示由抛物线y2＝8x（y＞0）与直线x＝0，直线x＝4，直线y＝0围成的图形的面积.上述S显然不是所求图形的面积.

正解　S＝dx＋（6－x）dx

＝

＋

＝＋

＝＋8＝.

防范措施　合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理.

1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（　　）

S＝[f（x）－g（x）]dx　　S＝（2－2x＋8）dx

①　　　　　　　　　　　　②

S＝f（x）dx－f（x）dx　　S＝[g（x）－f（x）]dx＋[f（x）－g（x）]dx

③　　　　　　　　　　　　④

A.①③B.②③

C.①④D.③④

答案　D

解析　①应是S＝[f（x）－g（x）]dx，②应是

S＝2dx－（2x－8）dx，③和④正确.故选D.

2.曲线y＝cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围图形的面积是（　　）

A.2B.3C.D.4

答案　B

解析　S＝cosxdx－cosxdx＝sinx-sinx＝sin－sin0－sin＋sin＝1－0＋1＋1＝3.

3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v（t）＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车（　　）

A.405B.540C.810D.945

答案　A

解析　停车时v（t）＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，

∴s＝v（t）dt＝（27－0.9t）dt＝（27t－0.45t2）＝405.

4.由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是.

答案　

解析　由图形可得

S＝（x2＋4－5x）dx＋（5x－x2－4）dx

＝＋

＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4

＝.

5.一个弹簧压缩xcm可产生4xN的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5cm，求弹簧克服弹力所做的功.

解　设F（x）＝kx，

∵弹簧压缩xcm可产生4xN的力，∴k＝4.

∴弹簧克服弹力所做的功为

W＝4xdx＝4×＝50（N·cm）＝0.5（J）.

1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤：

（1）在平面直角坐标系中画出图形；

（2）通过解方程求出交点坐标；（3）写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.

2.路程问题.

（1）用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.

（2）路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算.

3.变力做功问题.

（1）变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步.

（2）根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题.

一、选择题

1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（　　）

A.f（x）dx

B.

C.f（x）dx＋f（x）dx

D.f（x）dx－f（x）dx

答案　D

解析　∵x∈[a，b]时，

f（x）<0，x∈[b，c]时，f（x）>0，

∴阴影部分的面积S＝f（x）dx－f（x）dx.

2.一物体沿直线以v＝2t＋1（t的单位：

s，v的单位：

m/s）的速度运动，则该物体在1～2s间行进的路程为（　　）

A.1mB.2mC.3mD.4m

答案　D

解析　s＝＝4（m）.

3.一物体从A处向B处运动，速度为1.4tm/s（t为运动的时间），到B处时的速度为35m/s，则AB间的距离为（　　）

A.120mB.437.5m

C.360mD.480m

答案　B

解析　从A处到B处所用时间为25s.所以|AB|＝1.4tdt＝0.7t2＝437.5（m）.

4.若y＝f（x）与y＝g（x）是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为（　　）

A.[f（x）－g（x）]dx

B.[g（x）－f（x）]dx

C.|f（x）－g（x）|dx

D.

答案　C

解析　当f（x）＞g（x）时，所求面积为[f（x）－g（x）]dx；当f（x）≤g（x）时，所求面积为[g（x）－f（x）]dx.综上，所求面积为|f（x）－g（x）|dx.

5.以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为（　　）

A.mB.m

C.mD.m

答案　A

解析　v＝0时物体达到最高，

此时40－10t2＝0，则t＝2s.

又∵v0＝40m/s，∴t0＝0s.

∴h＝（40－10t2）dt＝＝（m）.

6.如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为（　　）

A.0.5JB.1JC.50JD.100J

答案　A

解析　由于弹簧所受的拉力F（x）与伸长量x成正比，依题意，得F（x）＝x，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为W＝F（x）dx＝xdx＝＝50（N·cm）＝0.5（J）.

二、填空题

7.由曲线y＝与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为.

答案　（－x3）dx

解析　画出y＝和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，

解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝（－x3）dx.

8.有一横截面的面积为4cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v（t）＝6t－t2（单位：

cm/s）（0≤t≤6）.则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为cm3.

答案　144

解析　由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝4（6t－t2）dt＝4＝144（cm3）.故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144cm3.

9.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，则克服弹簧力所做的功为J.

答案　kl2

解析　在弹性限度内，拉伸（压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（压缩）的长度成正比，即F（x）＝kx，其中k为比例系数.由变力做功公式得W＝＝kl2（J）.

10.由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是.

答案　

解析　如图，y＝1与y＝x2交点A（1,1），

y＝1与y＝交点B（2,1），由对称性可知面积

S＝2＝.

三、解答题

11.求抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A（1,0）和点B（3,0）处的切线所围成图形的面积.

解　由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，

由得两直线交点坐标为C（2,2），

∴S＝S△ABC－（－x2＋4x－3）dx

＝×2×2－＝2－＝.

12.物体A以速度vA＝3t2＋1（米/秒）在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t（米/秒）在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？

解　依题意知物体A，B均做变速直线运动.设a秒后物体A比B多运动5米，则A从开始到a秒末所走的路程为sA＝vAdt＝（3t2＋1）dt＝a3＋a；

B从开始到a秒末所走的路程为

sB＝vBdt＝10tdt＝5a2.

由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5.

此时sA＝53＋5＝130（米），sB＝5×52＝125（米）.

故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米.

13.定义F（x，y）＝（1＋x）y，x，y∈（0，＋∞）.令函数f（x）＝F（1，log2（x2－4x＋9））的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线C1的切线，切点为B（n，t）（n>0），设曲线C1在点A、B之间的曲线段与OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值.

解　∵F（x，y）＝（1＋x）y，

∴f（x）＝F（1，log2（x2－4x＋9））＝2log2（x2－4x＋9）＝x2－4x＋9，故A（0,9），f′（x）＝2x－4.

又∵过O作C1的切线，切点为B（n，t）（n>0），

∴解得B（3,6）.

∴S＝（x2－4x＋9－2x）dx＝＝9.