平面直角坐标系.docx

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平面直角坐标系

平面直角坐标系

　知识点：

1、对应关系：

平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。

2、平面内两条互相垂直、原点重合组成的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；

竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上为正方向；

两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

坐标：

对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

象限：

两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不在任何一个象限内

3、三大规律

（1）平移规律：

点的平移规律左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加；

上下平移→横坐标不变，纵坐标上加下减。

图形的平移规律找特殊点

（2）对称规律

关于x轴对称→横坐标不变，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称→横坐标互为相反数，纵坐标不变；

关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。

（3）位置规律

各象限点的坐标符号：

（注意：

坐标轴上的点不属于任何一个象限）

假设在平面直角坐标系上有一点P（a，b）

1.如果P点在第一象限，有a>0，b>0（横、纵坐标都大于0）

2.如果P点在第二象限，有a<0，b>0（横坐标小于0，纵坐标大于0）

3.如果P点在第三象限，有a<0，b<0（横、纵坐标都小于0）

4.如果P点在第四象限，有a>0，b<0（横坐标大于0，纵坐标小于0）

5.如果P点在x轴上，有b=0（横轴上点的纵坐标为0）

6.如果P点在y轴上，有a=0（纵轴上点的横坐标为0）

7.如果点P位于原点，有a=b=0（原点上点的横、纵坐标都为0）

第二象限第一象限

（—，+）（+，+）

第三象限第四象限

（—，—）（+，—）

特征坐标：

x轴上→纵坐标为0；y轴上→横坐标为0；

第一、三象限夹角平分线上→横纵坐标相等；

第二、四象限夹角平分线上→横纵坐标互为相反数。

1．平行于横轴（x轴）的直线上的点纵坐标相同

2．平行于纵轴（y轴）的直线上的点横坐标相同

常考题：

一．选择题（共15小题）

1．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（　　）

A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）

2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）

A．（5，2）B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）

3．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（　　）

A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（﹣2，2）

4．在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5．线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）

A．（2，9）B．（5，3）C．（1，2）D．（﹣9，﹣4）

6．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（　　）

A．2B．3C．4D．5

7．点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（　　）

A．（﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣1，0）

8．如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（　　）

A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，﹣4）

9．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（　　）

A．（5，4）B．（4，5）C．（3，4）D．（4，3）

10．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（　　）

A．（2，5）B．（﹣8，5）C．（﹣8，﹣1）D．（2，﹣1）

11．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（　　）

A．﹣1＜m＜3B．m＞3C．m＜﹣1D．m＞﹣1

12．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

13．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：

棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：

当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（　　）

A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）

14．小明的家，学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上，学校在家南边20米，书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，此时，小明的位置在（　　）

A．家B．学校C．书店D．不在上述地方

15．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．

根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？

（　　）

A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺

B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺

C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺

D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺

二．填空题（共10小题）

16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：

（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；

（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g（2，1）=（﹣2，﹣1）

按照以上变换有：

f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]=　　．

17．已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是　　．

18．如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是　　．

19．若第二象限内的点P（x，y）满足|x|=3，y2=25，则点P的坐标是　　．

20．如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7，﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8），那么黑棋①的坐标应该是　　．

21．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的

，那么点A的对应点A′的坐标是　　．

22．如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．

则椒江区B处的坐标是　　．

23．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为　　（用n表示）．

24．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是　　．

25．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）（4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为　　．

三．解答题（共15小题）

26．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．

（1）写出点A、B的坐标：

A（　　，　　）、B（　　，　　）

（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（　　，　　）、B′（　　，　　）、C′（　　，　　）．

（3）△ABC的面积为　　．

27．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗？

28．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：

向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：

A→B（+1，+3），从B到A记为：

A→B（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中

（1）A→C（　　，　　），B→D（　　，　　），C→　　（+1，　　）；

（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；

（3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．

29．如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）．求四边形ABCD的面积．

30．小明的爷爷退休生活可丰富了!

下表是他某日的活动安排．和平广场位于爷爷家东400米，老年大学位于爷爷家西600米．从爷爷家到和平路小学需先向南走300米，再向西走400米．

早晨6：

00﹣7：

00

与奶奶一起到和平广场锻炼

上午9：

00﹣11：

00

与奶奶一起上老年大学

下午4：

30﹣5：

30

到和平路小学讲校史

（1）请依据图示中给定的单位长度，在图中标出和平广场A、老年大学B与和平路小学的位置；

（2）求爷爷家到和平路小学的直线距离．

31．已知点A（﹣1，﹣2），点B（1，4）

（1）试建立相应的平面直角坐标系；

（2）描出线段AB的中点C，并写出其坐标；

（3）将线段AB沿水平方向向右平移3个单位长度得到线段A1B1，写出线段A1B1两个端点及线段中点C1的坐标．

32．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，﹣2a）．

（1）当a=﹣1时，点M在坐标系的第　　象限；（直接填写答案）

（2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．

33．已知：

A（0，1），B（2，0），C（4，3）

（1）求△ABC的面积；

（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．

34．如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0

（1）求a、b、c的值；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，

），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；

（3）在

（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？

若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

35．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）

（1）求点C到x轴的距离；

（2）求△ABC的面积；

（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．

36．有趣玩一玩：

中国象棋中的马颇有骑士风度，自古有“马踏八方”之说，如图，按中国象棋中“马”的行棋规则，图中的马下一步有A、B、C、D、E、F、G、H八种不同选择，它的走法就象一步从“日”字形长方形的对角线的一个端点到另一个端点，不能多也不能少．

要将图中的马走到指定的位置P处，即从（四，6）走到（六，4），现提供一种走法：

（四，6）→（六，5）→（四，4）→（五，2）→（六，4）

（1）下面是提供的另一走法，请你填上其中所缺的一步：

（四，6）→（五，8）→（七，7）→　　→（六，4）

（2）请你再给出另一种走法（只要与前面的两种走法不完全相同即可，步数不限），你的走法是：

　　．

你还能再写出一种走法吗．

37．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣3）、B（5，﹣2）、C（2，4）、D（﹣2，2），求这个四边形的面积．

38．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；

（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？

若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

39．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：

沿着长方形移动一周）．

（1）写出点B的坐标（　　）．

（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．

（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．

40．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．

已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式

，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．

（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；

（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．

（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？

说明理由．

初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．（2007•舟山）点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（　　）

A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）

【分析】先根据P在第二象限内判断出点P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的意义即可求出点P的坐标．

【解答】解：

∵点P在第二象限内，

∴点的横坐标＜0，纵坐标＞0，

又∵P到x轴的距离是4，即纵坐标是4，到y轴的距离是3，横坐标是﹣3，

∴点P的坐标为（﹣3，4）．

故选：

C．

【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，及点的坐标的几何意义．

2．（2007•长春）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）

A．（5，2）B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）

【分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．

【解答】解：

根据图示，小手盖住的点在第四象限，

第四象限的点坐标特点是：

横正纵负；

分析选项可得只有D符合．

故选D．

【点评】解决本题解决的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

3．（2007•盐城）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（　　）

A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（﹣2，2）

【分析】根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其它点的坐标．

【解答】解：

由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3）可知，平面直角坐标系的原点为底边正中间的点，以底边为x轴，向右为正方向，以左右正中间的线为y轴，向上为正方向；

根据得出的坐标系可知，棋子“炮”的坐标为（3，2）．

故选：

A．

【点评】此题考查了点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．

4．（2002•江西）在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．

【解答】解：

因为点（﹣1，m2+1），横坐标＜0，纵坐标m2+1一定大于0，

所以满足点在第二象限的条件．

故选B．

【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

5．（2017春•潮阳区期末）线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）

A．（2，9）B．（5，3）C．（1，2）D．（﹣9，﹣4）

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．

【解答】解：

平移中，对应点的对应坐标的差相等，设D的坐标为（x，y）；

根据题意：

有4﹣（﹣1）=x﹣（﹣4）；7﹣4=y﹣（﹣1），解可得：

x=1，y=2；

故D的坐标为（1，2）．

故选：

C．

【点评】本题考查点坐标的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中，对应点的对应坐标的差相等．

6．（2016•菏泽）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（　　）

A．2B．3C．4D．5

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．

【解答】解：

由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，

由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，

由此得线段AB的平移的过程是：

向上平移1个单位，再向右平移1个单位，

所以点A、B均按此规律平移，

由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，

故a+b=2．

故选：

A．

【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

7．（2015•安顺）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（　　）

A．（﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣1，0）

【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．

【解答】解：

根据题意，得点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得点的横坐标是﹣2﹣1=﹣3，纵坐标是﹣3+3=0，即新点的坐标为（﹣3，0）．

故选A．

【点评】此题考查了平移时，点的坐标变化规律：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

8．（2013秋•平川区期末）如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（　　）

A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，﹣4）

【分析】因为点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，那么其纵坐标是0，即m+1=0，m=﹣1，进而可求得点P的横纵坐标．

【解答】解：

∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，

∴m+1=0，

∴m=﹣1，

把m=﹣1代入横坐标得：

m+3=2．

则P点坐标为（2，0）．

故选B．

【点评】本题主要考查了点在x轴上时纵坐标为0的特点，比较简单．

9．（2017春•和县期末）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（　　）

A．（5，4）B．（4，5）C．（3，4）D．（4，3）

【分析】根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系，然后确定其它各点的坐标．

【解答】解：

如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限，所以小刚的位置为（4，3）．

故选D．

【点评】本题利用平面直角坐标系表示点的位置，是学数学在生活中用的例子．

10．（2015•钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（　　）

A．（2，5）B．（﹣8，5）C．（﹣8，﹣1）D．（2，﹣1）

【分析】逆向思考，把点（﹣3，2）先向右平移5个单位，再向下平移3个单位后可得到A点坐标．

【解答】解：

在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．

故选：

D．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：

在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：

横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

11．（2008•菏泽）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（　　）

A．﹣1＜m＜3B．m＞3C．m＜﹣1D．m＞﹣1

【分析】根据点P（m﹣3，m+1）在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围．

【解答】解：

∵点P（m﹣3，m+1）在第二象限，

∴可得到

，

解得m的取值范围为﹣1＜m＜3．

故选A．

【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号以及不等式组的解法，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

12．（2015•威海）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号．

【解答】解：

由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得

a+1＜0，b﹣2＞0．

解得a＜﹣1，b＞2．

由不等式的性质，得

﹣a＞1，b+1＞3，

点B（﹣a，b+1）在第一象限，

故选：

A．

【点评】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题关键．

13．（2014•株洲）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：

棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：

当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（　　）