苏科版九年级上册 第1章一元二次方程专题提优复习训练.docx

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苏科版九年级上册第1章一元二次方程专题提优复习训练

《一元二次方程》专题提优复习训练

一．选择题

1．若关于x的方程（a﹣2）x2+x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（　　）

A．a＝2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a≠2

2．对于任意实数k，关于x的方程

x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）

A．有两个相等的实数根B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根D．无法判定

3．已知一元二次方程x2﹣kx+3＝0有一个根为1，则k的值为（　　）

A．﹣2B．2C．4D．﹣4

4．用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为（　　）

A．（x﹣2）2＝

B．2（x﹣2）2＝

C．（x﹣1）2＝

D．（2x﹣1）2＝1

5．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　）

A．5cm2B．6cm2C．7cm2D．8cm2

6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4．则k的值为（　　）

A．﹣1B．4C．﹣4D．﹣5

7．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　）

A．k

B．k

且k≠0C．k

且k≠0D．k

8．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）

A．50（1﹣x）2＝70B．50（1+x）2＝70

C．70（1﹣x）2＝50D．70（1+x）2＝50

9．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）

A．

x（x+1）＝110B．

x（x﹣1）＝110

C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110

10．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　）

A．﹣1B．1或﹣1C．1D．2

11．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：

将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　）

A．9B．10C．11D．12

12．芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图所示，将该图形补充四个边长为10cm的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为2000cm2，根据图中信息，可得x的值为（　　）

A．10B．20C．25D．30

二．填空题

13．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m﹣m2+7的值为　　．

14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是　　米．

15．若方程x2﹣4x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x12+x22的值为　　．

16．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、橫各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，则小路的宽为　　．

17．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于　　．

18．对于实数m，n，定义一种运算*为：

m*n＝mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）＝﹣

有两个相等的实数根，则a＝　　．

19．把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为　　．

20．元旦到了，九

（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有　　个同学．

三．解答题

21．用适当的方法解下列方程：

（1）x2﹣6x﹣6＝0

（2）2x2﹣x﹣15＝0

22．已知x1、x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值：

（1）x1x22+x12x2；

（2）x12+x22．

23．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．

认识新方程：

像

＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝3．

运用以上经验，解下列方程：

（1）

＝x；

（2）

＝2x．

24．阅读理解：

材料一：

解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0（在由原方程得到新方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想）．

于是可解得y1＝1，y2＝4．

①当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；

②当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；

∴原方程有四个根：

x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．

材料二：

恒等变形是代数式求值的一个重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化问有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．

例如：

当x＝

+1时，求

x3﹣x2﹣x+2的值．为解答这道题，直接代入x的值进行计算，显然比较麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答：

先将条件化为整式，再把无理数运算转为有理数运算．

由x＝

+1，得x﹣1＝

，两边同时平方得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．

原式＝

x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决下列问题：

（1）解方程：

（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0

（2）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+

的值．

25．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96m2？

26．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价、日销售量的几组对应值如下表：

销售单价x/元

85

95

105

115

日销售量y/个

175

125

75

m

（注：

日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））

（1）求y关于x的函数解析式及m的值．

（2）该产品的成本单价是80元，当日销售利润达到1875元时，为了让利给顾客，减少库存，求销售产品单价定为多少元？

27．石马河某生鲜店中销售“荣昌土猪肉”，“城口山地鸡”，其中“荣昌土猪肉”标价每千克40元，“城口山地鸡”标价每千克60元

（1）该生鲜店售出“荣昌土猪肉”，“域口山地鸡“两种肉品共600千克，若销售总额不低于30000元，则至少销售“城口山地鸡”多少千克？

（2）2019年7月，该生鲜店按标价售出“荣昌土猪肉”300千克．“城口山地鸡”400千克．2019年8月，生鲜店根据市场情况，适当调整“荣昌土猪肉”，“城口山地鸡”的售价，“荣昌土猪肉”的售价比7月的标价增加了a%，销量与7月份保持不变，“城口山地鸡”的售价比7月的标价减少了a%，销量比7月份增加了a%，结果8月份“荣昌土猪肉”，“域口山地鸡”的销售总额比7月份增加了

a%，求a的值．

参考答案

一．选择题

1．解：

由题意得：

a﹣2≠0，

解得：

a≠2，

故选：

D．

2．解：

x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，

△＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4×

×（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，

不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，

即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，

所以方程没有实数根，

故选：

B．

3．解：

把x＝1代入方程x2﹣kx+3＝0得：

1﹣k+3＝0，

解得：

k＝4，

故选：

C．

4．解：

∵2x2﹣4x+1＝0，

∴2x2﹣4x＝﹣1，

x2﹣2x＝﹣

，

x2﹣2x+1＝1﹣

，

∴（x﹣1）2＝

．

故选：

C．

5．解：

设矩形的长为xcm，宽为ycm，

依题意，得：

，

（②﹣①）÷3，得：

y﹣x+1＝0，

∴x＝y+1③．

将③代入②，得：

y（y+1）＝16+3（y﹣4）+11，

整理，得：

y2﹣2y﹣15＝0，

解得：

y1＝5，y2＝﹣3（舍去），

∴x＝6．

∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（x﹣4）（y﹣3）+（x﹣3）（y﹣4）＝2×2+3×1＝7．

故选：

C．

6．解：

∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4，

∴k+1＝﹣4，

∴k＝﹣5．

故选：

D．

7．解：

∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，

∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，

解得k≤

且k≠0，

故选：

C．

8．解：

2018年的产量为50（1+x），

2019年的产量为50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，

即所列的方程为50（1+x）2＝70．

故选：

B．

9．解：

设有x个队参赛，则

x（x﹣1）＝110．

故选：

D．

10．解：

由题意可知：

△＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，

由题意可知：

m2＝1，

∴m＝±1，

当m＝1时，△＝﹣3+2+1＝0，

当m＝﹣1时，△＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，

故选：

C．

11．解：

依题意，得：

1+n+n2＝111，

解得：

n1＝10，n2＝﹣11．

故选：

B．

12．解：

依题意得：

（x+10+20）（x+10+10）＝2000，

解得x＝20．

故选：

B．

二．填空题（共8小题）

13．解：

由题意可知：

m2﹣2m﹣6＝0，

∴原式＝﹣（m2﹣2m）+7

＝﹣6+7

＝1．

14．解：

设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，

根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，

解得x1＝3，x2＝2（舍去），

∴AB的长为3米．

故答案为：

3．

15．解：

x2﹣4x﹣5＝0，

（x﹣5）（x+1）＝0，

x﹣5＝0或x+1＝0，

所以x1＝5，x2＝﹣1，

所以x12+x22＝52+（﹣1）2＝26．

故答案为26．

16．解：

设小路的宽为xm，依题意有

（40﹣x）（32﹣x）＝1140，

整理，得x2﹣72x+140＝0．

解得x1＝2，x2＝70（不合题意，舍去）．

答：

小路的宽应是2m．

故答案是：

2m．

17．解：

由题意可知：

a2﹣2a＝2020，

由根与系数的关系可知：

a+b＝2，

∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3，

＝2020+2（a+b）﹣3

＝2020+2×2﹣3

＝2021，

故答案为：

2021．

18．解：

由x*（a*x）＝﹣

得（a+1）x2+（a+1）x+

＝0，

依题意有a+1≠0，

△＝（a+1）2﹣（a+1）＝0，

解得，a＝0，或a＝﹣1（舍去）．

故答案为：

0．

19．解：

∵x2+6x﹣1＝0，

∴x2+6x＝1，

∴（x+3）2＝10，

故答案为：

（x+3）2＝10

20．解：

设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，

依题意，得：

x（x﹣1）＝1560，

解得：

x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．

故答案为：

40．

三．解答题（共7小题）

21．解：

（1）∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣6，

∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）＝60＞0，

则x＝

＝3±

；

（2）∵2x2﹣x﹣15＝0，

∴（x﹣3）（2x+5）＝0，

则x﹣3＝0或2x+5＝0，

解得x＝3或x＝﹣2.5．

22．解：

根据根与系数的关系得x1+x2＝

，x1x2＝

．

（1）原式＝x1x2（x1+x2）＝

×

＝

；

（2）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（

）2﹣2×

＝

．

23．解：

（1）

＝x；

两边平方，得

16﹣6x＝x2，

x2+6x﹣16＝0，

解得x1＝﹣8，x1＝2；

经检验，x2＝﹣8是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝2．

（2）

＝2x．

两边平方，得

4x2＝3x+7，

解得x1＝﹣1（不符合题意，舍），x2＝

．

经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝

．

24．解：

（1）令t＝x2+x，

原方程可化为t2﹣4t﹣12＝0，

∴（t﹣6）（t+2）＝0，

∴t＝6或t＝﹣2，

当x2+x＝6时，（x+3）（x﹣2）＝0，

∴x＝2或x＝﹣3，

当x2+x＝﹣2时，方程无解，

∴原方程有两个根，x＝2或x＝﹣3；

（2）∵a2﹣3a+1＝0，

∴a2＝3a﹣1，

∴2a3﹣5a2﹣3+

＝2a（3a﹣1）﹣5（3a﹣1）﹣3+

＝6a2﹣17a+2+

＝6（3a﹣1）﹣17a+2+

＝a﹣4+

，

∵a2﹣3a+1＝0，

∴a+

＝3，

∴2a3﹣5a2﹣3+

＝3﹣4＝﹣1．

25．解：

设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为

（27﹣2x+1）m，由题意得

x（27﹣2x+1）＝96，

解得：

x1＝6，x2＝8，

当x＝6时，27﹣2x+1＝16＞15（舍去），当x＝8时，27﹣2x+1＝12．

答：

所围矩形猪舍的长为12m、宽为8m．

26．解：

（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，

，得

，

即y关于x的函数关系式为y＝﹣5x+600，

当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，即m＝25，

答：

y关于x的函数关系式为y＝﹣5x+600，m的值是25；

（2）设该销售产品单价定为x元，

（x﹣80）（﹣5x+600）＝1875

∴﹣5x2+1000x﹣49875＝0

∴x2﹣200x+9975＝0

∴（x﹣105）（x﹣95）＝0

解得：

x1＝105，x2＝95

∵为了让利给顾客，减少库存

∴销售产品单价定为95元．

27．解：

（1）设销售“城口山地鸡”x千克，则销售“荣昌土猪肉”（600﹣x）千克，

依题意，得：

40（600﹣x）+60x≥30000，

解得：

x≥300．

答：

至少销售“城口山地鸡”300千克．

（2）依题意，得：

40（1+a%）×300+60（1﹣a%）×400（1+a%）＝（40×300+60×400）（1+

a%），

整理，得：

2.4a2﹣60a＝0，

解得：

a1＝0，a2＝25．

答：

a的值为25．