1江苏省高考数学真题(含答案).doc
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2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
Y
N
输出n
开始
结束
（第5题）
1．函数的最小正周期为．
2．设（为虚数单位），则复数的模为．
3．双曲线的两条渐近线的方程为．
4．集合共有个子集．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：
环），结果如下：
运动员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．
方差为：
．
7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则
都取到奇数的概率为．
8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则．
9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部和边界）．若点是区域内的任意一点，则的取值范围是．
10．设分别是的边上的点，，，
若（为实数），则的值为．
11．已知是定义在上的奇函数。
当时，，则不等式的解集用区间表示为．
12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为
，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为．
13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，
若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为．
14．在正项等比数列中，，，则满足的
最大正整数的值为．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知，．
（1）若，求证：
；
（2）设，若，求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：
（1）平面平面；
（2）．
17．
x
y
A
l
O
（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，点，直线．
设圆的半径为，圆心在上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，
求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐
标的取值范围．
18．（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。
一种是从沿直线步行
到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两
位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从
乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的
速度为，山路长为，经测量，，．
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，
C
B
A
D
M
N
乙步行的速度应控制在什么范围内？
19．（本小题满分16分）
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，
，其中为实数．
（1）若，且成等比数列，证明：
（）；
（2）若是等差数列，证明：
．
20．（本小题满分16分）
设函数，，其中为实数．
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．
2013年答案
一、填空题
1、【答案】π
【解析】T＝||＝||＝π．
2、【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝＝5．
3、【答案】
【解析】令：
，得．
4、【答案】8
【解析】23＝8．
5、【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6、【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：
7、【答案】
【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为．
8、【答案】1：
24
【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：
2，故体积之比为1：
8．
又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：
3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：
24．
9、【答案】[—2，]
【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—x＋．
画出可行域如下，易得过点（0，—1）时，zmin＝—2，过点（，0）时，zmax＝．
y
x
O
y＝2x—1
y＝—x
10、【答案】
【解析】
所以，，，．
11、【答案】（﹣5，0）∪（5，﹢∞）
【解析】做出（）的图像，如下图所示。
由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。
不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：
解集为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）。
x
y
y＝x
y＝x2—4x
P（5,5）
Q（﹣5,﹣5）
12、
y
x
l
B
F
O
c
b
a
【答案】
【解析】如图，l：
x＝，＝－c＝，由等面积得：
＝。
若，则＝，整理得：
，两边同除以：
，得：
，解之得：
＝，所以，离心率为：
．
13、【答案】1或
【解析】
14、【答案】12
【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：
，得：
a1＝，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：
，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12．
二、解答题
15、解：
（1）a－b＝（cosα－cosβ，sinα－sinβ），
|a－b|2＝（cosα－cosβ）2＋（sinα－sinβ）2＝2－2（cosα·cosβ＋sinα·sinβ）＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以，．
（2），①2＋②2得：
cos（α－β）＝－．
所以，α－β＝，α＝＋β，
带入②得：
sin（＋β）＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin（＋β）＝1，
所以，＋β＝．
所以，α＝，β＝．
16、证：
（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，
所以F为SB的中点．
又E，G分别为SA，SC的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，
所以，平面平面．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA平面SAB，
所以，．
17、解：
（1）联立：
，得圆心为：
C（3，2）．
设切线为：
，
d＝，得：
．
故所求切线为：
．
（2）设点M（x，y），由，知：
，
化简得：
，
即：
点M的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：
1≤|CD|≤3，其中．
解之得：
0≤a≤．
18、解：
（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：
AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：
AM＝130x，AN＝50（x＋2），
由余弦定理得：
MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝（min）时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由
（1）知：
BC＝500m，甲到C用时：
＝（min）．
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：
＋3＝（min），在BC上用时：
（min）．
此时乙的速度最小，且为：
500÷＝m/min．
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：
－3＝（min），在BC上用时：
（min）．
此时乙的速度最大，且为：
500÷＝m/min．
故乙步行的速度应控制在[，]范围内．
19、证：
（1）若，则，，．
当成等比数列，，
即：
，得：
，又，故．
由此：
，，．
故：
（）．
（2），
．（※）
若是等差数列，则型．
观察（※）式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：
，即，而≠0，
故．
经检验，当时是等差数列．
20、解：
（1）≤0在上恒成立，则≥，．
故：
≥1．
，
若1≤≤e，则≥0在上恒成立，
此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；
若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．
故的取值范围为：
＞e．
（2）≥0在上恒成立，则≤ex，
故：
≤．
．
（ⅰ）若0＜≤，令＞0得增区间为（0，）；
令＜0得减区间为（，﹢∞）．
当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→﹢∞时，f（x）→﹣∞；
当x＝时，f（）＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝时取等号．
故：
当＝时，f（x）有1个零点；当0＜＜时，f（x）有2个零点．
（ⅱ）若a＝0，则f（x）＝﹣lnx，易得f（x）有1个零点．
（ⅲ）若a＜0，则在上恒成立，
即：
在上是单调增函数，
当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→﹢∞时，f（x）→﹢∞．
此时，f（x）有1个零点．
综上所述：
当＝或a＜0时，f（x）有1个零点；当0＜＜时，f（x）有2个零点．
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