中考数学 一轮专题训练矩形及其性质二解析版.docx

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中考数学一轮专题训练矩形及其性质二解析版

2021年中考数学一轮专题训练：

矩形及其性质

（二）

1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角∠BCD的大小为（　　）

A．100°B．120°C．135°D．150°

3．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，2），则第四个顶点的坐标是（　　）

A．（2，2）B．（2，3）C．（3，﹣1）D．（3，3）

4．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．12B．10C．8D．6

5．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）

A．内角和为360°B．对角线互相平分

C．对角线相等D．对边平行

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（　　）

A．10B．11C．12D．13

7．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（　　）s时，能够使△BPE与△CQP全等．

A．1B．1或4C．1或2D．2或4

8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，重足为E，已知∠EAB：

∠EAD＝1：

3，则∠EOA的度数为（　　）

A．30°B．35°C．40°D．45°

9．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，且CE＝EF，求AE的长（　　）

A．2B．3C．4D．6

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ平行于AB的次数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

11．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是（　　）

A．测量两条对角线是否相等

B．用重垂线检查竖门框是否与地面垂直

C．测量门框的三个角是否都是直角

D．测量两条对角线是否互相平分

12．▱ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（　　）

A．AB⊥BCB．AC＝BDC．∠A＝∠BD．BC＝CD

13．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，下列条件中能判定这个平行四边形是矩形的是（　　）

A．AC＝BDB．AB＝BCC．∠BAC＝∠CADD．AC⊥BD

14．下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　）

A．∠A＝∠CB．∠A＝∠BC．AC＝BDD．AB⊥BC

15．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（　　）

A．OD＝OCB．∠DAB＝90°C．∠ODA＝∠OADD．AC⊥BD

16．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．∠ABC＝90°B．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠ACD＝∠CDB

17．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（　　）

A．一般平行四边形B．一般四边形

C．对角线垂直的四边形D．矩形

18．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE•BE的值为（　　）

A．

B．1C．

D．

19．下列说法错误的是（　　）

A．矩形的对角线互相平分

B．有一个角是直角的四边形是矩形

C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

D．矩形的对角线相等

20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）

A．

B．

C．3D．4

参考答案

1．解：

∵AB＝3，BC＝4，

∴矩形ABCD的面积为12，AC＝

，

∴AO＝DO＝

AC＝

，

∵对角线AC，BD交于点O，

∴△AOD的面积为3，

∵EO⊥AO，EF⊥DO，

∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝

AO×EO+

DO×EF，

∴3＝

×

×EO+

×EF，

∴5（EO+EF）＝12，

∴EO+EF＝

，

故选：

C．

2．解：

如图，作AE⊥BC于点E．

∵矩形的面积＝BC•CF＝2S平行四边形ABCD＝2BC•AE，

∴CF＝2AE，

∴AB＝2AE，

∴∠ABE＝30°，

∵AB∥CD，

∴∠BCD＝180°﹣∠ABE＝150°．

故选：

D．

3．解：

如图所示：

过（﹣1，﹣1）、（3，2）两点分别作x轴、y轴的平行线，

交点为（3，﹣1），

即为第四个顶点坐标．

故选：

C．

4．解：

过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：

则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，

∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，

∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，

∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，

∵DE＝CF＝2，

∴S△DEM＝S△MFB＝

×2×4＝4，

∴S阴＝4+4＝8，

故选：

C．

5．解：

矩形的性质：

内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分且相等；

平行四边形的性质：

内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分；

故选项A、B、D不符合题意，C符合题意；

故选：

C．

6．解：

设DE＝x，则AE＝6﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，

∵EF⊥AC，AO＝OC，

∴AE＝CE＝6﹣x，

在Rt△DEC中，由勾股定理得：

DE2+DC2＝EC2，

即x2+42＝（6﹣x）2，

解得：

x＝

，

即DE＝

，CE＝AE＝6﹣

＝

，

∴△DEC的周长为DE+CE+DC＝

+

+4＝10，

故选：

A．

7．解：

分两种情况：

①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，

∵AB＝20cm，AE＝6cm，

∴EB＝14cm，

∴PC＝14cm，

∵BC＝16cm，

∴BP＝2cm，

∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，

∴t＝2÷2＝1（s）；

②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，

由题意得：

2t＝16﹣2t，

解集得：

t＝4（s），

故选：

B．

8．解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OB，∠BAD＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵∠EAB：

∠EAD＝1：

3，

∴∠EAB＝22.5°，

∵AE⊥BD于点E，

∴∠AEB＝90°，

∴∠ABE＝67.5°，

∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，

∴∠AOB＝45°，

即∠EOA的度数为45°，

故选：

D．

9．解：

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A＝∠D

＝90°，

∵EF⊥CE，

∴∠CEF＝90°，

∴∠CED+∠AEF＝90°，

∵∠CED+∠DCE＝90°，

∴∠DCE＝∠AEF，

在△AEF和△DCE中，

，

∴△AEF≌△DCE（AAS），

∴AE＝DC，

由题意可知：

2（AE+DE+CD）＝16，DE＝2，

∴2AE＝6，

∴AE＝3；

故选：

B．

10．解：

当AP＝BQ时，AP∥BQ．

∵AP∥BQ，AP＝BQ，

∴四边形ABQP为平行四边形，

∴QP∥AB．

∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，

∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．

∴点Q可在BC间往返4次．

∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．

故选：

C．

11．解：

∵门框两组对边分别相等，

∴门框是个平行四边形，

∵对角线相等的平行四边形是矩形，

故A不符合题意；

∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；

故B不符合题意；

∵三个角都是直角的四边形是矩形，

故C不符合题意；

∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，

故D符合题意，

故选：

D．

12．解：

A、∵AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；

B、∵四边形ABD是平行四边形，AC＝BD，

∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A＝∠B，

∴∠A＝90°，

∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；

D、∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝CD，

∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；

故选：

D．

13．解：

A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形；故选项A符合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，

∴平行四边形ABCD是菱形；故选项B不符合题意；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∵∠BAC＝∠CAD，

∴∠ACD＝∠CAD，

∴AD＝CD，

∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C不符合题意；

D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D不符合题意；

故选：

A．

14．解：

A、在▱ABCD，若∠A＝∠C，

则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；

B、在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A＝∠B，

∴∠A＝∠B＝90°，

∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；

C、在▱ABCD中，AC＝BD，

则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；

D、在▱ABCD中，AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；

故选：

A．

15．解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC＝

AC，OB＝OD＝

BD，

A、OD＝OC时，AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；

B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；

C、∵∠ODA＝∠OAD，

∴OA＝OD，

∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；

D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；

故选：

D．

16．解：

A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；

B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；

D、∵∠ACD＝∠CDB，

∴OD＝OC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，BO＝OD，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；

故选：

B．

17．解：

如图；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB+∠ADC＝180°；

∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，

∴∠HAD+∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；

同理可证得：

∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°；

故四边形EFGH是矩形．

故选：

D．

18．解：

过A作AF⊥BC于F，

∵∠D＝∠C＝90°，

∴四边形AFCD是矩形，

∴AF＝CD＝2，CF＝AD，

设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，

∴AB＝x+y，BF＝y﹣x，

∵AB2＝AF2+BF2，

∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22，

∴xy＝1，

∴AE•BE＝1，

故选：

B．

19．解：

A、矩形的对角线互相平分；正确；

B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；

C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；

D、矩形的对角线相等；正确；

故选：

B．

20．解：

∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，

∴BC＝

＝5，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，

∴四边形DMAN是矩形，

∴MN＝AD，

∴当AD⊥BC时，AD的值最小，

此时，△ABC的面积＝

AB×AC＝

BC×AD，

∴AD＝

，

∴MN的最小值为

；

故选：

A．