中考数学专题复习全等与相似含答案整理.docx
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中考数学专题复习全等与相似含答案整理
专题全等与相似
一
1．（2012年，）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是
______，cosA的值是______________．（结果保留根号）
考点：
黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
分析：
可以证明△ABC∽△BDC，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得
x的值；过点
D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出
cosA的值．
A
D
BC
2．（2012年，）（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．
（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：
△AED≌△CFD；
（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设
△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；
（3）在
（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．
二.
1.（2012，22，12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，
G点在
C
边AB上，△BDG与四边形ACDG
的周长相等，设
BC=a、AC=b、AB=c.
C
G
（1）求线段BG的长；
G
F
解：
F
E
E
（2）求证：
DG平分∠EDF;
证：
A
D
BA
B
D
（3）连接CG，如图2，若△BDG
与△DFG相似，求证：
BG⊥CG.
证：
2．（2012）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：
△ADE≌△CBF．
3．（2012年，）
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC
0）的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点
点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为
边的中点．点
D出发，沿DB
ts．
P从点B
匀速向点
出发，以acm/s（a＞
B运动，其中一个动
（1）若a＝2，△BPQ∽△BDA
（2）设点M在AC上，四边形
，求t
PQCM
的值；
为平行四边形．
5
①若
＝
，求
的长；
2
②是否存在实数
a，使得点
P在∠ACB
的平分线上？
若存在，请求出
a
的值；若不存在，请说明理由．
4．（2012）如图，在?
ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：
∠BAE=∠CDF．
5．（2012?
资阳）
（1）如图
（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出
结果（不必写计算过程）；
（2）将图
（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图
（2），求HD：
GC：
EB；
HD：
GC：
EB的
（3）把图
（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：
AB=HA：
AE=m：
n，此时HD：
GC：
EB的值与
（2）小题的结果相比有变化吗？
如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．
6．（2012年，）（12分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P
是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重
合），
Q
是CB延长线上一动点，与点
同时以相同
P．．．．
的速度由B向CB延长线方向运动（
Q不与B重
合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD30O时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？
如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
7．（2012年，）
如图131，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC
的同侧．
（1）AE和ED的数量关系为___________，
AE和ED的位置关系为___________；
（2）在图131中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接
GH，HD，分别得到了图132和图133；
①在图132中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1:
2，H是EC的中点.求证：
GHHD，GHHD.
②在图133中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k:
1，若BC2，请直接写出CH
的长为多少时，恰好使得GHHD且GHHD（用含k的代数式表示）．
8、（2012年，）（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案
例，请补充完整.
原题：
如图
1，在YABCD中，点E是BC边上的中点，点
F是线段AE上一点，BF的延长线交射线
CD于点
G，若AF
3
，求CD的值。
BF
CG
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是
，CG和EH的数
量关系是
CD
，
的值是
CG
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若
AF
CD
的值是
（用含m的代数式表示），试写出解答过程。
m（m
0）则
BF
CG
（3）拓展迁移
如图
3，梯形ABCD
中，DC∥AB，点E
是BC延长线上一点，
AE和BD
相交于点
F，若
AB
a,BC
b（a0,b
0），则AF的值是
（用含a,b的代数式表示）.
CD
BE
EF
9.（2012年，）（本小题7分）
如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：
①AE∥DF，②
AB=CD，③CE=BF。
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：
“如果，，那么”）；
（2）选择
（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。
答案：
一
1.解答：
解：
∵△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝
180°－∠A
＝72°．
2
∵BD是∠ABC的平分线，
1
∴∠ABD＝∠DBC＝2∠ABC＝36°．
∴∠A＝∠DBC＝36°，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
ACBC
∴BC＝CD，
1x
设AD＝x，则BD＝BC＝x．则x＝1－x，
5＋1
（舍去）或
5－1
解得：
x＝
．
2
2
5－1
故x＝．
2
如右图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD＝BD，
1
1
∴E为AB中点，即AE＝
AB＝．
2
2
A
E
D
BC
1
AE
2
5＋1
在Rt△AED中，cosA＝AD＝
5－1
＝
4
．
2
5－1
5＋1
故答案是：
；
．
2
4
点评：
△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求
cosA时，注意构造直角
三角形，从而可以利用三角函数定义求解．
2．
（1）证明:
∵∠BAC＝90°AB＝AC＝6,D为BC中点
∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45°
··1
分
∴AD＝BD＝DC
··········
2分．
∵AE＝CF∴△AED≌△CFD
····
3分
（2）依题意有:
FC＝AE＝x
········
4分
∵△AED≌△CFD
第26题图1
∴S四边形AEDF
SAED
SADF
SCFD
SADF
·············
5分
＝S△ADC＝9
···························
6分
∴SEDFS四边形AEDF
SAEF
9
1
（6
x）x
1
x2
3x9
2
2
∴y
1x2
3x9
7分
2
（3）依题意有：
AF＝BE＝x－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45°
∴∠DAF＝∠DBE＝135°
·······
8
分
∴△ADF≌△BDE
···········
9
分
∴SADF
SBDE
············
10
分
∴SEDF
SEAF
SADB
········
11
分
1（x6）x9
1x2
3x9
2
2
1
x
2
3x
912分
∴y
2
二.1.解析：
已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明
.
（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性
质知DF
1b,DE
1c，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得BG
bc.
（2）由
（1）的结论，利用等
2
2
2
腰三角形性质和平行线性质可证
.（3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，
BD=DG=CD，即可证
明.
解
（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点
∴DE∥
1
1
AB,DF∥
AC，
2
2
又∵△BDG与四边形ACDG
周长相等
即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG
∴BG=AC+AG
∵BG=AB－AG
AB
ACb
c
∴BG=
=
2
2
（2）证明：
BG=b
c，FG=BG－BF=b
c－c
b
2
2
2
2
∴
FG=DF,∴∠FDG=∠FGD
又∵DE∥AB
∴∠EDG=∠FGD
∠FDG=∠EDG
∴DG平分∠EDF
（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD,△DFG是等腰三角形,
∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,
∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,
则CD=BD=DG,∴B、CG、三点共圆,
∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG
点评：
这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题
来做.
考点：
全等三角形的判定。
解答：
证明：
∵AE∥CF
∴∠AED=∠CFB，（3分）
∵DF=BE，
∴DF+EF=BE+EF，
即DE=BF，（6分）
在△ADE和△CBF中，
AECF
AEDCFB，（9分）
DEBF
∴△ADE≌△CBF（SAS）（10分）．
2.（2012年，）（本小题满分7分）如图（8），已知在平行四边形ABCD中，BEDF.
求证：
DAEBCF.
【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据平行四边形性质求出
AD∥BC，且AD=BC
，推出∠ADE=∠CBF，求出
CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．
D
【解答】证明：
∵四边形ABCD
为平行四边形
∴AD∥BC,且AD=BC
∴∠ADE=∠BCF
2分
又∵BE=DF,∴BF=DE
1分
∴△ADE≌△CBF
2分
A
∴∠DAE=∠BCF
2分
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和
判定的应用，关键是求出证出△
ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力
DE=BF，证△ADE≌△
C
E
F
B
图（8）
3.【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】
（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即
可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；
（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成
比例定理，即可得方程52t10=12（6-t）6，解此方程即可求得答案；
②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即
可得PB=CQ，PM：
BC=AP：
PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．
【解答】解：
（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，
∴BD=CD=12BC=6cm，
∵a=2，
∴BP=2tcm，DQ=tcm，
∴BQ=BD-QD=6-t（cm），
∵△BPQ∽△BDA，
∴BPBD=BQAB，
即2t6=6-t10，
解得：
t=1813；
（2）①过点P作PE⊥BC于E，∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，∴PB：
AB=CM：
AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ，
∴BE=12BQ=12（6-t）cm，
∵a=52，
∴PB=52tcm，
∵AD⊥BC，∴PE∥AD，
∴PB：
AB=BE：
BD，
即52t10=12（6-t）6，
解得：
t=32，
∴PQ=PB=52t=154（cm）；
②不存在．理由如下：
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：
AB=CM：
AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．
若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，
∴∠PCQ=∠CPM，
∴∠CPM=∠PCM，
∴PM=CM，
∴四边形PQCM是菱形，
∴PQ=CQ，
∴PB=CQ，
∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），
∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），
即at=6+t①，
∵PM∥CQ，
∴PM：
BC=AP：
AB，
∴6+t12=10-at10，
化简得：
6at+5t=30②，
把①代入②得，t=-611，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．
此
题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．
4.考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
首先根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可证明
△ABE≌△DCF，再根据全等三角形性质可得到结论．
解答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠B=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠BAE=∠CDF．
点评：
此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明
△ABE
≌△DCF
的条件．
5.
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；
正方形的性质。
分析：
（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证
得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE
GC=BE，即可求得HD：
GC：
EB的值；
（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得
△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的
，
性质，即可求得HD：
GC：
EB的值；
（3）由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，由DA：
AB=HA：
AE=m
n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角
形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：
GC：
EB的值．
解答：
解：
（1）连接AG，
∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，
∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，
：
∴A，G，C共线，AB﹣AE=AD﹣AH，
∴HD=BE，
∵AG==AE，AC==AB，
∴GC=AC﹣AG=AB﹣AE=（AB﹣AE）=BE，
∴HD：
GC：
EB=1：
：
1（3分）
（2）连接AG、AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，
∴AD：
AC=AH：
AG=1：
，∠DAC=∠HAG=45°，∴∠DAH=∠CAG，（4分）
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：
GC=AD：
AC=1：
，（5分）
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
在△DAH和△BAE中，
，
∴△DAH≌△BAE（SAS），
∴HD=EB，
∴HD：
GC：
EB=1：
：
1；（6分）
（3）有变化，
连接AG、AC，
∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA：
AB=HA：
AE=m：
n，∴∠ADC=∠AHG=90°，
∴△ADC∽△AHG，
∴AD：
AC=AH：
AG=m：
，∠DAC=∠HAG，
∴∠DAH=∠CAG，（4分）∴△DAH∽△CAG，
∴HD：
GC=AD：
AC=m：
，（5分）
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
∵DA：
AB=HA：
AE=m：
n，∴△ADH∽△ABE，
∴DH：
BE=AD：
AB=m：
n，
∴HD：
GC：
EB=m：
：
n．（8分）
6．解:
（1）（6分）解法一：
过P作PE∥QC
则△AFP是等边三角形，
∵P、
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