完整版圆与相似解直角三角形综合题精选有答案.docx
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完整版圆与相似解直角三角形综合题精选有答案
解直L（2012江苏镇江6分）如图，AB是。
。
的直径，DHAB于点D,交弦AC于点E,
FC=FEo⑴求证：
FC是OO的切线；
2
（2）若0。
的半径为5,cosFCE=—,求弦AC的长。
2（2012四川巴中10分）如图，四边形ABCDI平行四边形，以AB为直径的O。
经过点D,
E是OO上一点，且/AED45oo
（1）判断CD与OO的位置关系，并说明理由；
（2）若O。
的半径为6cmA&10cm求/ADBl勺正弦值。
相垂直，垂足为口人口交。
0于点£.
（1）求证：
AC平分/DAB
（2）若/B=60o,CA2《，求AE的K
相似与圆
1（2012广西北海10分）如图，AB是。
的直径，AE交。
于点E且与O的切线CD互相垂直，垂足为。
（1）求证：
/EAC=ZCAB
⑵若CD=4,AD=&
①求。
的半径；
②求tan/BAE勺值。
B
动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.
（1）当点P在什么位置时，DP是OO的切线？
请说明理由;
（2）当DP为OO的切线时，求线段DP的长.
交弦AB于点E,交O0于点F,且CE=CB.
（1）求证：
BC是OO的切线；
（2）连接AF,BF,求/ABF的度数；
（3）如果C015,BE=10,sinA=—,求OO的半
13
相交于点P,AB与OO相切于点B,BP的延长线交直线I于点C.
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=2.、5,求OO的半径和线段PB的长；
备用图
15.
（2012湖北黄冈8分）如图，在aABC中，BA=BC以AB为直径作半圆OO交AC于点
D.连结DB过点D作DELBC垂足为点E
⑴求证：
DE为OO的切线；
⑵求证：
DB=AB-BE
【答案】解:
（1）连接0C
•••FC=FE,.../FCE=/FEC（等边对等
角）z
•/OA=OC•••/OAC/OCA（等边对等X
角）X
又•••/FE（=ZAED（对项角相/一
等），）
•/FCAZAED（等量代4广弘,75
换）\7
又•••DFLAB•••/OAC・ZAE[=9（）L（直角三角\y
形、/
两锐角互余）
•ZOCA"ZFCE=90°（等量代换），即ZOCF=90。
。
-OCLCF（垂直定义）。
又•/0C是OO的半径，•FC是OO的切线（切线的定义）
（2）连接BC_
•••AB是O。
的直径，•••/ACB90。
（直径所对圆周角是直、
•••OB=OC•••/OBCZOCB（等边对等角）。
［）/
•••ZOCBZACB-ZACO90-ZACOZOCF-ZACO'\~
=ZFCE\
•
ZOBCZFCE
2
又・cosFCE=,•cosOBC=o5
又TOO的半径为5,.・.AB=10o在RtAABC+,BCABcosOBC=104
角定理,
等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周锐角三角函数定义，勾股定理。
【分
析】
（1）要证FC是OO的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC由已根
知条件，据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换
【考。
点】
2
角定理，⑵构造直角三角形ABC由等量代换得到ZOBCZFCE从而得到cosOBC-,
【分析】知条件,
【答案】解：
（1）连接BDOD
•••AB是直径，•••/ADB=90°o
•••/ABD/E=45°,aZDAB=45°,贝UAD=BD
•△ABD是等腰直角三角形。
•ODLAB
又•••DC/AB,•ODLDC•・CD与O0相切。
（2）过点。
作OFLAE连接OE
11
则AF=AE=x10=5o
22
1
•/OAOE•/AOF±/AOE
2
1
•//ADE/AOE•/ADE：
/AOE
2
AF5
在RtAAOF中，sin/AO=
sin/ADEsin/AOFAO6'
AF5
AO6
【萼点】平行四边形的性质.圆周：
®定理，等腰直含三:
⑥形的列宦和性质.切垃的到起垂径定理，锐角三角函却J宦义.
【分析】门）连接OD,ED.由灿为直径.ZAED=45。
?
证得ZiAHD是等腰直角三角形，即AD=bDp然洽由等if三角册的性质，可^OD_LAE又由四ASCD是平行四边砌即可证猬OD_LCD,目可证得CD八00相切•
（2）过点。
作OFAE连接0匚由垂径定理可得AF=6?
ZA0F=lzA0B又由IS周角定理可得走42，也人0
已，从而证得ZAOF=ZADE?
然后■在RtZIACiF中，srnZAOF的债」即可求得2
答制I
【答案】解：
⑴证明：
如图，连接OC
•/CD为OO的切线，•OCLCD・/OCD=90°。
•/ADLCD•/ADC=90°o,/OCO-ZADC=180°。
•AD//0C•/CAD=ZACO
0A=OC•/AC8/CAO
…/CAD=ZCAO即AC平分/DAB
⑵…AB为OO的直径，•/ACB=90
又…/B=60°,\JCAD-ZCAB=30°。
在RtAACD中CDA2%3,•AC=2CDA43。
在Rt△ABC中，AC=4\月，•AB=—AA-==8。
*cosZCABC0S30
连接OE
•••ZEAO=2ZCAB=60°,OA=OE-△AOE是等边三角形。
1
AE=OA=?
AB=4o
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质。
【分析】
（1）连接OC由CD为OO的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD由AD垂直
于CD可
得出OC平行于AD,根据两直线平行内错角相等可得出ZCA=ZACO再由OA=OC利用等
边对等
角得到ZAC=ZCAO等量代换可得出ZCAD-ZCAO即AC为角平分线。
（2）由AB为圆。
的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出ZACB为直角，在
Rt△ABC中，
由ZB的度数求出ZCAB的度数为30°,可得出ZCAD勺度数为30°。
在R-ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在RtAABC中，根据cos300及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，从而得出半径OE的长，由ZEAO为60°,及OE=OA得到△AEC为等边三角形，可得出AE=OA=OE即可确定出AE的长。
【答案】
（1）证明：
连接OC
•/CD是OO的切线，•CD£OC
又•••CDLAE-OC/AB1=Z3。
OC=OA••Z2=Z3o
•Z1=Z2,即ZEAC=ZCAB
BF
•tan/BAD=—
圆周角定理，勾股定理，相似三角
（2）解：
①连接BC
•••AB是00的直径，CDLAE于点D,
•
••/ACB=ZADC=90°。
…/1=Z2,ACD。
八ABC。
AC
o
AB
•AC=AD+CD=4二+6=80,
八口尬80
•AB=——=10oAD8
•OO的半径为10-2=5o
②连接CF与BFo
••四边形ABCFiOO的内接四边形，
•••/ABO/AFC=I80°o
/DFO/AFC=，•/DFC=/ABC
/DFCF/DCF=90°,
DCF
DCFAADAC•CDDFAADCD
2
—=2o
8
•AF=AD-DF=8-2=6o
•/人3是。
。
的直径，・/BFA=90°o
•BF二AB2AF210262=&
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质,形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】
（1）连接OC由CD是OO的切线，CDLOC又由CDLAE即可判定OC/AE根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得/EAC/CAB
⑵①连接BC易证得△ACSAABC根据相似三角形的对应边成比例，即可求
得AB的长，
从而可得00的半径长。
②连接CF与BF.由四边形ABCF是00的内接四边形，易证得ZxDCOADAC然后
根据
相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是00的直径，即可得/BFA是直角，
利用勾股定理求得BF的长，即可求得tan/BAE的值。
【答案】解：
（1）当点P是？
C的中点时，DP是00的切线。
理由如下:
连接AP
•••abac,•••AbACo
102628o
又•••PBPc,•?
BAPCAo•PA是OO的直径。
•••PbPc,•/1=/2o
又…AB=AC-PAIBC
又…DP//BC-DPIPA•DP是Oo的切
线。
⑵连接OB设PA交BC于点Eo.
由垂径定理，得BE=BC=6o
在RtAABE中，由勾股定理，得：
AE=AB2BE2
设0。
的半径为r,贝UOE=8-r,
在RtAOB冲,由勾股定理，得：
/=6'+
（8-r）2,解得r=25o
•FDP//BCABE=/
Do
又…/仁/1,r.AABOAADP
BEAE,即68,解得：
75
DPAPDP2258
4
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】
（1）根据当点P是？
C的中点时，得出PBA?
CA,得出PA是。
。
的直径，再利用DP〃
BC得出DPLPA问题得证。
（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出^
DP的长。
【答案】解：
（1）证明：
连接0B
•••OB=OACE=CB
:
_LA=ZOBAZCEB/ABC
又•••
CD£OA
•••/A+/AED/A+/CEB=90°o
…/OBA/AB（=90°oAOBLBC
•BC是OO的切线。
（2）连接OFAF,BF,
•/DA=DOCDLOA
•△OAF是等边三角形。
/
•/
AOI=60°o
•/ABF=1/AOI=30°o2
（3）过点C作CG_BE于点G由CE=CB
•EG=1
BE=5o2易证RtAADORtACGE
5
•sin/ECGsin/A=,13
CEEG=5sinECG5"ldo
13
ABEWADP即可得出
-CGCE2EG21325212
乂•••CD=15,CE=13,•DE=2,
由RtAADEARtACGE黑DE,即詈
224
5,解得adTo
13
•••00的半径为2人口=11。
5
【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理,勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】
（1）连接0B有圆的半径相等和已知条件证明/OBC90o即可证明BC是OO的切
线。
（2）连接OFAF,BF,首先证明ZxOAF是等边三角形，再利用圆周角定理：
同弧所
对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出/ABF的度数。
1
（3）过点C作CGLBE于点G,由CE=CB可求出EGBE=5,由RtAADORtACGE
2
和勾股定理求出
DE=2,由RtAADEA
CGE求出AD的长，从而求出。
。
的半径。
【答案】解：
（1）ABAC理由如下:
连接0B
•/八3切00于B,OALACOBA/OAC90°
•
••/OBF+ZABF=90°,/ACP/CPB=90°。
•/OP=OBOBPZOPB
•//OPBZARC•/ACPZABC
•AB=AC>
（2）延KAP交00于Q连接BQ
设圆半径为r,则山0片5得，。
住OBr,
又「PG=2x/5,
由
（1）ABAC#5「2252
2
5r）,解褊；-r=3o
AB=AC=4o
•/PD是直径，.ZPBD90。
=/PAC
CPAP2J52
•//DPBZCPADPBAACPA即一解得
PDBP'6BP'
PB=65。
5
【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。
【分析】
（1）连接0B,根据切线的性质和垂直得出/OBA/OAC90。
，推出
/OBP/ABP=90°,
/ACF+ZCPB90。
，求出/AC肚/ABC根据等腰三角形的判定推出即可。
（2）延长AP交OO于D,连接BD设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5-r,根据AB=AC
推出
22-22CPAP
52r22P55r）2,求出r,证aDPBAACPA得出，代入求出PB即可。
PDBP
（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN作
OELMN求出OEkr,求出r范围，再根据相离得出rv5,即可得出答案。
【答案】证明：
⑴连接ODBD则/ADB90。
（圆周角定理），
•
/BA=BC二CDAD（三线合一）。
又•••AOBQ・”ODEAABC勺中位线。
…OD//BC
•//DEB9O0,•/ODE900,gPODLDE
•DE为OO的切线。
（2）v/BED/BDC=90°7EBD/DBG
BDBE
BCBD
又•••AB=BC-BDBEo•BD）=AB?
Bb
ABBD
【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】
（1）连接ODBD根据圆周角定理可得/ADB90o,从而得出点D是AC中点，判断出0
匚是ZnABC的中位线，利用中位线的性质得出/ODE90o,这样可判断出结论。
（2）根据题意可判断ZxBEMABDC从而可得BD=BC?
BE将B（替换成AE即可得出结
论。
2
AB20A2qeFWr2,AC2PC2PA22F（5r）
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