圆与相似综合题的有关定理.doc

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圆和相似综合题有关定理

1、圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。

）

定理

图形

已知

结论

证法

相

交

弦

定

理

⊙O中，AB、CD为弦，交于点P。

PA·PB＝PC·PD

连结AC、BD，

证：

△APC∽△DPB

切

割

线

定

理

⊙O中，PT切⊙O于点T，割线PB交⊙O于点A。

PT2＝PA·PB

连结TA、TB，

证：

△PTB∽△PAT

割

线

定

理

PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C两点。

PA·PB＝PC·PD

过P作PT切⊙O于T，

用两次切割线定理

2、托勒密定理：

圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。

已知：

四边形ABCD内接于圆，如图，求证：

AB·CD+BC·AD=AC·BD

证明：

在∠BAD内作∠BAE=∠CAD，交BD于E。

因∠ABE=∠ACD，所以△ABE∽△ACD，

从而得AB·CD=AC·BE①；

易证△ADE∽△ACB，

从而得BC·AD=AC·DE②；

①+②得AB·CD+BC·AD=AC（BE+DE）=AC·BD

3、弦切角定理：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角称为弦切角。

弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。

弦切角定理的证明：

已知：

AP切⊙O于P，PQ是弦，则∠APQ是弦切角，∠APQ夹的弧是弧PQ，

弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ

证明：

∠APQ=∠PCQ（弦切角的位置分以下三种情况）

1°圆心O在∠APQ外部

过P作直径BP，联结BC

则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°

则有∠APB=∠BCP，即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ

由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ

所以∠APQ=∠PCQ

2°圆心O在∠APQ的一边，PQ上

此时PQ是直径，则PQ⊥AP，∠APQ=90°

而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角，∠PCQ=90°

所以∠APQ=∠PCQ

3°圆心O在∠APQ内部

过P作直径BP，联结BC

则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°

则有∠APB=∠BCP

由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ

所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ

即∠APQ=∠PCQ

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