第一章教案.docx

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第一章教案

第一章三角形的证明

1.等腰三角形

（一）

教学目标：

1．知识目标：

理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；

在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；

熟悉证明的基本步骤和书写格式。

2．能力目标：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；

3．情感与价值目标

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；

培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.

教学重、难点

重点：

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；

难点：

明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

教学过程

本节课设计了六个教学环节：

第一环节：

回顾旧知导出公理；第二环节：

折纸活动探索新知；第三环节：

明晰结论和证明过程；第四环节：

随堂练习巩固新知；第五环节：

课堂小结；第六环节：

布置作业。

第一环节：

回顾旧知导出公理

活动内容：

提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：

1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

注意事项：

由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。

具体证明如下：

已知：

如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.

求证：

△ABC≌△DEF.

证明：

∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），

又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠C=180°-（∠A+∠B），

∠F=180°-（∠D+∠E），

∴∠C=∠F（等量代换）。

又BC=EF（已知），

∴△ABC≌△DEF（ASA）。

第二环节：

折纸活动探索新知

活动内容：

在提问：

“等腰三角形有哪些性质？

以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？

并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？

”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。

具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。

→

→

活动目的：

通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。

第三环节：

明晰结论和证明过程

活动内容：

在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合

第四环节：

随堂练习巩固新知

活动内容：

学生自主完成P4第2题：

如图（图略）,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BAD的度数。

活动目的：

巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。

第五环节：

课堂小结

让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。

1、具体有关性质定理；

2、通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据．

3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性．

第六环节：

布置作业

P5习题1,2.

教学反思

1.等腰三角形

（二）

教学目标

1．知识目标：

①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；

2．能力目标：

①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；

③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：

对称性，发展学生的几何直觉；

3．情感与价值观要求

①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．

②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．

教学重、难点

重点：

经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．

教学过程

本节课设计了六个教学环节：

第一环节：

提出问题，引入新课；第二环节：

自主探究；第三环节：

经典例题变式练习；第四环节：

拓展延伸、探索等边三角形性质；第五环节：

随堂练习及时巩固；第六环节：

探讨收获课时小结。

第一环节：

提出问题，引入新课

活动内容：

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗?

你能证明你的结论吗?

活动目的：

回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。

第二环节：

自主探究

活动内容：

在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。

活动目的：

让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。

注意事项：

活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：

你可能得到哪些相等的线段？

你如何验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗？

试作图，写出已知、求证和证明过程；

还可以有哪些证明方法？

通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明。

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．

求证：

BD=CE．

证法1：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵∠1=

∠ABC，∠2=

∠ABC，

∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

证法2：

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

又∵∠3=∠4．

在△ABC和△ACE中，

∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。

第三环节：

经典例题变式练习

活动内容：

提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？

并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

（1）如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢?

由此，你能得到一个什么结论?

（2）如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE吗?

如果AD=

AC，AE=

AB呢?

由此你得到什么结论?

活动目的：

提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。

活动注意事项：

教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：

把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢?

从而引出“议一议”。

由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”。

在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。

第四环节：

拓展延伸，探索等边三角形性质

活动内容：

提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：

等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知：

如图，ΔABC中，AB=BC=AC．

求证：

∠A=∠B=∠C=60°.

证明：

在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．

同理：

∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．

第五环节：

随堂练习及时巩固

活动内容：

在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。

1.

如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.

求证:

AE=CD

活动意图：

在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。

第六环节：

探讨收获课时小结

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，

教学反思

1.等腰三角形（三）

教学目标

1．探索等腰三角形判定定理．

2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

4.培养学生的逆向思维能力。

教学过程

第一环节：

复习引入

活动过程：

通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？

这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？

第二环节：

逆向思考，定理证明

教师：

上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?

也就是：

有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证AB=AC，

同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．

[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．

[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．（教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）

（证明略）

[师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：

等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．

第三环节：

巩固练习

活动过程与效果：

将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。

引导学生进行分析。

已知：

如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

求证：

AB=AC．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

∴AB=AC（等角对等边）．

第四环节：

适时提问导出反证法

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?

我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?

如果成立，你能证明它吗?

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC

你能理解他的推理过程吗?

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．

引导学生思考：

上一道面的证法有什么共同的特点呢?

引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义．

第五环节：

拓展延伸

活动过程与效果：

在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵活性特安排了2个练习。

一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。

另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。

学生在独立思考的基础上再小组交流。

1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长..

第六环节：

课堂小结

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？

（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路

第七环节：

课外作业

教学反思：

1.等腰三角形（四）

教学目标：

1．知识目标

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2．能力目标

①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；

③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。

3．情感与价值观要求

①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点

①等边三角形判定定理的发现与证明.

②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

4．教学难点

①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.

②引导学生全面、周到地思考问题.

教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：

第二环节：

自主探索；第三环节：

实际操作提出问题；第四环节：

变式训练巩固新知；第五环节：

畅谈收获课时小结；第六环节：

布置作业。

第一环节：

提问问题，引入新课

活动内容：

教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？

又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？

从而引入新课。

在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。

这是教师可以适时提出问题：

如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？

第二环节：

自主探索

活动内容：

学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

性质

判定的条件

等腰三角形（含等边三角形）

等边对等角

等角对等边

“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合

有一角是60°

等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°

三个角都相等的三角形是等边三角形

活动目的：

经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。

由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：

顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；

底角是60°的等腰三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形。

对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：

能否用更简捷的语言描述这个结论吗?

从而引导学生得出：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路．并要求学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：

思考问题要全面、周到．

第三环节：

实际操作提出问题

活动内容：

教师直接提出问题：

我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：

含30°角的直角三角形。

拿出三角板，做一做：

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?

能拼出一个等边三角形吗?

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？

说说你的理由．

活动目的：

让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

学生一般可以得出下面两种图形：

其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=

AB，从而得出：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。

具体的说明过程可以如下：

方法1：

因为△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

方法2：

图

（1）中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．

如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论。

然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理。

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：

BC=

AB．

分析：

从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.

延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如图所示）．

∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°

∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

∴BC=

BD=

AB．

第四环节：

变式训练巩固新知

活动1：

直接提请学生思考刚才命题的逆命题：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?

如果是，请你证明它．

在师生分析的基础上，给出证明：

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=

AB．

求证：

∠BAC=30°

证明：

延长BC至D，使CD=BC，连接AD.

∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB=AD．

∵CD=BC，∴BC=

BD．

又∵BC=

AB，∴AB=BD．

∴AB=AD=BD，

即△ABD是等边三角形．

∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

注意事项：

该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：

从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？

活动2：

呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。

[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长.

分析：

观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC=×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

∴CD=

AC=

×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

第五环节：

畅谈收获课时小结

让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

第六环节：

布置作业

教学反思