届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练：第1部分专题六第2讲排列、组合与二项式定理(选择、填空题型).doc

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考点

考情

两个计数原理

1.对两个计数原理及排列、组合的考查主要有两种形式：

一是直接利用计数原理、排列、组合知识进行计数，如2013年福建T5,2013年北京T12；二是与概率问题结合起来综合考查．

2．对二项式定理的考查主要是求展开式中的某一项，某一项的二项式系数，各项系数和等，考查赋值技巧，难度不大，如2013年江西T5,2013年新课标全国卷ⅡT5,2013年安徽T11.

排列、组合问题

二项式定理

1．（2013·福建高考）满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（　　）

A．14　　　　 B．13　　　　

C．12　　　　 D．10

解析：

选B　因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：

①当a＝0时，b可能为－1或1或0或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法；当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法；当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，（a，b）的个数为4＋4＋3＋2＝13.

2．（2013·江西高考）5展开式中的常数项为（　　）

A．80 B．－80

C．40 D．－40

解析：

选C　Tr＋1＝C·（x2）5－r·r＝C·（－2）r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为C×（－2）2＝40.

3．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知（1＋ɑx）（1＋x）5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝（　　）

A．－4 B．－3

C．－2 D．－1

解析：

选D　展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1.

4．（2013·安徽高考）若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.

解析：

二项式8展开式的通项为Tr＋1＝Carx，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.

答案：

5．（2013·北京高考）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．

解析：

按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A＝96.

答案：

96

1．两个重要公式

（1）排列数公式

A＝＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）（n，m∈N*，且m≤n）．

（2）组合数公式

C＝＝（n，m∈N*，且m≤n）．

2．三个重要性质和定理

（1）组合数性质

①C＝（n，m∈N*，且m≤n）；

②C＝（n，m∈N*，且m≤n）；

③C＝1.

（2）二项式定理

（a＋b）n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn，其中通项Tr＋1＝Can－rbr.

（3）二项式系数的性质

①C＝C，C＝C，…，C＝C；

②C＋C＋C＋…＋C＝2n；

③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

热点一

两个计数原理的应用

[例1]　

（1）某人设计了一项单人游戏，规则如下：

先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1,2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（　　）

A．22种　　　　　　　　　　 B．24种

C．25种 D．36种

（2）方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（　　）

A．60条 B．62条

C．71条 D．80条

[自主解答]　

（1）设抛掷三次骰子的点数分别为a，b，c，根据分析，若a＝1，则b＋c＝11，只能是（5,6），（6,5），2种情况；若a＝2，则b＋c＝10，只能是（4,6），（5,5），（6,4），3种情况；若a＝3，则b＋c＝9，只能是（3,6），（4,5），（5,4），（6,3），4种情况；若a＝4，则b＋c＝8，只能是（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2），5种情况；若a＝5，则b＋c＝7，只能是（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1），6种情况；若a＝6，则b＋c＝6，只能是（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1），5种情况．故总计2＋3＋4＋5＋6＋5＝25种可能．

（2）当a＝1时，若c＝0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线，

若c≠0，则c有4种取值，b2有两种，共有2×4＝8条抛物线；

当a＝2时，若c＝0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线，

若c≠0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，

c取－2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，

c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，

c取－3时，b2有3个取值，共有3条抛物线．

所以共有3＋2＋2＋3＋3＝13条抛物线．

同理，a＝－2，－3,3时，共有抛物线3×13＝39条．

由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62条．

[答案]　

（1）C　

（2）B

——————————规律·总结————————————————

应用两个计数原理解题的方法

（1）在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．

（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

1.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（　　）

A．9种 B．11种

C．13种 D．15种

解析：

选C　按照焊接点脱落的个数进行分类．若脱落1个，有

（1），（4），共2种；若脱落2个，有（1,4），（2,3），（1,2），（1,3），（4,2），（4,3），共6种；若脱落3个，有（1,2,3），（1,2,4），（2,3,4），（1,3,4），共4种；若脱落4个，有（1,2,3,4），共1种．综上，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．

2．某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________（用数字作答）．

解析：

其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列共10个位置不能再选人，还剩一个5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是＝1200.

答案：

1200

热点二

排列与组合问题

[例2]　

（1）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（　　）

A．232　　　　　　　　　 B．252

C．472 D．484

（2）（2013·重庆高考）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________（用数字作答）．

[自主解答]　

（1）法一：

从16张不同的卡片中任取3张，共有C＝＝560种，其中有两张红色的有C×C种，其中三张卡片颜色相同的有C×4种，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C－C×C－C×4＝472.

法二：

若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C×C×C＝64种，若2张颜色相同，则有CCCC＝144种；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有C×C×C×C＝192种，若同色，则有CCC＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472（种）．

（2）直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝590.

[答案]　

（1）C　

（2）590

若本例

（1）中增加条件“且黄色卡片至多1张”，则有多少种不同的取法？

解：

可分类完成：

若取三张卡片，且三张卡片颜色均不同，则有CCCC＝256种；若取三张卡片只有两种颜色，则可为蓝绿一种中选两张，红黄一种选一张，共有2CC＋CCCC＝144种．

因此，所有取法种数为256＋144＝400.　　　　　

——————————规律·总结————————————————

1．解决排列组合问题应遵循的原则

先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．

2．解决排列组合问题的11个策略

（1）相邻问题捆绑法；

（2）不相邻问题插空法；（3）多排问题单排法；（4）定序问题倍缩法；（5）多元问题分类法；（6）有序分配问题分步法；（7）交叉问题集合法；（8）至少或至多问题间接法；（9）选排问题先选后排法；（10）局部与整体问题排除法；（11）复杂问题转化法．

3．解决排列组合问题的四个角度

解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．

（1）“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

（2）“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；

（3）“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互斥的几类，然后逐类解决；

（4）“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．

3．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻先后着舰，而丙、丁不能相邻先后着舰，那么不同的着舰方法有（　　）

A．12种 B．18种

C．24种 D．48种

解析：

选C　将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A·A种方法，而后将丙、丁进行插空，有3个空，则有A种排法，故共有A·A·A＝24种方法．

4．某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（　　）

A．720　　　 B．520

C．600　　　 D．360

解析：

选C　根据题意，分2种情况讨论：

若甲、乙其中一人参加，有C·C·A＝480种；若甲、乙2人都参加，共有C·C·A＝240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情况有C·C·A·A＝120种，故有240－120＝120种．则不同的发言顺序种数为480＋120＝600.

热点三

二项式定理

[例3]　

（1）（2013·新课标全国卷Ⅰ）设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（　　）

A．5　　　　 B．6　　　　

C．7　　　　 D．8

（2）（2013·陕西高考）设函数f（x）＝则当x>0时，f（f（x））表达式的展开式中常数项为（　　）

A．－20 B．20

C．－15 D．15

（3）若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a5（1＋x）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.

[自主解答]　

（1）根据二项式系数的性质知：

（x＋y）2m的二项式系数最大有一项，C＝a，（x＋y）2m＋1的二项式系数最大有两项，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，即＝，解得m＝6.

（2）依据分段函数的解析式，得f（f（x））＝f（－）＝6，∴Tr＋1＝C（－1）rxr－3.令r－3＝0，则r＝3，故常数项为C（－1）3＝－20.

（3）f（x）＝x5＝（1＋x－1）5，

它的通项为Tr＋1＝C（1＋x）5－r·（－1）r，

T3＝C（1＋x）3（－1）2＝10（1＋x）3，所以a3＝10.

[答案]　

（1）B　

（2）A　（3）10

——————————规律·总结————————————————

应用通项公式要注意五点

（1）它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；

（2）Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；

（3）公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；

（4）要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；

（5）对二项式（a－b）n展开式的通项公式要特别注意符号问题．

5．若（1－2x）2013＝a0＋a1x＋…＋a2013x2013（x∈R），则＋＋…＋的值为（　　）

A．2 B．0

C．－1 D．－2

解析：

选C　∵（1－2x）2013＝a0＋a1x＋…＋a2013x2013（x∈R），∴令x＝0，则a0＝1.令x＝，则2013＝a0＋＋＋…＋＝0，

其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.

6．若8的展开式中常数项为1120，则展开式中各项系数之和为________．

解析：

8的展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r（－a2）rx－r＝C（－a2）rx8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4，所以C（－a2）4＝1120，所以a2＝2，故8＝8.令x＝1，得展开式中各项系数之和为（1－2）8＝1.

答案：

1