高中数学 第三章 函数的应用阶段质量检测 新人教A版必修1.docx

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高中数学第三章函数的应用阶段质量检测新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第三章函数的应用阶段质量检测新人教A版必修1

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是（　　）

2．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

x

0.2

0.6

1.0

1.4

1.8

2.2

2.6

3.0

3.4

…

y＝2x

1.149

1.516

2.0

2.639

3.482

4.595

6.063

8.0

10.556

…

y＝x2

0.04

0.36

1.0

1.96

3.24

4.84

6.76

9.0

11.56

…

那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的（　　）

A．（0.6,1.0）　　　　　　　　B．（1.4,1.8）

C．（1.8,2.2）D．（2.6,3.0）

3．xx年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是（　　）

A．y＝0.2xB．y＝

（x2＋2x）

C．y＝

D．y＝0.2＋log16x

4．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为（　　）

A．100kmB．125km

C．150kmD．225km

5．在物价飞速上涨的今天，某商品xx年零售价比xx年上涨25%，欲控制xx年比xx年只上涨10%，则xx年应比xx年降价（　　）

A．15%B．12%

C．10%D．8%

6．若函数f（x）唯一零点同时在（0,4），（0,2），（1,2），

内，则与f（0）符号相同的是（　　）

A．f（4）B．f

（2）

C．f

（1）D．f

7．已知函数t＝－144lg

的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t（h）表示达到打字水平N（字/min）所需的学习时间，N表示打字速度（字/min），则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是（　　）

A．144hB．90h

C．60hD．40h

8．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：

①如一次购物不超过200元，不予以折扣；

②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；

③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．

某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（　　）

A．608元B．574.1元

C．582.6元D．456.8元

9．函数f（x）＝ln（x＋1）－

（x>0）的零点所在的大致区间是（　　）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2，e）D．（3,4）

10．已知函数f（x）＝

x－log2x，若实数x0是函数f（x）的零点，且0

A．恒为正值B．等于0

C．恒为负值D．不大于0

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．如果函数f（x）＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．

12．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少

时，面积达到最大，此时x的值为________．

13．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．

14．已知函数f（x）＝logax＋x－b（a>0，且a≠1）．当2

三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤．）

15．（12分）已知函数f（x）＝x－1＋

x2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f（x）有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间（各区间长度不超过1）．

16．（12分）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2

，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．

（1）求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；

（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

17．（12分）A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．

（1）求x的范围；

（2）把月供电总费用y表示成x的函数；

（3）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．

18．（14分）某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图所示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（天）之间的关系如下：

t（天）

5

15

20

30

Q（件）

35

25

20

10

（1）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；

（2）在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定日销售量Q与时间t的函数关系式；

（3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

（日销售金额＝每件的销售价格×日销售量）

答案

阶段质量检测（三）

1．选A　由二分法的定义与原理知A选项正确．

2．选C　构造f（x）＝2x－x2，则f（1.8）＝0.242，f（2.2）＝－0.245，故在（1.8,2.2）内存在一点使f（x）＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间（1.8,2.2）上．

3．选C　当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.

4．选C　t＝2时，汽车行驶的路程为：

s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5

＝25＋75＋50

＝150km.故选C.

5．选B　设xx年应比xx年降价x%，则（1＋25%）（1－x%）＝1＋10%，解得x＝12.

6．选C　由函数零点的判断方法可知，f

（2），f（4）与f（0）符号相反，f

（1）与f

（2）符号相反，故f

（1）与f（0）符号相同，故选C.

7．选A　由N＝90可知，t＝－144lg

＝144h.

8．选C　由题意得购物付款432元，实际标价为432×

＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．

9．选B　f

（1）＝ln2－2<0，f

（2）＝ln3－1>0，

又y＝ln（x＋1）是增函数，y＝－

在（0，＋∞）上也是增函数，

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

∴f（x）在（1,2）上有且仅有一个零点．

10．选A　∵函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，且f（x0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，均有f（x）>0，而0

∴f（x1）>0.

11．解析：

函数f（x）＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，

则f（0）＝0，

∴m＋3＝0，

∴m＝－3，

则f（x）＝x2－3x，

于是另一个零点是3.

答案：

3

12．解析：

由题意，S＝（4＋x）

，即S＝－

x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大．

答案：

1

13．解析：

设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，

则利润为y＝（10＋x）（100－10x）－8（100－10x）＝－10（x－4）2＋360（0≤x<10，x∈N）．

因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．

答案：

14

14．解析：

∵2

∴f

（2）＝loga2＋2－b<1＋2－b

＝3－b<0，

f（3）＝loga3＋3－b>1＋3－b＝4－b>0，

即f

（2）·f（3）<0，易知f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

∴函数f（x）在（0，＋∞）上存在唯一的零点x0，且x0∈（2,3），

∴n＝2.

答案：

2

15．解：

令y1＝x－1，

y2＝－

x2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象（如图所示），其中抛物线的顶点坐标为（0,2），与x轴的交点分别为（－2,0），（2,0），y1与y2的图象有3个交点，从而函数f（x）有3个零点．

由f（x）的解析式知x≠0，f（x）的图象在（－∞，0）和（0，＋∞）上分别是连续不断的曲线，且f（－3）＝

>0，f（－2）＝－

<0，

f

＝

>0，f

（1）＝－

<0，f

（2）＝

>0，

即f（－3）·f（－2）<0，f

·f

（1）<0，f

（1）·f

（2）<0，

∴3个零点分别在区间（－3，－2），

，（1,2）内．

16．解：

（1）由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，

代入题给公式可得：

0＝5log2

，解得Q＝10.

即燕子静止时的耗氧量是10个单位．

（2）将耗氧量Q＝80代入题给公式得：

v＝5log2

＝5log28＝15（m/s）．

即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.

17．解：

（1）x的取值范围为[10,90]；

（2）y＝0.25×20x2＋0.25×10（100－x）2

＝5x2＋

（100－x）2（10≤x≤90）；

（3）由y＝5x2＋

（100－x）2＝

x2－500x＋25000＝

（x－

）2＋

.则当x＝

km时，y最小．

故当核电站建在距A城

km时，才能使供电费用最小．

18．解：

（1）根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为P＝

（2）描出实数对（t，Q）的对应点（如下图）．

从图中可以发现，点（5,35），（15,25），（20,20），（30,10）基本上分布在一条直线上，

假设这条直线为l：

Q＝kt＋b.由点（5,35），（30,10）确定出直线l的解析式为Q＝－t＋40，

通过检验可知：

点（15,25），（20,20）也在直线l上．

所以日销售量Q与时间t的函数关系式为Q＝－t＋40（0

（3）设日销售金额为y（元），则

y＝P×Q＝

＝

若0

ymax＝900；

若25≤t≤30，t∈N*，则当t＝25时，

ymax＝1125.

由1125>900，知ymax＝1125.

故这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．

2019-2020年高中数学第三章函数的应用阶段质量评估新人教A版必修1

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是（　　）

解析：

由二分法的定义易知．

答案：

A

2．已知f（x）是偶函数，且方程f（x）＝0有四个实根，则这四个实根之和为（　　）

A．4　　　B．2　　　

C．1　　　D．0

解析：

因为f（x）为偶函数，故其实数根成对出现，且两两之和为0.

答案：

D

3．已知f（x）＝3ax＋1－2a，设在（－1,1）上存在x0使f（x0）＝0，则a的取值范围是（　　）

A．－1

B．a>

C．a>

或a<－1D．a<－1

解析：

∵f（x）是x的一次函数，

∴f（－1）·f

（1）<0⇒a>

或a<－1.

答案：

C

4．下列给出的四个函数f（x）的图象中能使函数y＝f（x）－1没有零点的是（　　）

解析：

把y＝f（x）的图象向下平移1个单位后，只有C项中图象与x轴无交点．

答案：

C

5．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则蜡烛燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（　　）

解析：

本题结合函数图象考查一次函数模型．由题意得h＝20－5t（0≤t≤4），故选B.

答案：

B

6．已知x0是函数f（x）＝ex＋2x－4的一个零点，若x1∈（－1，x0），x2∈（x0,2），则下列选项正确的是（　　）

A．f（x1）<0，f（x2）<0

B．f（x1）<0，f（x2）>0

C．f（x1）>0，f（x2）<0

D．f（x1）>0，f（x2）>0

解析：

本题考查函数的单调性以及零点的概念，零点存在性定理的应用．∵f（0）＝e0＋2×0－4＝－3<0，f

（1）＝e1＋2×1－4＝e－2>0，∴f（0）f

（1）<0，又易知f（x）＝ex＋2x－4在R上是增函数，所以x0∈（0,1），根据f（x）的单调性，得f（x1）f（x0）＝0，故选B.

答案：

B

7．已知函数f（x）＝ax－3（a>0，且a≠1），f（x0）＝0，若x0∈（0,1），则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2,3）D．（3，＋∞）

解析：

本题以函数零点为载体，考查指数函数、对数函数的图象和性质．由f（x0）＝0，得ax0－3＝0，

∴x0＝loga3，又x0∈（0,1），∴03，故选D.

答案：

D

8．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为（　　）

A．2000m2B．2500m2

C．2800m2D．3000m2

解析：

本题考查结合几何图形建立函数模型的能力．如图所示设矩形的一边长为xm，则矩形的另一边长为（200－4x）m，记矩形面积为S，则S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0

答案：

B

9．如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（　　）

A．指数函数：

y＝2t

B．对数函数：

y＝log2t

C．幂函数：

y＝t3

D．二次函数：

y＝2t2

解析：

本题考查指数函数模型，根据图象中的点，经验证用指数函数模型拟合效果最好，故选A.

答案：

A

10．设函数f（x）＝

，若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则函数y＝f（x）－x的零点的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

本题主要考查二次函数、分段函数、函数零点及求法．f（－4）＝f（0）⇒b＝4，f（－2）＝－2⇒c＝2，∴f（x）＝

，当x≤0时，由x2＋4x＋2＝x解得x1＝－1，x2＝－2；当x>0时，x＝3.所以函数y＝f（x）－x的零点个数为3，故选C.

答案：

C

11.已知函数f（x）＝（x－a）（x－b）（a>b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax＋b的图象是（　　）

解析：

本题主要考查二次函数、指数函数的图象和性质．由f（x）的图象知，f（x）＝（x－a）（x－b）的两个零点为a，b满足0

答案：

A

12．如图1，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿B―→C―→D―→A的顺序运动，得到以点P运动的路程x为自变量，△ABP的面积y为因变量的函数的图象，如图2，则梯形ABCD的面积是（　　）

A．96B．104

C．108D．112

解析：

本题考查应用函数图象求解的能力．从图2可看出，BC＝8，CD＝10，DA＝10，在图1中，过D作AB的垂线，垂足为E，可推得AE＝6，AB＝16，所以梯形的面积为

（DC＋AB）×BC＝

（10＋16）×8＝104，故选B.

答案：

B

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）

13．函数f（x）＝

的零点是______．

解析：

由f（x）＝0，即

＝0，得x＝1，

即函数f（x）的零点为x＝1.

答案：

x＝1

14．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：

驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______小时才能开车．（精确到1小时）

解析：

设至少经过x小时才能开车，由题意得

0．3（1－25%）x≤0.09，∴0.75x≤0.3，

x≥log0.750.3≈5.

答案：

5

15．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．

解析：

设一个正三角形的边长为x，

则另一个正三角形的边长为

＝4－x，

两个正三角形的面积和为

S＝

x2＋

（4－x）2

＝

[（x－2）2＋4]（0＜x＜4）．

当x＝2时，Smin＝2

（cm2）．

答案：

2

cm2

16．已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的方程f（x）＝c（c∈R）有两个实根m，m＋6，则实数c的值为______．

解析：

本题主要考查一元二次方程根的求法以及根与系数的关系，考查学生分析问题、解决问题的能力．由题意知f（x）＝x2＋ax＋b＝

2＋b－

.∵f（x）的值域为[0，＋∞），

∴b－

＝0，即b＝

，∴f（x）＝

2.

又∵f（x）＝c，∴x＝－

±

，

∴

.

由②－①得2

＝6，∴c＝9.

答案：

9

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2－3x－10的两个零点为x1，x2（x1

解：

A＝{x|x≤－2，或x≥5}．（2分）

要使A∩B＝∅，必有

或3m＋2≤2m－1，（5分）

解得

或m≤－3，（8分）

即－

≤m≤1，或m≤－3.（10分）

所以m的取值范围为

.（12分）

18．（本小题满分12分）如图直角梯形ABCD的两底边分别为AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数．

解：

①当点N在BC上时y＝（2a－x）·a（a

②当点N在AB上时y＝

－

x2（0

综上，有y＝

（12分）

19．（本小题满分12分）设函数f（x）＝ax2＋（b－8）x－a－ab的两个零点分别是－3和2.

（1）求f（x）；

（2）当函数f（x）的定义域是[0,1]时，求函数f（x）的值域．

解：

（1）∵f（x）的两个零点是－3和2，

∴函数图象过点（－3,0）、（2,0）．（2分）

∴有9a－3（b－8）－a－ab＝0，①　　

4a＋2（b－8）－a－ab＝0，②（4分）

①－②得b＝a＋8.③　　

③代入②得4a＋2a－a－a（a＋8）＝0，即a2＋3a＝0.

∵a≠0，∴a＝－3.∴b＝a＋8＝5.

∴f（x）＝－3x2－3x＋18.（6分）

（2）由

（1）得f（x）＝－3x2－3x＋18

＝－3

2＋

＋18，（8分）

图象的对称轴方程是x＝－

.（9分）

又0≤x≤1，

∴fmin（x）＝f

（1）＝12，

fmax（x）＝f（0）＝18.（11分）

∴函数f（x）的值域是[12,18]．（12分）

20．（本小题满分12分）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟，又测得浓渡为32ppm，经检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）存在函数关系：

y＝c

mt（c，m为常数）．

（1）求c，m的值；

（2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

解：

（1）由题意可得方程组

（2分）

解之得c＝128，m＝

.（5分）

所以y＝128×

.（6分）

（2）由题意可得不等式y＝128×

≤0.5，（8分）

即

≤

8，即

t≥8，解得t≥32.（11分）

所以至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．（12分）

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2＋ax＋1（a>0）．

（1）设函数g（x）＝（3x＋1）f（x），若y＝g（x）与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；

（2）设函数h（x）＝

，若函数M（x）＝h（x）－a2有三个不同的零点，求a的取值范围．

解：

（1）因为g（x）＝（3x＋1）（x2＋ax＋1）与x轴恰有两个不同的交点．

所以①方程x2＋ax＋1＝0有两个相等的实根，且不为－

，

则a＝±2，又a>0，故a＝2.（2分）

②方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根，且其中一个根为－

，

则

，解得a＝

.

综上，a的取值集合为

.（5分）

（2）h（x）＝

若M（x）＝h（x）－a2有三个不同的零点，即直线y＝a2与曲线y＝h（x）有三个不同的交点．

又2ax＋

单调递增且最大值为a＋

，同时x＋

＋a≥2＋a，

结合y＝h（x）的图象，得2＋a

，（9分）

解得2

，

所以a的取值范围是

.（12分）

22．（本小题满分14分）辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：

元）与上市时间x（单位：

天）的数据如表：

上市时间x天

4

10

36

市场价y元

90

51

90

（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系：

①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；

（2）利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；

（3）设你选取的函数为f（x），若对任意实数k，方程f（x）＝kx＋2m＋120恒有两个相异的零点，求m的取值范围．

解：

（1）∵随着时间x的增加，y的值先减少后增加，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，

∴y＝ax2＋bx＋c最合适．（3分）

（2）把点（4,90），（10,51），（36,90）代入方程，

得

解方程组，得

，（6分）

∴y＝

x2－10x＋126＝

（x－20）2＋26，

∴当x＝20时，y有最小值，ymin＝26.

故辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20，最低价格为26元．（8分