MATLAB数学实验报告.docx
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MATLAB数学实验报告
Matlab数学实验报告
一、实验目的
通过以下四组实验,熟悉MATLAB的编程技巧,学会运用
MATLAB的一些主要功能、命令，通过建立数学模型解决理论或实际问题。
了解诸如分岔、混沌等概念、学会建立Malthu模型和Logistic模型、懂得最小二乘法、线性规划等基本思想。
二、实验内容
2.1实验题目一
2.1.1实验问题
Feigenbaum曾对超越函数y=λsin（πｘ）（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试进行迭代格式x=λsin（πx）,做出相应的kk+1Feigenbaum图
2.1.2程序设计
clear;clf;
axis（[0,4,0,4]）;
holdon
forr=0:
0.3:
3.9
x=[0.1];
fori=2:
150
x（i）=r*sin（3.14*x（i-1））;
end
pause（0.5）
fori=101:
150
plot（r,x（i）,'k.'）;
end
text（r-0.1,max（x（101:
150））+0.05,['\it{r}=',num2str（r）]）
end
加密迭代后
clear;clf;
axis（[0,4,0,4]）;
holdon
forr=0:
0.005:
3.9
x=[0.1];
fori=2:
150
x（i）=r*sin（3.14*x（i-1））;
end
pause（0.1）
fori=101:
150
plot（r,x（i）,'k.'）;
end
end
运行后得到Feigenbaum图
2.2实验题目二
2.2.1实验问题
某农夫有一个半径10米的圆形牛栏，长满了草。
他要将一头牛拴在牛栏边界的桩栏上，但只让牛吃到一半草，问拴牛鼻子的绳子应为多长？
问题分析2.2.2
如图所示，E为圆ABD的圆心，AB为拴牛的绳子，圆ABD为草场，区域ABCD为牛能到达的区域。
问题要求区域ABCD等于圆ABC的一半，可以设BC等于x,只要求出∠a和∠b就能求出所求面22，再求ABx÷π×π的面=2aπ2aABCD积。
先计算扇形的面积，积，用扇形ABE的面积减去三角形ABE的面积即可。
程序设计2.2.3f=inline（'acos（x/20）*x^2+100*pi-200*acos（x/20）-x*sqrt（100-（x^2）/4）-50*pi'）;
a=0;
b=20;
dlt=1.0*10^-3;
k=1;
whileabs（b-a）>dlt
c=（a+b）/2;
iff（c）==0
break;
elseiff（c）*f（b）<0
a=c;
else
b=c;
end
fprintf（'k=%d,x=%.5f\n',k,c）;
k=k+1;
end
问题求解与结论2.2.4k=6,x=11.56250
k=7,x=11.71875
k=8,x=11.64063
k=9,x=11.60156
k=10,x=11.58203
k=11,x=11.59180
k=12,x=11.58691
k=13,x=11.58936
k=14,x=11.58813
k=15,x=11.58752
结果表明，要想牛只吃到一半的草，拴牛的绳子应该为11.6米。
2.3实验题目三
2.3.1实验问题
饲养厂饲养动物出售，设每头动物每天至少需要700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。
现有5种饲料可供选用，每种饲料每千克所含营养成分含量及单价如下表。
试确定既能满足动物生长的营养需要，又可使费用最省的选用饲料的方案。
饲料蛋白质（g）
矿物质（g）
维生素（mg）
价格{元/千克}
A1310.50.2
0.71A220.5
0.40.20.2A31
0.3226A40.8
0.5
18
A5
0.8
五种饲料单位质量（1kg）所含营养成分
问题分析与模型建立2.3.2设X（j=1,2,3,4,5）表示饲料中所含的第j种饲料的数量。
由于提供j
的蛋白质总量必须每天满足最低要求70g，故应有
3X+2X+1X+6X+18X≥700
53241同理，考虑矿物质和维生素的需求。
应有
1X+0.5X+0.2X+2X+0.5X≥30532140.5X+1X+0.2X+2X+0.8X≥100
54213希望调配出来的混合饲料成本最低，故目标函数f为
f=0.2X+0.7X+0.4X+0.3X+0.8X53214当来对决策量X的要求应为非负。
j所以该饲料配比问题是一个线性规划模型
Minf=0.2X+0.7X+0.4X+0.3X+0.8X531243X+2X+1X+6X+18X≥700521431X+0.5X+0.2X+2X+0.5X≥30532410.5X+1X+0.2X+2X+0.8X≥10054132X≥0,j=1,2,3,4,5j
模型评述2.3.3一般的食谱问题可叙述为：
设有n种食物，每种食物中含有m
种营养成分。
用ija表示一个单位的第j种食物中含有第i种营养的数量，用ib表示每人每天对第i种营养的最低需求量，jc表示第
m
种食品的数量，一方面满足j表示所用的第jx种食品的单价，j
种营养成分的需要同时使事物的总成本最低。
一般的食谱问题的线性规划模型为
这类线性规划模型还可以描述很多诸如合理下料、最小成本运输、合分派任务等问题，具有很强的代表性。
模型计算2.3.4将该问题化成Matlab中线性规划问题的标准形式Min
f=0.2X+0.7X+0.4X+0.3X+0.8X52431-3X-2X-1X-6X-18X≤-70053124-1X-0.5X-0.2X-2X-0.5X≤-3052413-0.5X-1X-0.2X-2X-0/;.8X≤-1005413Ｘ≥0,j=1,2,3,4,5
j由MATLAB软件的编辑器构作m文件LF如下：
c=[0.2,0.7,0.4,0.3,0.8];
a=[-3,-2,-1,-6,-18;-1,-0.5,-0.2,-2,-0.5;-0.5,-1,-0.2,-2,-0.8];
b=[-700,-30,-100];
lb=[00000];
ub=[];
aeq=[];
beq=[];
[x,fval]=linprog（c,a,b,aeq,beq,lb,ub）
在MATLAB命令窗口键入LF，回车，计算结果显示如下
x=0.0000
0.0000
0.0000
39.7436
25.6410
fval=
32.4359
其结果显示x=0x=0x=0x=39.7436x=25.6410,则表示该公司分别53124购买第四种第五种饲料39.7436（kg）,25.6410（kg）配成混合饲料；所耗成本32.4359（元）为满足营养条件下的最低成本。
2.3.5模型思考：
线性规划的本质特点
一.目标函数是决策变量的线性函数
二.约束条件是决策变量的线性等式或不等式，它是一种较为简单而又特殊的约束极值问题。
三.能转化为线性规划问题的实例很多如：
生产决策问题，一般性的投资问题，地址的选择，运输问题等等。
2.4实验题目四
2.4.1实验题目描述
790年到1980年各年美国人口数的统计数据如下表：
1
1800181018201830184018501860187018801790年份3.931.438.650.27.25.39.612.917.123.2统计1890193019401950196019701980191019201900年份62.0
204.0226.5
92.072.0
106.5123.2131.7150.7179.3统计
试根据以上数据，
（1）分别用Malthu模型和Logistic模型建立美国人口增长的近似曲线（设美国人口总体容纳量为3.5亿）;
（2）预测2000年，2005年，2010年，2015年，2020年人口数;
（3）对两种预测结果进行比较.
2.4.2问题的分析
2.4.2.1Malthu模型
1798年，Malthus提出对生物繁殖规律的看法。
他认为，一种群中个体数量的增长率与该时刻种群的的个体数量成正比。
设x（t）表示该种群在t时刻个体的数量，则其增长率（dx/dt）=rx（t）,或相对增长率1/x*dx/dt=r.其中常数r=B-D,B和D分别为该种群个体的平均生育率与死亡率。
2.4.2.2
Logistic模型
指出上述模型未考虑“密度制约”因素。
Verhulst年，1838．
种群生活在一定的环境中，在资源给定的情况下，个体数目越多，个体所获资源就越少，这将抑制其生长率，增加死亡率。
所以相对增长率1/x*（dx/dt）不应为一常数r,而应是r乘上一个“密度制约”因子。
此因子随x单调减小，设其为（1-x/k），其中k为环境容纳量。
于是Verhulst提出Logistic模型：
dx/dt=rx（1-x/k）。
2.4.3实验设计的流程
2.4.3.1Malthu模型源代码
clear;clf
x=10:
10:
200;
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.072.092.0106.5
123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
plot（x+1780,'k-','markersize',20）;
axis（[1780,2020,3,800]）;
grid;holdon
n=20;
a=sum（x（1:
n））;
b=sum（x（1:
n）.*x（1:
n））;
c=sum（log（y（1:
n）））;
d=sum（log（y（1:
n））.*x（1:
n））;
A=[na;ab];
B=[c;d];
P=inv（A）*B;
t=10:
10:
800;
f=exp（P
（1）+P
（2）*t）;
plot（t+1780,f,'ro-','linewidth',2）;
k=[20002005201020152020];
f=exp（P
（1）+P
（2）*（k-1780））;
fprintf（'f=%.1f',f）;
2.4.3.2Logistic模型程序源代码
clc;clear;
x=9:
28;
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.072.092.0106.5
123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
plot（x*10+1700,y,'k.','markersize',15）;
grid;
holdon;
axis（[179020150400]）;
m=1000*y./（1000-y）;
a1=sum（x）;
a2=sum（x.^2）;
a3=sum（log（m））;
a4=sum（x.*log（m））;
A=[20,a1;a1,a2];
B=[a3;a4];
p=inv（A）*B;
t=9:
0.1:
55;
s=1./（0.001+exp（-p
（1）-p
（2）*t））;
plot（t*10+1700,s,'r-'）;
k=[3030.53131.532];
l=[k*10+1700;1./（0.001+exp（-p
（1）-p
（2）*k））];
2.4.4上机实验结果的分析与结论
Malthus模型结果
Logistic模型结果
对比预测结果与实际数据，可看出Logistic模型更符合自然规律。
三、实验小结与体会
通过以上四组数学实验、我们熟悉了解了许多MATLAB的方法及理论、并尝试了将其运用到了实际问题中去，解决实际问题。
比如，在实验一中，了解了方程的迭代以及分岔、混沌的概念；实验二中通过简单的MATLAB程序解决数学问题；实验三中尝试通过线性规划建立数学模型，从而解决生产生活中的实际问题，了解了最大最小化问题的求解及其MATLAB指令；实验四中通过人口预测问题的分析求解，了解运用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，掌握了建立人口增长数学模型的思想方法，学会建立Malthu模型和Logistic模型。
此外，通过这几次数学实验，就个人而言，不仅思维得到了锻炼、编出的程序不仅MATLAB提升，而且让我们感觉到数学的乐趣。
用．
算得快，画出的图形、得出的结论也很有意思。
就团队而言，这门课程很讲究相互配合、团队合作，不仅让我们更有团队精神，更增进了友谊。
而且，通过实验不仅仅只是解决了几道题而已，更重要的是学习解决数学问题的思维方式。
最后，感谢老师开设这门课程，给了我们更多机会，让我们从中受益匪浅，收获良多。
谢谢老师的悉心教导。
00:
00ThomasBergersen-EmpireofAngels
04:
47SilverScreen-TheElysium
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30EpicScore-RidetoGlory
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35C21FX-AncientEvil
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55SubPubMusic-Fearless
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55PositionMusic-ResonanceTheory
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19VoltaMusic-Revolution
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50PostHasteMusic-FallenHeroes
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24MaxCameron-EscapeVelocity
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40KellyAndrew-ChasingGlory
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17PeterCrowley-TheEchoesOfWar
32:
52BrunuhVille-TheWolfandtheMoon
36:
44BrandXMusic-HelmettoHelmet
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16ImmediateMusic-ProtectorsOfTruth
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14ReallySlowMotion-HomecomingWarrior
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41Nightcall-DeadV
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06TwoStepsFromHell-Riders
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26EpicMusicVn-Starlight
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07GothicStormMusic-BeyondTheStars
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34MichaelConn-PitcairnStory
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55Audiomachine-IceofPhoenix
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20C21FX-Legacy
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