因式分解学法探究.docx
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因式分解学法探究
因式分解学法探究
定义
定义：
把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
意义：
它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法为相反变形。
方法
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
（实际上经典例题：
1.分解因式（1+y）
-2x
（1+y
）+x
（1-y）
解：
原式=（1+y）^2+2（1+y）x^2（1+y）+x^4（1-y）^2-2（1+y）x^2（1-y）-2x^2（1+y^2）
=[（1+y）+x^2（1-y）]^2-2（1+y）x^2（1-y）-2x^2（1+y^2）
=[（1+y）+x^2（1-y）]^2-（2x）^2
=[（1+y）+x^2（1-y）+2x]·[（1+y）+x^2（1-y）-2x]
=（x^2-x^2y+2x+y+1）（x^2-x^2y-2x+y+1）
=[（x+1）^2-y（x^2-1）][（x-1）^2-y（x^2-1）]
=（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）
2.证明：
对于任何数x,y，下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解：
原式=（x^5+3x^4y）-（5x^3y^2+15x^2y^3）+（4xy^4+12y^5）
=x^4（x+3y）-5x^2y^2（x+3y）+4y^4（x+3y）
=（x+3y）（x^4-5x^2y^2+4y^4）
=（x+3y）（x^2-4y^2）（x^2-y^2）
=（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）
就是把简单的问题复杂化）
注意三原则
1分解要彻底
2最后结果只有小括号
3最后结果中多项式首项系数为正（例如：
-3x
+x=x（-3x+1））
归纳方法：
1、提公因式法。
2、公式法。
3、分组分解法。
4、凑数法。
[x
+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）]
5、组合分解法。
6、十字相乘法。
7、双十字相乘法。
8、配方法。
9、拆项法。
10、换元法。
11、长除法。
12、加减项法。
13、求根法。
14、图象法。
15、主元法。
16、待定系数法。
17、特殊值法。
18、因式定理法。
基本方法
提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：
找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：
-am+bm+cm=-（a-b-c）m； a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）=（a-b）（x-y）。
注意：
把2a+1/2变成2（a+1/4）不叫提公因式
公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式:
（a+b）（a-b）=a^2-b^2反过来为a^2-b^2=（a+b）（a-b）
完全平方公式：
（a+b）^2=a^2+2ab+b^2反过来为a^2+2ab+b^2=（a+b）^2
（a-b）^2=a^2-2ab+b^2a^2-2ab+b^2=（a-b）^2
注意：
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。
两根式：
ax2+bx+c=a（x-（-b+√（b2-4ac））/2a）（x-（-b-√（b2-4ac））/2a）
立方和公式：
a^3+b^3=（a+b）（a2-ab+b2）；
立方差公式：
a^3-b^3=（a-b）（a2+ab+b2）；
完全立方公式：
a3±3a2b＋3ab2±b3=（a±b）3．
公式：
a^3+b^3+c^3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）
例如：
a^2+4ab+4b^2=（a+2b）^2。
（3）分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：
分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
竞赛用到的方法
分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：
二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a（x+y）+b（x+y）
=（a+b）（x+y）
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）
几道例题：
1.5ax+5bx+3ay+3by
解法：
=5x（a+b）+3y（a+b）
=（5x+3y）（a+b）
说明：
系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2.x^3-x^2+x-1
解法：
=（x^3-x^2）+（x-1）
=x^2（x-1）+（x-1）
=（x-1）（x^2+1）
利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。
3.x^2-x-y^2-y
解法：
=（x^2-y^2）-（x+y）
=（x+y）（x-y）-（x+y）
=（x+y）（x-y-1）
利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=（a+b）（a-b），然后相合解决。
十字相乘法
这种方法有两种情况。
①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：
二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=（ax+b）（cx+d）．
图示如下：
a╲╱c
b╱╲d
例如：
因为
1╲╱2
-3╱╲7
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x2-19x-6=（7x+2）（x-3）．
十字相乘法口诀：
首尾分解，交叉相乘，求和凑中
拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：
bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）
=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）
=bc（c-a）+bc（a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）
=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）
=（bc+ca）（c-a）+（bc-ab）（a+b）
=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）
=（c+b）（c-a）（a+b）．
配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。
也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：
x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=（x+1.5）^2-（6.5）^2
=（x+8）（x-5）．
应用因式定理
对于多项式f（x）=0，如果f（a）=0，那么f（x）必含有因式x-a．
例如：
f（x）=x2+5x+6，f（-2）=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。
（事实上，x2+5x+6=（x+2）（x+3）．）
注意：
1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；
2、对于多项式f（a）=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数
换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
相关公式
注意:
换元后勿忘还元.
例如在分解（x2+x+1）（x2+x+2）-12时，
可以令y=x^2+x,则
原式=（y+1）（y+2）-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=（y+5）（y-2）
=（x^2+x+5）（x2+x-2）
=（x^2+x+5）（x+2）（x-1）．
也可以参看右图。
求根法
令多项式f（x）=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0，
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）．
图象法
令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
例如在分解x^3+2x^2-5x-6时，可以令y=x^3;+2x^2-5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x^3+2x^2-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）．
主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
特殊值法
将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则
x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x^3+9x^2+23x+15可能等于（x+1）（x+3）（x+5），验证后的确如此。
待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：
这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=（x^2+ax+b）（x^2+cx+d）
相关公式
=x^4+（a+c）x^3+（ac+b+d）x^2+（ad+bc）x+bd
由此可得a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=（x^2+x+1）（x^2-2x-4）．
也可以参看右图。
双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例：
分解因式：
x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：
这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：
图如下，把所有的数字交叉相连即可
x2y2
①②③
x3y6
∴原式=（x+2y+2）（x+3y+6）．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=（x+2y）（x+3y）；
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。
如十字相乘图②中6y²+18y+12=（2y+2）（3y+6）；
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解
例：
对于二次多项式aX^2+bX+c（a≠0）
aX^2+bX+c=a[X^2+（b/a）X+（c/a）X].
当△=b^2-4ac≥0时，
=a（X^2-X1-X2+X1X2）
=a（X-X1）（X-X2）.
多项式因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：
“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要合适。
”
几道例题
1．分解因式（1+y）^2-2x^2（1+y^2）+x^4（1-y）^2．
解：
原式=（1+y）^2+2（1+y）x^2（1-y）+x^4（1-y）^2-2（1+y）x^2（1-y）-2x^2（1+y^2）（补项）
=[（1+y）+x^2（1-y）]^2-2（1+y）x^2（1-y）-2x^2（1+y^2）（完全平方）
=[（1+y）+x^2（1-y）]^2-（2x）^2
=[（1+y）+x^2（1-y）+2x][（1+y）+x^2（1-y）-2x]
=（x^2-x^2y+2x+y+1）（x^2-x^2y-2x+y+1）
=[（x+1）^2-y（x^2-1）][（x-1）^2-y（x^2-1）]
=（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）．
2．求证：
对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
解：
原式=（x^5+3x^4y）-（5x^3y^2+15x^2y^3）+（4xy^4+12y^5）
=x^4（x+3y）-5x^2y^2（x+3y）+4y^4（x+3y）
=（x+3y）（x^4-5x^2y^2+4y^4）
=（x+3y）（x^2-4y^2）（x^2-y^2）
=（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）．
（分解因式的过程也可以参看右图。
）
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：
-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：
这个三角形是等腰三角形。
分析：
此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：
∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴（a+c）（a-c）+2b（a-c）=0．
∴（a-c）（a+2b+c）=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0，
即a＝c，△ABC为等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n+18x^（n+2）y^（n+1）-6x^n×y^（n-1）分解因式。
解：
-12x^2n×y^n+18x^（n+2）y^（n+1）-6x^n×y^（n-1）
=-6x^n×y^（n-1）（2x^n×y-3x^2y^2+1）．
四个注意
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：
首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。
现举下例可供参考
例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：
－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误
例2把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。
解：
－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
即分解到底，不能半途而废的意思。
其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
考试时应注意：
在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到整数！
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：
“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。
应用
1、应用于多项式除法。
2、应用于高次方程的求根。
3、应用于分式的通分与约分
顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：
1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：
（8r+7）|（2^P-1）。
即（2p+1）|（2^P-1）；
.例如：
23|（2^11-1）;；11=4×2+3；
47|（2^23-1）;；23=4×5+3；
167|（2^83-1）;,,,.83=4×20+3；
。
。
。
。
2,，p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|（2^P-1），
例如：
223|（2^37-1）;；37=2×2×3×3+1；
439|（2^73-1）；73=2×2×2×3×3+1；
3463|（2^577-1）;；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1；
，，，。
3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1）；
.例如;233|（2^29-1）；29=2×3×5-1；
;1433|（2^179-1）；179=2×2×3×3×5-1；
1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1；
，，，。
还有一些梅森数分解取得进展，不再一一叙述
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