第一章特殊的平行四边形.docx

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第一章特殊的平行四边形

第一章特殊平行四边形

§1.1菱形的性质与判定（第1课时）

教材分析：

“菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。

本课的具体学习任务：

①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。

教学目标：

1.知识技能目标：

经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．

2.数学思考目标：

通过探索，让学生经历“探索——发现——猜测——证明”的过程，体会合情推理与演绎推理的作用。

进一步体会归纳、类比、转化的思想方法.

3.问题解决目标：

在具体的情景中发现问题和提出问题，在合作交流中去解决问题：

进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法；拓展证明的思路与方法，规范证明步骤．

4.情感态度目标：

通过对特殊平行四边形的探究，进一步激发学生对学习四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心.

教学重点：

掌握

菱形的性质．

教学难点：

运用菱形的性质解决与菱形有关的问题．

教学方法

（1）教法：

_______________________________________________________________

（2）学法：

______________________________________________________

教学准备:

教学环节设计：

一．情境引入

1.提问：

什么是平行四边形？

学生回顾交流。

2.教师出示生活中菱形的例子，引出这类特殊的平行四边形——菱形，并得出菱形的概念：

问：

彩图中的平行四边形与相比较，有不同点吗？

归纳：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

目的：

通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力。

上课时让学生观察图形，从直观上把握菱形的特点，从而给出菱形的定义，让学生明确菱形不但是平行四边形，而且有其特点“一组邻边相等”。

同时，要让学生体会数学来源于生活，让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩，从而提高学生学习数学的兴趣。

二.新课学习

1、想一想

①教师：

菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

你能列举一些这样的性质吗？

学生：

菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

②教师：

同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？

请你与同伴交流。

学生活动：

分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。

三.探究

2、做一做

教师：

请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

（1）菱形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

对称轴之间有什么位置关系？

（2）菱形中有哪些相等的线段？

学生活动：

分小组折纸探索教师的问题答案。

组长组织，并汇总结果。

师生结论：

①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。

②菱形的四条边相等。

3、证明菱形性质

教师：

通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。

教师活动：

展示题目

已知：

如图1-1，在菱形ABCD中，

AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.

求证：

（1）AB=BC=CD=AD；

（2）AC⊥BD.

分析：

①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，

这样就可以证明菱形的四条边都相等了。

②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了。

学生活动：

写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理。

证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.

又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD

（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形

又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABD中，

∵OB=OD，∴AO⊥BD，即AC⊥BD

目的：

学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生的活动过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生推理论证过程中的困难。

四．课堂小结

本节课我们探讨了菱形的定义、性质，我们来共同总结一下：

1、菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2、菱形的性质：

①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。

3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。

目的：

教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获；培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力。

五．作业

个性化设计：

六.教学反思：

第一章特殊平行四边形

§1.1菱形的性质与判定（第2课时）

教材分析：

本节课，学生将探究菱形的判定定理，应该说，有了上节课的铺垫，本节课可以更多地让学生自主探索。

第一个定理的证明中，需要首先明确判定定理与性质定理的关系，这样为后面一系列定理的证明打下基础；第二个定理教科书中是通过设置一个尺规作图的问题引入的，在学生自行完成尺规作图并明确了作法的可行性后，引导学生自主完成证明过程.

教学目标：

1.知识技能目标：

理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题．

2.数学思考目标：

通过探索，让学生经历“探索——发现——猜测——证明”的过程，体会合情推理与演绎推理的作用。

进一步体会归纳、类比、转化的思想方法.

3.问题解决目标：

在具体的情景中发现问题和提出问题，在合作交流中去解决问题：

进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法；拓展证明的思路与方法，规范证明步骤．

4.情感态度目标：

通过对特殊平行四边形的探究，进一步激发学生对学习四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心.

教学重点：

菱形判定定理的证明；菱形判定定理的应用．

教学难点：

学生独立完成证明的过程，增强学生对待科学的严谨治学态度．

教学方法

（2）教法：

_______________________________________________________________

（2）学法：

______________________________________________________

教学准备:

教学环节设计：

一．情境引入

1、制作菱形

（1）在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；

（2）想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形.

（3）利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.

目的：

通过制作棱形的过程学生可以体会菱形的判定条件，从而为课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫。

同时以这种比较有趣的形式对这部分知识进行自主预习，激发学生对本节知识的学习兴趣，激发学生的积极性和主动性。

2、复习上节课探究过的菱形的性质

目的：

通过课件中的问题回顾上节课探究过的菱形的性质定理，从而为本节课课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫。

同时以这种比较有趣的形式对这部分知识进行自主预习，激发学生对本节知识的学习兴趣，激发学生的积极性和主动性。

二.新课学习

让学生说明自己制作的菱形的过程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的四边形是菱形（菱形的尺规作图）”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。

（1）对角线垂直的平行四边形是棱形

（2）四条边相等的四边形是菱形请学生交流大体思路

（3）菱形的尺规作图

（4）利用长方形纸剪折菱形

目的：

菱形的性质学生刚刚学完，也经过了严格的证明，学生对问题证明的分析和格式要求有一定的认知，教师引导学生认识判定定理与性质定理是互逆定理后，可以让学生独立思考，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。

通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。

三.探究

活动内容：

组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线垂直的平行四边形是菱形”和“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。

（一）对角线垂直的平行四边形是菱形

已知:

如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.

求证:

□ABCD是菱形

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC

又∵AC⊥BD

∴BD是线段AC的垂直平分线

∴BA=BC

∴四边形ABCD是菱形（菱形定义）

（二）四条边相等的四边形是菱形

已知:

如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.

求证:

四边形ABCD是菱形

证明:

∵AB=CD,AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

又∵AB=BC

∴四边形ABCD是菱形（菱形定义）

目的：

菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定的关系有一定的认识，再对比性质定理的证明进行，同时，通过教师引导和独立思考，培养学生遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。

四．课堂小结

学生互相交流菱形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，菱形与平行四边形的关系，遇到菱形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。

目的：

鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识

五．作业

个性化设计：

六.教学反思：

第一章特殊平行四边形

§1.1菱形的性质与判定（第3课时）

教材分析：

本节课是菱形的性质与判定的第三课时，教科书对于本部分的安排，是在学生充分经历了菱形的性质及判定的基础上进行设计的的，学生理解了菱形的概念，探索并证明了菱形的性质定理及判别方法，本节课是对菱形性质及判定的巩固，要求学生能利用性质定理及判定定理解决一些相关的问题.

教学目标：

1.知识技能目标：

能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．

2.数学思考目标：

通过探索，让学生经历“探索——发现——猜测——证明”的过程，体会合情推理与演绎推理的作用。

进一步体会归纳、类比、转化的思想方法.

3.问题解决目标：

在具体的情景中发现问题和提出问题，在合作交流中去解决问题：

进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法；拓展证明的思路与方法，规范证明步骤．

4.情感态度目标：

通过对特殊平行四边形的探究，进一步激发学生对学习四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心.

教学重点：

菱形、矩形、正方形的概念及其性质定理和判定定理．

教学难点：

菱形、矩形、正方形的概念及其性质定理和判定定理的综合运用及相关证明．

教学方法

（3）教法：

_______________________________________________________________

（2）学法：

______________________________________________________

教学准备:

教学环节设计：

一．知识回顾

内容：

同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？

1.如图1所示：

在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题：

（1）其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？

（2）对角线AC与BD有什么位置关系？

（3）若∠ADC=120°，求AC的长。

2.如图2所示：

在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：

添加方式1：

.

添加方式2：

.

目的：

通过一些简单题目的设计，帮助学生回顾菱形的相关性质及判定方法，学生从题目入手，不会显得那么古板枯燥，不仅能回顾相关知识而且能激发学生学习兴趣。

二.知识运用

1.例题讲解：

例3如图3，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积.

解：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD,即∠AED=90°，

DE=

BD×10=5（cm）

∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：

∴AC=2AE=2×12=24（cm）.

（2）S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD

=2×S△ABD=2×

×BD×AE

=BD×AE=10×12=120（cm2）.

目的：

通过例3让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路。

2.变式训练：

如上图3，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cm，AC长为16cm.求：

（1）菱形的边长；

（2）求菱形一条边上的高。

目的：

变式训练的设计，是想让学生更加深入地掌握菱形的相关性质，同时对于第二问，学生必须灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一结论求出面积进而求出一边上的高。

效果：

学生对于第一个问题解决比较顺畅，书写较例3规范多了，但对于第二问仍然有疑问，教学时注意引导。

3.方法启迪：

同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？

目的：

学生完成典型例题后及时总结经验是帮助学生形成解题思路的好办法，教师借助这一环节既帮助学生梳理了思路，同时对于学习还有困难的学生是一个好的学习机会。

三.拓展探究

1.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？

为什么？

2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，

使∠A成为菱形一个内角吗？

目的：

很多学生在玩耍的时候经常玩纸条，学生非常熟悉这一背景，但是他们很少发现其中的数学知识，这样也能引起学生的兴趣，同时通过这一题目对于菱形的相关判定方法也进行了巩固。

四．反馈练习

1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则

∠ABC=°，AC=cm.

2.如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是        cm2．

3.已知，如图8，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（）

A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形

4.已知：

如图9，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，

求证：

（1）△ADE≌CDF；

（2）∠DEF=∠DFE.

5．已知：

如图10，在Rt△ABC=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：

四边形ACEF是菱形.

五．课堂小结

略

六．作业

个性化设计：

七.教学反思：

第一章特殊平行四边形

§1.1矩形的性质与判定（第1课时）

教材分析：

本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。

依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置.

教学目标：

1.知识技能目标：

掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系；理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明．

2.数学思考目标：

通过探索，让学生经历“探索——发现——猜测——证明”的过程，体会合情推理与演绎推理的作用。

从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想.

3.问题解决目标：

在具体的情景中发现问题和提出问题，在合作交流中去解决问题：

进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法；拓展证明的思路与方法，规范证明步骤．

4.情感态度目标：

通过对特殊平行四边形的探究，进一步激发学生对学习四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心，培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑

推理的思维价值．

教学重点：

掌握矩形的性质，并学会应用．

教学难点：

理解矩形的特殊性．

教学方法

（4）教法：

_______________________________________________________________

（2）学法：

______________________________________________________

教学准备:

教学环节设计：

一．情境引入

问题：

1、平行四边形具有哪些性质？

2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。

在演示过程中让学生思考：

（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？

（2）在运动过程中四边形不变的是什么？

（3）在运动过程中四边形改变的是什么？

不变：

对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形

变：

角的大小

（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？

这时的平行四边形是什么图形。

（矩形）

矩形的定义：

有一个内角是直角的平行四边形是矩形

目的：

从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念

二.新课学习

1.既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？

在同学回答的基础上进行归纳：

性质

类别

边

角

对角线

对称性

矩形

对边平行

且相等

对角相等

对角线互相平分

中心对称图形

2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。

下面我们来进一步研究矩形的其他性质。

（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；

（2）根据测量的结果，猜想结论。

当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？

（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？

师生归纳（板书）：

矩形的性质定理1：

矩形的四个角都是直角.

矩形的性质定理2：

矩形的对角线相等.

目的：

让学生分组探索。

教师可引导学生，根据研究平行四边形获得的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，还可提醒学生，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”，学生通过动手测量,动脑思考,动口讨论,自主发现矩形的性质。

三.探究

问题1：

已知：

如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。

求证：

（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°

（2）AC=BD

分析：

（1）由平行四边形对边平行以及∠

ABC为90°，可以得到∠ABC的补角也是90°，从而得到：

矩形的四个角都是直角．

（2）可通过边角边证明△ABC≌△DCB得到。

证明：

略

目的：

根据新课标的精神，不仅要发展学生的合情推理能力，还要发展学生的演绎推理能力。

在上一环节观察，测量，猜测的基础上，学生较易得出结论。

但结论是否真的正确，必须经过严谨的证明。

该环节旨在训练学生规范写出推理过程。

问题2：

请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

①矩形是不是中心对称图形?

如果是，那么对称中心是什么？

②矩形是不是轴对称图形?

如果是，那么对称轴有几条?

结论：

矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

问题3：

请你总结一下矩形有哪些性质？

归纳概括矩形的性质：

从边来说，矩形的对边平行且相等；

从角来说，矩形的四个角都是直角；

从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；

从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

问题4：

矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（    ）

A.对角相等   B.对边相等C.对角线相等  D.对角线互相平分

目的：

在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称性，在知道方法的条件下，学生完全可以通过自己的操作、观察、猜想，最终得到矩形的对称特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。

四．拓展新知

（1）问题：

由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？

在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？

你能发现它有什么特殊的性质吗？

你能借助于矩形加以证明吗？

（2）教师板书推论及推理语言：

定理：

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

（3）练一练

已知，如图，△ABC是Rt△,∠ABC=90°,

BD是斜边AC上的中线.

（1）若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;

（2）若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.

目的：

先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学数学，用数学”的目的。

 再通过习题，让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，达到学以致用的目的，培养了学生的应用意识。

五．课堂小结

（1）矩形定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

（2）矩形的性质

（3）直角三角形的性质

（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。

因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。

六．作业

个性化设计：

七.教学反思：

第一章特殊平行四边形

§1.1矩形的性质与判定（第2课时）

教材分析：

本节主要基于前面的知识，进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法.

教学目标：

1.知识技能目标：

能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论．

2.数学思考目标：

学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法.

3.问题解决目标：

在具体的情景中发现问题和提出问题，在合作交流中去解决问题：

进一步掌握探究四边形的性质定理和判定定理的方法；拓展证明的思路与方法，规范证明步骤．

4.情感态度目标：

通过对特殊平行四边形的探究，进一步激发学生对学习四边形知识的兴趣和掌握用综合法或分析法进行证明的信心.

教学重点：

矩形的判定．

教学难点：

矩形的判定及性质的综合应用．

教学方法

（5）教法：

_______________________________________________________________

（2）学法：

______________________________________________________

教学准备:

教学环节设计：

一．情境引入

1．什么叫做平行四边形？

什么叫做矩形？

2．矩形有哪些性质

？

3．矩形与平行四边形有什么共同之处？

有什么不同之处？

通过讨论得到矩形的判定方法．

矩形判定方法1：

对

角钱相等的平行四边形是矩形．

矩形判定方法2：

有三个角是直角的四边形是矩形．

（注：

判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由

四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）

二.解决问题

1．问题：

①如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？