高等数学函数极限练习题.docx
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高等数学函数极限练习题
高等数学函数极限练习题
2xf（x）f（x）,设，求的定义域及值域。
1，x
设f（x）对一切实数x，x成立f（x，x）,f（x）f（x），且f（0）,0，f
（1）,a，121212
求f（0）及f（n）（（n为正整数）
I（x）f（x）定义函数表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若表示将x之值保留二
I（x）f（x）表示。
位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用
I（x）g（x）表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若表示将x依4舍5入定义函数
I（x）g（x）表示。
法则保留2位小数，试用
在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。
若每天进报纸t份，而销售量为x份，试将报摊的利润y表示为x的函数。
定义函数I（x）表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，试判定,（x）,x,I（x）的周期性。
x，x判定函数f（x）,（e,1）,ln（1，x,x）的奇偶性。
x设，问在，上是否有界,fxexfx（）sin（）,，,0，,
函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。
yfxOBAyfx,,（）（）
2,,x， 0,x,2;x，0,x,4;,,,,求f,（x）及,f（x）（设（）,,（）,fxx,,x，2，2,x,4（x,2，4,x,6（,,
,,10，;x设fx（）（）（）（）,,,,xxfxfx,,21，求及（,,,,,10，（x,,
x0，,0;x,,,，,0;ex求f（x）的反函数g（x）及f,,,（x）（设（）,,（）,fxx,,2， ,0（,，,0（xxxx,,
xx，;,01设，fxxxx（）（）（）（）,，,,,求（fx,,,22xx，（,0,
20，,xx，;设fx（）（）,求（ffx,,,20， （x,,
0，x,0;x，1，x,1;,,设f（x）,,（x）,求f（x），,（x）（,,x，x,0（x，x,1（,,
x,ex， ;,,,,0,设fx（）（）（）,xx，,,104，;求的反函数（fxx,,
xx,,,，,1， ,（,
xx，;,,,,1,2设fx（）（）（）,xx，;14,,求的反函数（fxx,,
x24，（,,，,x,
2,xx1,，,0;,设f（x）,求:
,xx,，,0（,
（1）f（x）的定义域;2
（2）f
（2）及f（a）（（a为常数）。
,,,11，;x
22设fx（）（）（sin）（）,xx， ;,1求（fxfxfxx，,,,,3546,
11， （x,,
210xx，,，;设fx（）（）,求（fx,1,2xx，,40，（,
2,xx，;,1,,设fx（）,，求及（ff（cos）（sec）,44logxx，（,12,
x，2，,1,x,0;,
设f（x）,0， x,0;试作出下列函数的图形:
x,2， x,0（,
f（x），f（x）
（1）y,f（x）;
（2）y,f（x）;（3）y,（2
x，,2,x,0;,
设f（x）,1，x,0试作出下列函数的图形:
,x，2，0,x,2,
f（x），f（,x）
（1）y,f（x）;
（2）y,f（,x）;（3）y,（2
2,1,x,x,1;,设f（x）,试画出y,f（x），y,,f（x）,y,f（x）.的图形。
,x，1，1,x,2（,,
（x），,1,x,0，,,设f（x）,求,（x），使f（x）在,,,1，1上是偶函数。
2,x,x，0,x,1（,
（x），当x,0时，,
设f（x）,0， 当x,0时，,
1x,，当x,0时（,x,
（1）求f（2，cosx）;
（2）求,（x），使f（x）在（,,，，,）是奇函数。
0， ,1,x,0;,
设f（x）,x， 0,x,1;F（x）,f（1,2x），,
2,x， 1,x,2（,
（1）求F（x）的表达式和定义域;
（2）画出F（x）的图形。
010， ,,,x;
设fx（）,xx，,,101， ;求的定义域及值域。
fx（）,
212,,,xx， （,
10，,xx，;设fx（）,求、及的值。
fff（）（）（）,202,x20，x,.,
2,xxx,，,，;11,设fx（）（）（）,求，其中（fafaa，，,,110,2,xxx,,，21,
求函数的反函数，并作出这两个函数的图形。
yx,，ln1
求函数的反函数，并作出这两个函数的图形（草图）。
yxyx,，,sin（）（）,4
求函数的反函数，并作出这两个函数的图形（草图）。
yxyx,,,tan（）（）1,
利用图形的叠加作出函数的图形。
yxx,，sin
1利用图形的叠加作出函数的图形。
yx,，x
1作函数的图形（草图）y,。
x,1
作函数的图形（草图）yx,,ln（）1。
作函数的图形。
（草图）yx,,arcsin（）1
作出下列函数的图形:
（草图）
2
（1）y,x，1;
2
（2）y,,x;
2（3）y,（x,1）（
设函数，就和时，分别作出其草图。
yaxaa,,,,lg12
x利用y,2的图形（如图）作出下列函数的图形（草图）:
x
（1）y,2，1;
1x
（2）y,2（3
利用y,sinx的图形（如图）作出下列函数的图形:
（草图）
（1）y,sin2x;
（2）y,sin（x,）。
4
利用的图形（如图）作出下列函数的图形:
（草图）yx,sin
1（）sin1yx,;2
1（）sin2yx,，12
ππ
2
x求函数y,ln（,,，，,）的反函数，并指出其定义域。
3
x求函数y,ch（,,,x,，,）的反函数，并指出其定义域。
3
x求函数y,Sh（,,,x,，,）的反函数，并指出其定义域。
3
2xe,1y,求函数，的反函数，并指出其定义域。
2xe，1
12验证1,,,cthx。
2shx
12验证1,,thx。
2chx
验证ChChChShSh（）,,,,,,,,,。
验证ChChChShSh（）,,,,,,，,，。
验证ShShChChSh（）,,,,,,,,,。
验证ShShChChSh（）,,,,,,，,，。
验证。
22ShxChxShx,,
22。
证明ShxChxChx，,2
x,a设f（x）,arctanx（,,,x,，,），,（x）,，1，ax
,（a,1，x,1），验证:
f,（x）,f（x）,f（a）。
设，，求fxxxxfx（）ln（）（）,，,，11,,。
,
x1设，，求fx（）（）（）,,,x,fx。
,2x1，x
x设，，求、及。
fxxxfxfxffx（）sin（）（）（）（）,,,,,2,,,,,,
1设，，求及。
fxxx（）（）（）（）,，,1,,,fxfx,,,,2x，1
，，x1设，，求及fx（）（）,xxf,,01fffx。
，，,,,,,,x,1fx（），，
21x，1设，，求及其定义域。
fx（）（）（）,,,x,fx,,2x，1x,12x已知，，且，求，并指出其定义域。
fxefxxxx（）（）（）（）,,,,,,,10,,
2设，，求及。
fxxxxfxf（）ln（）（）（）,,,,,,10,,,,
设，，求及其定义域。
fxxxxfx（）arcsin（）lg（）,,,,,,
2求函数的反函数，并指出反函数的定义域。
yxx,,,,11（）
3求函数的反函数，并指出其定义域。
yxx,,,,lgarccos（）11
1,x求函数y,arctg的反函数。
1，x
1xx,求函数的反函数，并指出其定义域。
yee,,（）2
ax,求函数的反函数的形式。
y,ln（）a,0ax，
xe求函数的反函数，并指出其定义域。
y,x1，e
求函数的反函数yxxx,，4。
1,1,x求函数f（x）,（x,1）的反函数,（x），并指出,（x）的定义域。
1，1,x
2求函数的反函数式中，。
fxxxxaa（）log（）（）（）,，，,,101,a
xxee,设，求的反函数，并指出其定义域fx（）（）（）.,fxx,,xxee，
x设，试讨论的单调性和有界性。
fx（）（）（）,0,,，,xfx1，x
1讨论函数在区间，和，内的单调性。
fxx（）（）（）,，，,011x
x讨论函数的有界性。
fx（）,21，x
1讨论函数，当，，时的有界性。
fxx（）（）（）,,,,，,00:
1
x32，x讨论函数在，上的单调性。
fx（）（）,,,，,2
x讨论函数在，上的单调性。
fxxaa（）（）（）,,,,,，,1
讨论函数在，内的单调性fxx（）ln（）,,，,10。
x，2，,1,x,1,设f（x）,，,（x）,f（a，x），b,x,1，1,x,3,
试求a，b的值，使,（x）（x,0除外）为奇函数。
xe，11,x判断的奇偶性fx（）ln（）,,,,11x。
x1，xe,1
xx证明是奇函数fx（）（）（）,，,,2323。
判定在其定义域，上的奇偶性。
fxxarcx（）cot（）,，,,，,
2233判定 的奇偶性。
fxxxx（）（）（）（）,,,，,,,,，,1313
a判定f（x）,（a,0）（,,,x,，,）的奇偶性。
22x，a，x
x2e。
设f（x）,，求奇函数G（x）与偶函数F（x）,使f（x）,G（x），F（x）x1，e
11设函数满足，讨论的奇偶性。
fxfxf（）（）（）（）42,,fxxx
2判断f（x）,log（x，x，1）（a,0，a,1）的奇偶性。
a
xa01判定函数，的奇偶性。
fx（）（）,aa,,2x1a，
设函数对任意实数、满足关系式:
fxxy（）
fxyfxfy（）（）（），,，（）（）10求;f
（）（）2判定函数的奇偶性。
fx
11求的最小正周期。
fxxxx（）sinsinsin,，，23232,,,,设f（x）是以T,2为周期的周期函数，且在0，2上f（x）,x,2x，求f（x）在,2，4
上的表达式。
求f（x）,sin3x,cosx的最小正周期。
设为奇函数，且满足条件和。
fxfafxfxf（）（）（）（）（）122,，,,
（）（）（）（）12试求及 为正整数;ffnn
（）（）22如果是以为周期的周期函数，试确定的值。
fxa
xx,设 Fxxxex（）（）（）,，,,,,,，,1,,
则Fx（）
（）A是奇函数而不是偶函数;
（）B是偶函数而不是奇函数;（）C是奇函数又是偶函数;
（）D非奇函数又非偶函数。
答（ ）
212，x讨论函数在，的有界性fx（）（）,,,，,。
41，x
设是定义在，内的任意函数，则是（ ）fxfxfx（）（）（）（）,,，,,,
（）（）AB奇函数; 偶函数;
（）（）CD非奇非偶函数;非负函数。
下列函数中为非偶数函数的是（ ）
x21,,,,（）sin（）arccosAyxByx; ;x21，
x222,,，，，，,3434，，1（）（）lg（）CyxxxxDy;xx21，x
设，，，则 fxxxfx（）（）（）（）,,,，,
（）（）A在，单调减;,,，,
（）（）B在，单调增;,,，,（）（）（）C在，内单调增，而在，内单调减;,,，,00
（）（）（）D在，内单调减，而在，内单调增。
,，,00
答（ ）
xx,fxeex（）（）sin（）,,,,，,在其定义域，上是
（）（）AB有界函数; 单调增函数;（）（）CD偶函数; 奇函数。
答（ ）
fxx（）sin（）,,,,在其定义域，，上是
（）（）AB奇函数; 非奇函数又非偶函数;
,（）（）CD最小正周期为的周期函数;最小正周期为的周期函数。
2
答（ ）
cos（）x，2fx（）,在定义域，上是（）,,，,21，x
（）（）AB有界函数; 周期函数;（）（）CD奇函数; 偶函数。
答（ ）
2fxx（）（cos）（）,,,，,3在其定义域，上是
,（）（）AB最小正周期为的周期函数; 最小正周期为的周期函数;332,（）（）CD最小正周期为的周期函数; 非周期函数。
3
答（ ）
3,,,,,xx，30,设fx（）,，则此函数是,3,xx，,,02,
（）（）AB奇函数; 偶函数;
（）（）CD有界函数; 周期函数。
答（ ）
3,sinxx，,,,,0,设fx（）,，则此函数是,3,,,,sinxx，0,,
（）（）A周期函数; ,单调减函数;
（）;（）CD奇函数 偶函数。
答（ ）
xx,fxxee（）（）（）,，,,，,在其定义域，上是
（）（）AB有界函数; 奇函数;（）（）CD偶函数; 周期函数。
答（ ）
ax,函数 是fx（）ln（）,a,0ax，
（）（）AB奇函数; 偶函数;（）（）CDa非奇非偶函数;奇偶性决定于的值
答（ ）
下列函数中为非奇函数的是
x21,2（）; （）lg
（1）;Ay,By,x，，xx21，x22（）arccos;（）3737Cy,xDy,x，x，,x,x，21，x
答（ ）
1关于函数的单调性的正确判断是y,,x
1（）Axy当时，单调增;,,,0x
1（）Bxy当时，单调减;,,,0x
11（）Cxy当时，单调减;当时，单调增;,,,,,,0xy0xx
11（）Dxy当时，单调增;当时，单调增。
,,,,,0xy0xx 答（ ）
下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是xx,,
2,2（）sincos（）sinAyxxByx,，,; ;
（）cos（）CyabxDyxx,，,,; ,, 答（ ）
下列函数中为奇函数的是
22,,，（）tan（sin）（）cos（）AyxxByxx; ;4
xx,22,,,（）cos（arctan）（）CyxDy;
答（ ）
x求函数的定义域及值域y,arcsin（lg）。
10
2x确定函数的定义域及值域y,arccos。
21，x
求函数的定义域及值域yx,,lg（cos）12。
2求函数的定义域及值域yxx,，,2。
f（x）f（x，1）,f（x）,8x，3f（0）,0f（x）已知是二次多项式，且，，求。
图中圆锥体高OH=h，底面半径HA=R，在OH上任取一点P（OP=x），过P作平面,垂直于OH，试把以平面,为底面的圆锥体的体积V表示为x的函数。
设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V表示为高h的函数，并指出其定义域。
在半径为R的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并指出函数的定义域。
在半径为20厘米的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积表示成一边长的函数。
:
135生产队要用篱笆围成一个形状是直角梯形的苗圃（如图），它的相邻两面借用夹角为
的两面墙（图中AD和DC），另外两面用篱笆围住，篱笆的总长是30米，将苗圃的面积表示成AB的边长x的函数。
有一条由西向东的河流，经相距150千米的A、B两城，从A城运货到B城正北20千米的C城，先走水道，运到M处后，再走陆道，已知水运运费是每吨每千米3元，陆运运费是每吨每千米5元，求沿路线AMC从A城运货到C城每吨所需运费与MB之间的距离的函数关系。
y,xy,2,xx,[0,2]由直线，及x轴所围成的等腰三角形OAB。
在底边上任取一点，过x作垂直x轴的直线，试将图上阴影部分的面积表示成x的函数。
旅客乘火车可免费携带不超过20千克的物品，超过20千克，而不超过50千克的部分，每千克交费0.20元，超过50千克部分每千克交费0.30元，求运费与携带物品重量的函数关系。
设有一块边长为a的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数。
等腰直角三角形的腰长为l（如图），试将其内接矩形的面积表示成矩形的底边长x的函数。
在底AC=b，高BD=h的三角形ABC中，内接矩形KLMN（如图），其高为x，试将矩形的周长P和面积S表示为x的函数。
设M为密度不均匀的细杆OB上的一点，若OM的质量与OM的长度的平方成正比，又已知OM=4单位时，其质量为8单位，试求OM的质量与长度间的关系。
等腰梯形ABCD（如图），其两底分别为AD=a和BC=b，（a>b），高为h。
作直线
a,ba，b（,x,），将梯形内位于直线MN左边MN//BH，MN与顶点A的距离AM=x22
的面积S表示为x的函数。
建一蓄水池，池长50m，断面尺寸如图所示，为了随时能知道池中水的吨数（1立方米水为1吨），可在水池的端壁上标出尺寸，观察水的高度x，就可以换算出储水的吨数T，试列出T与x的函数关系式。
x设 ，求的定义域fx（）arcsin（lg）（）.,fx10
x,3设 求的定义域fx（）arcsinln（）,（）.,,,4xfx2
22设 ，求的定义域fxxxxxfx（）lg（）（）,，,，,，6556。
1设f（x）,2，x，，求f（x）的定义域.lg（1,x）
f（x）,lg（1,2cosx），求f（x）的定义域。
设
lgx,1，，设 f（x）,，求fx的定义域。
2x，1
29,x2x,1设 f（x）,，srcsin，求f（x）的定义域。
ln（x，2）4
2232,,,,设 ,（t）,t，1 求,（t） ,（t） ,,（t）设 f（x,2）,x,2x，3 求f（x）及f（x，h）.
，，x11。
设 f（x）,,求f
（2），f（a）, f（）， f,,1,xaf（x），，
1,x1,,设 f（x）, 求f（）及ff（x）.设 f（x，1）,x，2x,求f（x）.1，xx
xx设 f（sin）,1，cosx, 求f（cos）.22
21x，2x2求f（x）设 2f（x），xf（）,，。
xx，121x设 f（x,）, （x,0）,求f（x）。
4xx，1
2设 z,x，y，f（x,y）,且当y,0时,z,x,求f（x）及z。
f（x）t。
设 f（t）,e,证明 ,f（x,y）f（y）
2设F（x）,lg（x，1）,证明当y,1时有F（y,2）,F（y,2）,F（y）。
y，z1,x设f（x）,ln,证明f（y），f（z）,f（）1，x1，yz（式中y,1,z,1）.
5x,2。
设f（x）,2,求f
（2）,f（,2）,f（）2
2512设ft,t，，，t证明ft,f（）25,（）（）。
2ttt
1x2。
设f（）,x（）,求f（x）xx，1
2设f（x,1）,x , 求f（2x，1）。
2t1，。
y,,2t，5，求f（x）设y,f（t,x），且当x,2时x2
2设f（lnx）,x,x，2，0,x,，,，求f（x）及其定义域。
12。
设f（）,x（1，x，1） （x,0），求f（x）x31x，x设f（x，）, （x,0），求f（x）。
42xx，3x，1
x1,x设f（x）,，求f（） （x,,1）。
21，x1，x
2设f（x）,ax，bx，c，计算f（x，3）,3f（x，2），3f（x，1）,f（x），1a，b，c的值，其中是
给定的常数。
a设f（x）,，bx，c （x,0，abc,0）,x
m。
求数m，使f（）,f（x），对一切x,0成立x
x，5设f（x）,lg,x,5
（1）确定f（x）的定义域;
,
（2）若fg（x）,lgx，求g
（2）的值。
设y,1，a，f（x,1）满足条件，y|,x及y|,2,a,0x,1求f（x）及y.
12设，求的定义域fxx（）arctan（）,,，25fx。
x
2xx，5。
设，求的定义域fx（）lg（）,fx6
22,x设f（x）,，求f（x）的定义域。
1,x
2设f（x）,sinx，16,x，求f（x）的定义域。
f（x）（m,0）F（x）,，a（b，F（x）,f（x,m），f（x，m）设的定义域为，，求的定义域。
2x2求函数f（x）,arccos，1,x,2x的定义域。
1，x
2,x1,,。
设f（x）,ln，求f（x），f的定义域,,2，xx,,
2x,1设f（x）,arcsin，sin,x，求f（x）的定义域。
5
22,x2f（x）f（x）,，ln（x,x）设，求的定义域。
x
f（x）,log（logx）的定义域是_________________。
22
2xf（x）,的定义域是________________。
2x,3x，2
2x,1f（x）,arcsin函数的定义域用区间表示为______________。
3
1f（x）,函数的定义域用区间表示为________________。
x,x
f（x）,arccos（2x,1）函数的定义域用区间表示为_____________。
f（x）,x（x,4）函数的定义域是_____________。
2f（x）,ln（6，x,x）函数的定义域用区间表示为______________。
1f（x）,函数的定义域用区间表示为_____________。
ln（x，4）
f（x）f（x）,x，1，ln（2,x）设，则的定义域用区间表示为。
2,xf（x）,函数的定义域用区间表示为_______________。
x，2
f（x）f（x）,arcsin2,x设，则的定义域用区间表示为______________。
2f（x）f（1,x）设的定义域是（0,1），则的定义域是________________。
f（x）,lnx,（x）,arcsinxf[,（x）]设，，则的定义域是________________。
2f（x）f（x）设的定义域是[0，4），则的定义域是______________。
1,,f（x）（1,2]设的定义域是，则的定义域是______________。
f,,x，1,,
f（x）f（lgx）设的定义域是（0，1），则的定义域是______________。
f（x）,sin（arcsinx）g（x）,arcsin（sinx）与函数是否表示同一函数,为什么,函数
2g（x）,2ln（x,1）f（x）,ln（x,2x，1）函数与函数是否表示同一函数,为什么,f（x）,cos（arccosx）g（x）,x函数与函数是否表示同一函数,为什么,
122g（x）,sinxf（x）,（1,cosx）函数与函数是否表示同一函数,为什么,x,11函数f（x）,与函数g（x）,是否表示同一函数,为什么,21，xx,1
lgxf（x）,10g（x）,x函数与函数是否表示同一函数,为什么,
3343g（x）,xx,1f（x）,x,x函数与函数是否表示同一函数,为什么,
x
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