不等式的基本性质优质课.docx

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不等式的基本性质优质课

《不等式的性质》

教学设计

“不等式的性质”教学设计

一、教学内容解析

本节课是人教版高中数学必修5第三章第一节《不等关系与不等式》第二课时的内容．在初中的时候，学生已经学习了不等式的基本性质,本节课将继续探索不等式的性质。

本节内容是学生上节课学过的利用作差法比较大小知识的延续和拓展，又是后续研究不等式问题的基础。

因此本节课起着承上启下的作用，有其重要地位。

它是在数（式）及其运算系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，由此要系统地建立求解或证明不等式的理论依据，通过这堂课的学习，学生将对数量关系的基本性质有一个完整的认识，形成一个完整的知识体系．

二、学情分析

知识储备：

1、已掌握等式的基本性质及基本初等函数的图像与性质。

2、初中已学习过不等式的三条基本性质，但没有进行严密的逻辑证明。

能力储备：

1、具备“通过观察、操作、抽象概括等活动获得数学结论”的体会。

2、有一定的抽象概括和合情推理归纳能力．

方法储备：

会利用作差法证明简单的不等式。

三、教学目标设置

1、①能够梳理等式的基本性质，通过类比，猜想出不等式的基本性质，能够证明，并说出其中的约束条件。

②能够合理利用不等式的基本性质、作差法和函数图像，证明不等式。

2、①在不等式的若干性质及推论的猜想和证明过程中，培养学生的逻辑推理能力.

②在应用不等式的性质的过程中，能够掌握不等式的基本研究思路和方法。

③在将实际问题转化为数学问题的过程中，培养学生数学建模能力。

3、①通过本节课的学习，能够激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，体会数学的结构美、对称美和系统美，激发学生更大的数学热情。

②通过类比体会数学各个内容之间的联系，使学生学会从已有知识出发主动探索新知识。

四、教学重难点

重点：

理解不等式的基本性质及推论，能利用基本性质证明不等式。

难点：

①探索不等式的基本性质的过程与方法。

②将实际问题转化为数学问题的过程中的数学建模。

③证明不等式的倒数性质和性质7、8中的数形结合。

五、教法与学法分析：

“探究—建构”教学模式

“探究—建构”是指运用指导学生积极探究的方式，建立知识结构和能力结构，形成自身认知结构，实现心理结构的自我建构的教学。

该教学法以发展学生探究性思维为目的，以学科基本结构为主要内容，以建立良好的认识结构为手段，以问题为中心。

它注重认识与情感、逻辑思维与形象思维、类比与抽象、个体与群体等诸多因素的协调与平衡。

以寻疑（发现问题）、示疑（创设情境、揭示问题）、探疑（深入课堂、抓住问题）、析疑（解答疑惑，利用问题）和留疑（反思品味、留下问题）为基本教学步骤。

本节课通过生活中的打水问题出发，让学生发现问题，通过数学建模抽象为数学问题，复习作差法，引入不等式的基本性质，利用类比、归纳等数学思想总结出不等式的八条基本性质，并将幂函数的性质与图像贯穿始终，通过小组探讨以及自主思考有所探究与发现，激发学习兴趣。

在整个过程中，有大量的学生参与与小组探索，体现了建构主义理论认为“学习是学生主动建构知识的过程”，强调学生的主动性。

若数学概念的提出脱离了学生熟悉的背景，缺少了学生的主动参与，那数学课堂没有一丝活跃的气氛，所以教师在讲授知识的过程中，要注重培养学生的自主学习能力和合作探究能力，这样学生才能以更大的热情投入到学习中去。

本节课设计了大量的自主探索和小组讨论环节，充分发挥学生在学习中的主体性。

六、教学过程

情境

教师活动

学生活动

设计意图

创设

情境

、

引出

课题

1、活动一：

现有甲、乙两人拿着不同的水壶去打水（且甲的水壶比乙的小），设水龙头注满甲、乙水壶的时间分别为t1、t2，问：

只有一个水龙头时，应如何安排两人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？

最少总时间为多少？

2、引导学生将实际问题转化为数学问题。

3、引导学生猜想结论并证明。

1、在与同学交流和教师引导下列出数学表达式.

2、用作差法证明所得结果。

1、从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，在学生发现和解决问题中，感受数学的应用性.

2、学生经历数学建模的全过程，提升学生解决问题的能力，提高实践能力，增强应用意识.

类比等式，得到性质1-4

活动二：

1、写出等式的基本性质，然后类比，让学生猜想不等式的基本性质，并证明。

教师请学生上台展示并点评。

2、类比等式的倒数性质，学生猜想不等式的倒数性质（引导学生分类讨论）.多数学生用作差法进行证明，教师提醒学生注意运算中的技巧性。

继续引导学生利用刚学的不等式的性质和反比例函数图像两种方法证明结论。

3、引导学生思考：

我们是用什么方法得到不等式的前四条基本性质及倒数性质？

1、小组合作，猜想倒数性质。

2、小组展示，小组互评。

3、学会利用已学的知识解决问题.

4、体会数形结合的数学思想。

1、教师指出:

靠直观与特例得到的结论不一定全面、正确，猜想出来的结论必须进行严谨的数学证明。

在教师引领下，充分发挥学生的主动性，培养学生严谨的数学思维逻辑和周密的学习习惯。

2、体现了核心素养中“逻辑推理”中的类比，不等式与等式有很多的相似之处，从等式的性质出发，通过类比进而提出不等式的问题和作出新发现。

3、为后面的性质5—性质8的得出和性质5、6的证明做铺垫.

4、在对不等式的倒数性质进行证明过程中体现了核心素养“直观想象”中的数形结合，为性质7-8的证明作铺垫.

继续类比，得到性质5、6

活动三

1、前面我们在不等式两边加、乘了相同的数，那在不等式两边加、乘不同的数，是否也具有保持不等号不变或改变的特性？

学生小组活动，探究并证明。

2、对于同向同号可乘性的猜想中，通过举反例得出限制条件。

3、教师引导学生若遇到减法或除法的运算，应转化为加法或乘法运算。

4、对于性质5的证明有两种方法，引导学生体会在性质的证明过程中可以使用多种方法。

若作差后较难变形，则使用不等式的性质或函数图像进行证明。

1.合作探究，猜想不等式两边加、乘不同的数的性质，展示猜想结果。

2、体会在证明过程中有多种方法，择优选择，并注意证明技巧。

1、鼓励学生猜想，让学生掌握“猜想”的重要学习方法。

2、通过举反例对学生错误的猜想做分析，对正确的猜想进行证明，让学生有成功的体验，突破本节课重难点。

3、继续深化“类比”思想，通过对加或乘相同与不同的数之间的类比，不断的提升教学效果。

继续探索，得到性质7、8

活动四：

1、除了加减乘除四则运算，还有什么运算?

在不等式中是否成立？

小组继续猜想并证明。

2、学生发现这时用作差法和性质都难以证明，进一步引导学生构造出幂函数进行证明。

引导学生当a>b>0时，构造函数

与

，画出函数图像，解决问题。

1、1、合作探究不等式中的乘方、开方性质。

2、

3、2、在教师的引导下，感受性质7、8的表达式与幂函数的类似之处。

体会数形结合在数学中的运用。

1、继续深化“数形结合”的数学思想，让学生体会函数及图像在数学中的应用，发展学生的核心素养。

深入研究

1、回到活动一，课前用作差进行了证明，学了不等式的性质之后，能否用性质进行证明？

2、把活动一所得的数学表达式进行抽象，能否进行较为复杂的运算之后得到新发现？

引导学生提炼出排序不等式的二维形式。

3、继续探索：

有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第ｉ（ｉ＝1、2…、10）个人的水桶需要ti分钟，假定桶各不相同，问：

只有一个水龙头时，应如何安排这10个人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？

最少总时间为多少？

2、1、学生思考用性质证明。

3、2、跟随教师引导积极思考如何进行数学抽象。

4、

1、让学生感受到新学到的知识可以解决之前不曾解决的问题，激发学习的兴趣。

2、培养学生抽象与概括的思想方法。

进而升华思想，体会不等式性质的实质，拓展思维与眼界，体会数学的美。

3、继续发展学生“数学建模”的核心素养。

激发学生对数学的学习兴趣。

课堂小结、深化思考

课堂小结

1、本节课你学到了什么？

知识：

方法：

数学思想：

从知识上、方法上以及数学思想上总结本节课的学习内容，让学生体会学习的成就感，体会知识的系统美、结构美。

课后作业

1、梳理不等式的八条性质，总结思想方法。

2、证明下列不等式

（1）

，

，求证：

（请用三种方法证明）.

（2）已知c>a>b>0，求证

.

培养学生课后反思的习惯。

检测学生当堂学习效果，为教师提供准确的反馈，为学生提供更准确的个性化辅导.

反思：

好的方面：

1、拉普拉斯说：

“甚至在数学里发现真理的主要工具是归纳和类比”，波利亚也说：

“类比是一个伟大的引路人”，类比思想对于科学发展和社会进步有重要作用。

本节课从类比思想的视角把课堂活动内化为数学核心素养的落实过程，通过学生自主探究，类比等式的性质，引导学生猜想不等式的性质并证明，最大化地实现教学目标，深化了逻辑推理、数学建模等核心素养。

2、教师始终是课堂的参与者、引领者，鼓励学生大胆猜想，主动思考，收获知识，让学生自己提出问题，分析问题，解决问题。

3、合理使用教材，不拘泥于教材，将幂函数的性质和图像贯穿整节课，激活课堂，让学生经历知识的形成过程，体会成功的喜悦。

适度设置障碍，锤炼意志品质。

4、本节课将数学中的三大基本关系：

等量关系、不等关系、函数关系有机结合，相互渗透，将培养学生的数学核心素养落到实处。

不足的方面及改进措施：

1、在学生展示自己的证明或解答过程中只关注到部分学生，对学困生的关注不够。

以后教学中应加强学生自我讲评的广泛度，让不同程度的学生都能有所发展。

2、“类比”和“猜想”作为非常重要的学习方法，今后教学中应努力渗透，改变以往的不等式性质教学形式单一、枯燥乏味、效果不够理想的状况，使不等式性质的教学走上学与用紧密结合的新路。

不等式的性质学案

没有大胆的猜想，就不可能产生伟大的发现

------------牛顿

（一）课前预习

1、怎样比较两个数的大小

2、作差法的步骤

（二）探究新知

活动一：

现有甲、乙两人拿着不同的水壶去打水（甲的水壶比乙的小），设水龙头注满甲、乙水壶的时间分别为t1、t2问：

只有一个水龙头时，应如何安排两人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？

最少总时间为多少？

问题一：

怎样把这个实际问题抽象为数学问题？

问题二：

总时间有几种情况？

怎样列数学表达式？

什么情况下总时间最小?

学习目标：

1、经历探索不等式基本性质的过程，掌握证明不等式的基本方法.

2、在不等式基本性质的探索过程中，培养逻辑推理和合作交流能力；

理解类比，归纳，数形结合等思想方法.

3、通过类比体会数学各个内容之间的联系，学会从已有的知识出发猜想、探索新知识.

活动二：

1、复习并写出等式的基本性质，然后猜想类比写出不等式的基本性质。

等式的基本性质

不等式的基本性质（猜想）

如果a=b,那么b=a

如果a=b,b=c,那么a=c

如果a＝b，那么a+c＝b+c

如果a＝b，那么ac＝bc

3、对性质1-4的证明，自主证明

性质1

性质2

性质3

性质4

证明

证明

证明

证明

等式的倒数性质：

如果a＝b

，

那么

不等式的倒数性质

（猜想）

1、

2、

3、

证明：

（方法一）

证明：

（方法二）

证明：

（方法三）

思考：

1、你更喜欢哪种证明方法？

为什么？

2、你有什么启发？

3、运用了什么样的数学思想？

活动三：

前面我们在不等式两边加、乘了相同的数，那在不等式两边加、乘不同的数，是否也具

有保持不等号不变或改变的特性？

学生小组活动，探究并证明。

加不同的数

乘不同的数

猜想：

猜想：

证明：

证明：

活动四：

除了加减乘除四则运算，还有什么运算?

在不等式中是否成立？

小组继续猜想并证明。

a>b>0

乘方

开方

猜想：

猜想：

证明：

证明：

活动五：

本节课学了不等式的性质，活动一中的结论能不能用性质进行证明？

合作探究.

思考：

你能抽象出一般结论吗？

（三）课堂小结：

本节课你学到了什么？

知识：

方法：

数学思想：

（四）课后探究：

有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第ｉ（ｉ＝1、2…、10）个人的水桶需要ti分钟，假定桶各不相同，问：

只有一个水龙头时，应如何安排这10个人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？

最少总时间为多少？

（五）课后作业：

1、梳理不等式的九条性质，总结思想方法。

2、证明下列不等式

（1）

，

，求证：

（请用三种方法证明）

（2）已知c>a>b>0，求证

.

基于数学基本活动经验，提升数学核心素养

——《不等式的性质》课例点评

《普遍高中数学课程标准（2017）》中，提出“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

”课程目标中的“基本活动经验”，既是目标，也是手段；既是结果，也是过程。

注重数学基本活动经验的体验和积累，是提升学生数学核心素养的有效途径之一。

基本活动经验的提法，使数学教学顺理成章地由过去的“三基”升级到“四基”。

张奠宙教授曾提出数学基本活动经验并不构成一个单独的维度，而是填充在基础知识、基本技能、基本思想之间的粘和剂。

1问题情境引领学生增进新知

在数学学习中，学生往往并不缺少肤浅而零散的体验，真下缺少的是能有效促进学生学习和发展的深度体验，如何由表及理？

不妨以探究活动为出发点，

活动一：

现有甲、乙两人拿着不同的水壶去打水（甲的水壶比乙的小），设水龙头注满甲、乙水壶的时间分别为t1、t2，t1与t2不相等，问：

只有一个水龙头时，应如何安排两人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？

最少总时间为多少？

探究活动不仅能提升学生的学习兴趣，展示知识的生成过程，还能引导学生感受数学的应用价值，体会探究学习的快乐。

2经验萌发类比得到有关性质

活动二：

通过类比等式的基本性质，让学生猜想不等式的基本性质，师生共同证明性质1，学生自主证明性质2和4；同等式的倒数关系得到不等的倒数关系

学生已有的活动经验带动了学生思维的活跃度，目的是让学生认识和展示自己已有的经验水平，比较和借鉴他人的思维经验，在高度融合的数学活动中积淀更多经验。

3、经验明晰阶产生新的认知

活动三：

在梳理初中已学习的等式性质、不等式性质的基础上，探索等式、不等式的共性，猜想不等式的基本性质，并给出证明。

提出问题：

“在不等式两边加、乘不同的数，是否也具有保持不等号不变或改变的特性？

”

直观想象、寻求规律、发现本质等数学基本活动达到经验的积累，丰富的数学基本活动经验将融入学生已有的经验体系中，经过不断积淀和升华，形成数学直观能力，提升学生的思维水平。

4经验重构阶段提升数学素养

活动四：

除了加减乘除四则运算，还有什么运算?

在不等式中是否成立？

小组继续猜想并证明。

学生发现这时用作差法难以证明，引导学生构造出幂函数进行证明

引导学生当a>b>0时，构造函数

与

，画出函数图像，解决问题。

数学基本活动经验是一种心理认知经验，在已有的经验和数学直观的基础上，亲身经历，感性认知，感悟归纳推理和演绎推理的过程，以此建立新的经验和更高层次的理性认知。

5经验概括回归问题情境

回到活动一，课前用作差进行了证明，学了不等式的性质之后，能否用性质进行证明？

把活动一所得的数学表达式进行抽象，能否进行较为复杂的运算之后得到新发现？

引导学生抽象出排序不等式的二维形式。

课后继续探索：

有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第ｉ（ｉ＝1、2…、10）个人的水桶需要ti分钟，假定桶各不相同，问：

只有一个水龙头时，应如何安排这10个人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？

最少总时间为多少？

基于核心素养培养的课堂教学不仅是传授知识、培养能力，而且要帮助学生养成良好的学习习惯，启发学生独立思考，帮助学生积累经验（包括思维的经验和实践的经验）因此，在合理的“双基”教学的同时，要通过创设合适的教学环境和数学基本活动，让学生积累“数学基本活动经验”，形成和发展学生的逻辑推理、数学抽象、直观想象等数学核心素养。

本节课在教学实践中，通过让学生经历“从简单问题开始，逐步发现和探求，归纳共性和规律，尝试给出一般性结论，再完善并应用”的过程。

即经验获得的过程，不仅可以帮助学生更好的理解基本知识和掌握基本技能，也可以帮助学生体验知识和方法的生成过程，还可以培养学生自主探究和合作交流的能力，与此同时，学生善于发现、善于思考的习惯逐渐形成，观察和归纳的能力逐步提升。