二次函数动态综合问题.docx
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二次函数动态综合问题
课程名称：
二次函数综合问题-动点问题
教学内容
1.二次函数是整个初中数学的难点，也是考试的热点和重点。
在中考中，二次函
和地位：
数一般都会与几何问题有机整合，再加上动点运动，成为中考的压轴大题。
这类题
目往往难度较大，需要考生有较强的整合能力和分析、计算能力。
分值
11分。
教材分析
重点：
数形结合思想在二次函数性质中的应用，求点坐标，函数表达式，与动点结
合问题。
难点：
函数思想与几何思想相互转化求解。
课时规划
3课时
1解决二次函数与图形共存问题,
教学目标
2根据二次函数图像与性质，解决动点等综合问题
分析
1、复习、检查上次课重点知识
2、梳理本节课重要知识
教学思路
3、例题精讲
4、重点、常见题型（图形变换）
5、易错点，常用解题方法和技巧
6、课堂总结，课下安排
必讲知识点
一、复习重要内容
二、梳理本节课重要知识：
当题目中出现动点时，学会解题思路“化动为静”，将动点的几种特殊的运动状态定格，
这样动点就不是动点了。
动点问题它通常分为三种类型：
动点问题、动线问题、动形问题。
在解这类问题时，
要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到
解决问题的途径。
例1：
动点问题
如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线ya（x
m）2
n的顶点在
线段AB上运动，
与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为
3，则点D的横
坐标最大值为（
）
A．－3
B．1
C．5
D．8
例2、动线问题
如图，已知A，B两点坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A开始在线段
AO上以每秒3
个单位长度的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行
移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线
EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积．
（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
例3、动点与动线相结合
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=cm，
OC=8cm，
现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm
的速度匀速
运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：
四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，
过线段BP
上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形
OPBQ分成两部分的面积之比．
例4、动形问题
如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、
C、Q、R
在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△
PQR以
1cm/秒的速度沿直线
l按
箭头所示方
向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：
（1）当t=3秒时，求S的值；
（2）当t=5秒时，求S的值；
（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
提示：
四种运动状态
三、例题精讲
例1、如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线
交于另一点B
，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点
P作⊥x轴，
交直线
AB于点
M，抛物线于点
N，设点
P移动的时间为
t秒，MN
的长为
s个单
位，求
s与
t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设
（2）的条件下（不考虑点P与点
O，点
C重合的情况），连接
CM，BN，
当t为何
值时，四边形BCMN为平行四边形？
问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是
否为菱形？
说明理由.
分析：
第
（1）根据A、B两
点坐标，
用待定系数法易得。
第
（2）s即为线段MN的长
度，因P
在OC上移动，
所以点N必在M的上方，所以
s就是
N点的纵坐标减去M点
的纵坐标。
第（3）要四边形BCMN
为平
行四边形，因BC∥MN，
只要BC∥MN即可；平行四边形BCM
N是否为菱形，只要把
所求t的值代入，看邻边是否相等。
例1：
解
（1）把x=0代入，得
把x=3代入，得，
∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）
设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得
，解得
所以，
（2）把x=t分别代入到和
分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-（）=
即
∵点P在线段OC上移动，
∴0≤t≤3.
（3）在四边形BCMN中，∵BC∥MN
∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形
由，得
即当时，四边形BCMN为平行四边形
当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,
此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；
当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,
此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；
所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．
例
2
、如图，已知抛物线
y＝（－）
2＋
（≠）经过点
（－，），抛物线的顶点为
D
，
ax1
a0
A
20
过O作射
线OM∥AD．过顶点D平行于
轴的直线交射线
OM于点C，B在
轴正半轴上，
连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒
1个长度单位的速度沿射线
OM运动，设点
P运动的
时间为t（s）．问：
当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？
直角梯形？
等腰梯形？
（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1
个长度
单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随
之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形
BCPQ的
面积最小？
并求出最小值及此时PQ的长．
分析：
（2）关键是合理转化为相应线段之间的关系；（3）把不规则最值
图形转化为规则图形，利用二次函数求最值。
例2：
解：
（1）把A（－2，0）代入y＝a（x－1）2＋，得0＝a（－2－1）2＋．
∴a＝－
∴该抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋
即y＝－x2＋x＋．
（2）设点D的坐标为（xD，yD），由于D为抛物线的顶点
∴xD＝－
＝1，yD＝－
×12＋
×1＋
＝．
∴点
D的坐标为
（1，
）．
如图，过点
D作
DN⊥x
轴于
N，则
DN＝
，AN＝3，∴AD＝
＝6．
∴∠DAO＝60°
∵OM∥AD
①当AD＝OP时，四边形DAOP为
平行四边形．
∴OP＝6
∴t＝6（s）
②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．
过点O作OE⊥AD轴于E．
在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．
（注：
也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．
∴t＝5（s）
③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6
－2＝4．
∴t＝4（s）
综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、
直角梯形、
等腰梯形．
（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．
又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．
∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）
过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t．
∴S四边形BCPQ＝S△COB－S△POQ
＝×6×－×（6－2t）×t
（t－）
2
＝
＋
∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为．
此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，
PF＝．∴PQ＝＝＝
四、本节课重点、常见题型
本节课重点内容是二次函数图像与几何图形：
三角形，四边形的动点结合，是函数性质，图像的判定等综合问题。
1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解
析式是y=
+1，
点C的坐标为（–4，0），平行四边形OABC
的顶点A，B在抛物线上，
AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物
线上，点P（t，0）在x轴上.
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：
2时，求t的值.
分析：
分析：
（2）有两边平行的四边形并不一定是平行四边形，要把这两条边重合及另
两边也平行的情况排除掉；
（3）因两边大小不定，要进行分类讨论，
解
（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=
4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴A，B的横坐标分别是2和–2，
代入y=+1得，A（2,2），B（–2，2），
∴M（0，2），
（2）①过点Q作QHx轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x–t，
由△HQP∽△OMC，得：
即：
t=x–2y,
∵
Q（x,y）
在
y=
+1
上，∴
t=–
+x–2.
当点
当Q
P与点与B或
C重合时，梯形不存在，此时，t=–4，解得
A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=
x=1
2
∴x的取值范围是x
1
且x
2的所有实数
.
②分两种情况讨论：
1）当CM>PQ时，则点P在线段OC上，
∵CM∥PQ，CM=2PQ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（+1），解得x=0，
∴t=–+0–2=–2.
2）当CM
∵CM∥PQ，CM=PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=22，解得：
x=.当x=
–时，得t=–––2=–8–,当x=时，得t=2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
某园林
–8.
专业户计划投资种植花卉及树木，
根据市场调查与预测，
种植树木的利润
y1与投资
量x成正比例关系，如图
12-①所示；种植花卉的利润
y2
与投资量
x成二次函数关
系，如图12-②所示（注：
利润与投资量的
单位：
万元）
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？
他能获取的最大利润是多少？
六、课堂小结、课下安排
1、（2008
年潍坊市）若一次函数
的图像过第一、三、四象限
则函
数
（）
A.最大值B..最大值C.最小值D.有最小值
2.（09洛江）我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元∕件的
工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元∕件）
与每天销售量y（件）之间满足如图3-4-14所示关系．
（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；
（2）①试求出y与x之间的函数关系式；
②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为
多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
最大利润是多少？
（利润=销
售总价－成本总价）。
3如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中
一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：
在
点M，并求出
BC边上是否存在点M使得四边形
BM的长；不存在，请说明理由.
PDQM是菱形？
若存在，请找出
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