新人教A版新教材学高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语集合的概念集合的概念教案.docx
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新人教A版新教材学高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语集合的概念集合的概念教案
考点
学习目标
核心素养
集合的概念
了解集合与元素的概念
数学抽象
元素与集合的关系
理解元素与集合的关系，掌握数学中一些常见的集合及其记法
数学抽象、逻辑推理
集合中元素的特征及应用
理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题
数学运算、数学抽象
问题导学
预习教材P２—P３，并思考以下问题：
１．集合和元素的概念是什么？
２．如何用字母表示集合和元素？
３．元素和集合之间有哪两种关系？
４．常见的数集有哪些？
分别用什么符号表示？
１．元素与集合的概念
（１）元素：
一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
（２）集合：
把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
（３）集合相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
（４）元素的特性：
确定性、无序性、互异性．
■名师点拨
在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
２．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于
a是集合
A中的元素
a∈A
a属于集合A
不属于
a不是集合
A中的元素
a∉A
a不属于集合A
■名师点拨
对元素和集合之间关系的两点说明
（１）符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．
（２）∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
３．常用的数集及其记法
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
４．集合的分类
集合
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（１）集合中的元素一定是数．（ ）
（２）高一四班的全体同学组成一个集合．（ ）
（３）由１，２，３构成的集合与由３，２，１构成的集合是同一个集合． （ ）
（４）一个集合中可以找到两个相同的元素．（ ）
（５）集合N中的最小元素为0．（ ）
（6）若a∈Q，则一定有a∈R.（ ）
答案：
（１）× （２）√ （３）√ （４）× （５）√ （6）√
由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为（ ）
A．２ Ｂ．３
C．４Ｄ．５
解析：
选Ｃ．由“title”中的字母构成的集合中元素为t，i，l，e，共４个．
下列关系１0．２１∈Q；２
∉N*；３—
∈N*；４
∈N.其中正确的个数是（ ）
A．0Ｂ．１
C．２Ｄ．３
解析：
选Ｃ．１是正确的，２中
＝２∈N*，３中—
＝—２∉N*，４
＝２∈N是正确的，故１４正确．
已知集合M有两个元素３和a＋１，且４∈M，则实数a＝________．
解析：
由题意知a＋１＝４，即a＝３．
答案：
３
集合的概念
9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？
并说明你的理由．
（１）你所在班级中的全体同学；
（２）班级中比较高的同学；
（３）班级中身高超过１78cm的同学；
（４）班级中比较胖的同学；
（５）班级中体重超过7５kg的同学；
（6）学习成绩比较好的同学
【解】 （１）班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合．
（２）因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
（３）因为“身高超过１78cm”是确定的，所以可以构成一个集合．
（４）“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
（５）“体重超过7５kg”是确定的，所以可以构成一个集合．
（6）“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
判断一组对象能否构成集合的方法
一般地，确认一组对象a１，a２，a３，…，an（a１，a２，…，an均不相同）能否构成集合的过程为：
１．（２0１9·临川检测）考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
１一中高一年级聪明的学生；２直角坐标系中横、纵坐标相等的点；３不小于３的正整数；４
的近似值．
Ａ．１２ B．３４
Ｃ．２３Ｄ．１３
解析：
选Ｃ．１“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；２“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；３“不小于３的正整数”的标准确定，能构成集合；４“
的近似值”的标准不确定，不能构成集合．
２．中国男子篮球职业联赛（ChinaBasketballAssociation），简称中职篮（CBA），是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？
并说明你的理由．
（１）赛季，CBA的所有队伍；
（２）CBA中比较著名的队员；
（３）CBA中得分前五位的球员；
（４）CBA中比较高的球员．
解：
（１）CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．
（２）“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．
（３）“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合．
（４）“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．
元素与集合的关系
（１）下列关系中，正确的有（ ）
１
∈R；２
∉Q；３|—３|∈N；４|—
|∈Q.
Ａ．１个 B．２个
Ｃ．３个D．４个
（２）满足“a∈A且４—a∈A，a∈N且４—a∈N”，有且只有２个元素的集合A的个数是（ ）
Ａ．0Ｂ．１
Ｃ．２Ｄ．３
【解析】 （１）
是实数，
是无理数，|—３|＝３是非负整数，|—
|＝
是无理数．
因此，１２３正确，４错误．
（２）因为a∈A且４—a∈A，
a∈N且４—a∈N，
若a＝0，则４—a＝４，
此时A满足要求；
若a＝１，则４—a＝３，
此时A满足要求；
若a＝２，则４—a＝２，
此时A含１个元素不满足要求．
故有且只有２个元素的集合A有２个，故选Ｃ．
【答案】 （１）C （２）C
判断元素和集合关系的两种方法
（１）直接法：
如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可.此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
（２）推理法：
对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．
１．用适当的符号填空：
已知集合A中的元素x是被３除余２的整数，则有：
１7________A；—５________A.
解析：
由题意可设x＝３k＋２，k∈Z，
令３k＋２＝１7得，k＝５∈Z.
所以１7∈A.令３k＋２＝—５得，
k＝—
∉Z.所以—５∉A.
答案：
∈ ∉
２．已知集合A中元素满足２x＋a>0，a∈R.若１∉A，２∈A，则实数a的取值范围为________．
解析：
因为１∉A，２∈A，
所以
即—４答案：
—４集合中元素的特征及应用
已知集合A中含有两个元素a和a２，若１∈A，则实数a的值为________．
【解析】 若１∈A，则a＝１或a２＝１，
即a＝±１．
当a＝１时，集合A中有重复元素，
所以a≠１；
当a＝—１时，集合A含有两个元素１，—１，符合元素的互异性，所以a＝—１．
【答案】 —１
１．（变条件）若去掉本例中的条件“１∈A”，则实数a的取值范围是什么？
解：
因为集合A中含有两个元素a和a２，
所以a≠a２，
即a≠0且a≠１．
２．（变条件）若将本例中的“１∈A”改为“２∈A”，则a为何值？
解：
因为２∈A，
所以a＝２或a２＝２，
即a＝２或a＝±
.
３．（变条件）若由a和a２构成的集合只有一个元素，则a为何值？
解：
因为由a和a２构成的集合只有一个元素，所以a＝a２，即a＝0或a＝１．
由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤
１．若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
Ａ．锐角三角形 B．直角三角形
Ｃ．钝角三角形D．等腰三角形
解析：
选Ｄ．由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选Ｄ．
２．若集合A中有三个元素x，x＋１，１，集合B中也有三个元素x，x＋x２，x２，且A＝B，求实数x的值．
解：
因为A＝B，
所以
或
解得x＝±１．经检验，x＝１不适合集合元素的互异性，而x＝—１适合，
所以x＝—１．
１．下列各组对象可以组成集合的是（ ）
A．数学必修１课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
解析：
选Ｂ．A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．
２．下列结论中，不正确的是（ ）
A．若a∈N，则
∉N
B．若a∈Z，则a２∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则
∈R
解析：
选Ａ．A不正确．反例：
a＝１∈N，
＝１∈N.
３．若以方程x２—５x＋6＝0和x２—x—２＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为（ ）
A．１ Ｂ．２
C．３Ｄ．４
解析：
选Ｃ．方程x２—５x＋6＝0的解为x＝２或x＝３，x２—x—２＝0的解为x＝２或x＝—１，所以集合M中含有３个元素．
４．已知集合A是由0，m，m２—３m＋２三个元素构成的集合，且２∈A，则实数m＝________．
解析：
由题意知，m＝２或m２—３m＋２＝２，
解得m＝２或m＝0或m＝３，经验证，
当m＝0或m＝２时，
不满足集合中元素的互异性，
当m＝３时，满足题意，
故m＝３．
答案：
３
[A 基础达标]
１．现有以下说法，其中正确的是（ ）
１接近于0的数的全体构成一个集合；
２正方体的全体构成一个集合；
３未来世界的高科技产品构成一个集合；
４不大于３的所有自然数构成一个集合．
A．１２ Ｂ．２３
C．３４Ｄ．２４
解析：
选Ｄ．在１中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故１错误；在２中，正方体的全体能构成一个集合，故２正确；在３中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故３错误；在４中，不大于３的所有自然数能构成一个集合，故４正确．
２．给出下列关系：
１
∈R；２
∈Q；３—３∉Z；４—
∉N，其中正确的个数为（ ）
Ａ．１Ｂ．２
Ｃ．３Ｄ．４
解析：
选Ｂ．
是实数，１正确；
是无理数，２错误；—３是整数，３错误；—
是无理数，４正确．故选Ｂ．
３．设A是方程２x２＋ax＋２＝0的解集，且２∈A，则实数a的值为（ ）
A．—５Ｂ．—４
C．４Ｄ．５
解析：
选Ａ．因为２∈A，
所以２×２２＋２a＋２＝0，
解得a＝—５．
４．设集合M是由不小于２
的数组成的集合，a＝
，则下列关系中正确的是（ ）
A．a∈MＢ．a∉M
C．a＝MＤ．a≠M
解析：
选Ｂ．因为集合M是由不小于２
的数组成的集合，a＝
，所以a不是集合M中的元素，故a∉M.
５．由实数x，—x，|x|，
，—
所组成的集合，最多含有（ ）
Ａ．２个元素B．３个元素
Ｃ．４个元素D．５个元素
解析：
选Ａ．
＝|x|，—
＝—x.
当x＝0时，它们均为0；
当x>0时，它们分别为x，—x，x，x，—x；
当x<0时，它们分别为x，—x，—x，—x，—x.
通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有２个．
6．下列说法：
１集合N与集合N*是同一个集合；
２集合N中的元素都是集合Z中的元素；
３集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
４集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________．
解析：
因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以１３中的说法不正确，２４中的说法正确．
答案：
２４
7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．（填“∈”或“∉”）
解析：
因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.
答案：
∉ ∈
8．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则
＋
的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
解析：
当a>0且b>0时，
＋
＝２；
当a·b<0时，
＋
＝0；
当a<0且b<0时，
＋
＝—２．
所以集合中的元素为２，0，—２．
即元素的个数为３．
答案：
３
9．已知集合A含有两个元素a—３和２a—１，a∈R.
（１）若—３∈A，试求实数a的值；
（２）若a∈A，试求实数a的值．
解：
（１）因为—３∈A，所以—３＝a—３或—３＝２a—１．
若—３＝a—３，则a＝0．此时集合A含有两个元素—３，—１，符合题意；
若—３＝２a—１，则a＝—１．此时集合A含有两个元素—４，—３，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或—１．
（２）因为a∈A，所以a＝a—３或a＝２a—１．
当a＝a—３时，有0＝—３，不成立；
当a＝２a—１时，有a＝１，此时A中有两个元素—２，１，符合题意．综上知a＝１．
１0．集合A是由形如m＋
n（m∈Z，n∈Z）的数构成的，试分别判断a＝—
，b＝
，c＝（１—２
）２与集合A的关系．
解：
因为a＝—
＝0＋（—１）×
，而0，—１∈Z，所以a∈A；
因为b＝
＝
＝
＋
，而
，
∉Z，所以b∉A；因为c＝（１—２
）２＝１３＋（—４）×
，而１３，—４∈Z，所以c∈A.
[B 能力提升]
１１．集合A中的元素y满足y∈N且y＝—x２＋１，若t∈A，则t的值为（ ）
Ａ．0Ｂ．１
Ｃ．0或１D．小于或等于１
解析：
选Ｃ．由y∈N且y＝—x２＋１≤１，所以y＝0或y＝１，所以A＝{0，１}．又因为t∈A，所以t＝0或t＝１，故选Ｃ．
１２．集合A的元素y满足y＝x２＋１，集合B的元素（x，y）满足y＝x２＋１（A，B中x∈R，y∈R）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
Ａ．２∈A，且２∈B
Ｂ．（１，２）∈A，且（１，２）∈B
Ｃ．２∈A，且（３，１0）∈B
Ｄ．（３，１0）∈A，且２∈B
解析：
选Ｃ．集合A中的元素为y，是数集，又y＝x２＋１≥１，故２∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x２＋１，经验证，（３，１0）∈B，故选Ｃ．
１３．（２0１9·信阳检测）已知集合P中的元素x满足：
x∈N，且２解析：
因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且２答案：
6
１４．设集合A中的元素是实数，且满足１∉A，且若a∈A，则
∈A.若２∈A，写出集合A中的元素．
解：
因为２∈A，所以
＝—１∈A，
所以
＝
∈A，
所以
＝２，
再求下去仍然只得到２，—１，
这三个数，
所以集合A中的元素只有三个：
—１，
，２．
[C 拓展探究]
１５．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且
∈A（b≠0）”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？
若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解：
１数集N，Z不是“闭集”，例如，３∈N，２∈N，而
＝１．５∉N；３∈Z，—２∈Z，而
＝—１．５∉Z，故N，Z不是闭集．
２数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，
（b≠0）仍是有理数，
所以Q是闭集，同理R也是闭集．
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