机械零件的承载能力计算.docx
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机械零件的承载能力计算
机械零件的承载能力计算
一、零件的强度和刚度条件
（一）拉（压）杆的强度计算
在进行强度计算中，为确保轴向拉伸（压缩）杆件有足够的强度，把许用应力作为杆件实际工作应力的最高限度，即要求工作应力不超过材料的许用应力。
于是，强度条件为：
≤
（3-19）
应用强度条件进行强度计算时会遇到以下三类问题。
一是校核强度。
已知构件横截面面积
，材料的许用应力
以及所受载荷，校核（3-31）式是否满足，从而检验构件是否安全。
二是设计截面。
已知载荷及许用应力
?
，根据强度条件设计截面尺寸。
三是确定许可载荷。
已知截面面积
和许用应力
，根据强度条件确定许可载荷。
例3-6?
某冷镦机的曲柄滑块机构如图3-49（a）所示。
连杆
接近水平位置时，镦压力
=3.78MN（lMN=106N）。
连杆横截面为矩形，高与宽之比
（图3-49（b）所示），材料为45号钢，许用应力
=90MPa，试设计截面尺寸
和
。
解?
由于镦压时连杆AB近于水平，连杆所受压力近似等于镦压力
，轴力
=3.78MN。
根据强度条件可得：
A≥
（mm2）
以上运算中将力的单位换算为
，应力的单位为MPa或N/mm2，故得到的面积单位就是（mm2）
注意到连杆截面为矩形，且
，故
（mm2）
=173.2（mm），
=1.4
=242（mm）
所求得的尺寸应圆整为整数，取
=175mm，h=245mm。
1.某张紧器（图3-50）工作时可能出现的最大张力
=30kN（lkN=103N），套筒和拉杆的材料均为
钢，
=160MPa，试校核其强度。
解?
此张紧器的套筒与拉杆均受拉伸，轴力
=30kN。
由于截面面积有变化。
必须找出最小截面
。
对拉杆，
20螺纹内径
=19.29mm，
=292mm2，对套筒，内径
=30mm，外径
=40mm，故
=550mm2。
最大拉应力为：
故强度足够。
例3-7?
某悬臂起重机如图3-51（a）所示。
撑杆
为空心钢管，外径105mm，内径95mm。
钢索1和2互相平行，且钢索1可作为相当于直径
=25mm的圆杆计算。
材料的许用应力同为
=60MPa，试确定起重机的许可吊重。
解?
作滑轮
的受力图[图3-51（b）]，假设撑杆
受压，其轴力为
；钢索1受拉，其拉力为
。
选取坐标轴
和
如图所示。
列出平衡方程如下：
若不计摩擦力，则钢索2的拉力
与吊重
相等，以
代入第一式，并解以上方程组，求得
和
为：
（a）
（b）
所求得的
和
皆为正号，表示假设杆
受压，钢索1受拉是正确的。
现在确定许可吊重。
根据强度条件，撑杆
的最大轴力为：
≤
kN
代入（a）式得相应的吊重为：
（kN）
同理，钢索1允许的最大拉力是：
≤
kN
代入（b）式得相应的吊重为：
（kN）
比较以上结果，可知起重机的许可吊重应为17kN。
（二）剪切和挤压的实用计算
各种连接件的剪切和挤压强度计算的方法是相同的。
下面介绍工程中通常采用的实用计算法。
1.剪切的实用计算
以螺栓为例进行分析，其受力简图如图3－52（a）所示，图中以合力
代替均匀分布的作用力。
由于螺栓的剪切变形为截面的相对错动，因此抵抗这种变形的内力必然是沿着错动的反方向作用的。
仍用截面法求内力。
将螺栓假想地沿剪切面m—m切开，取左边部分来研究[图3－52（b）]，根据静力平衡条件
，在剪切面上必然有一个与
平行的分布内力系的合力
作用，且
与剪切面m—m相切，称为截面m—m上的剪力。
联接件一般并非细长杆，而且实际受力和变形情况比较复杂，通过理论分析或实验研究来确定剪力
在剪切面上的实际分布规律较为困难。
因此在工程实际中，做出一些假设进行简化计算，称为实用计算，或假定计算。
假设应力在剪切面内是均匀分布的，若
为剪切面面积，则应力为：
（3-20）
与剪切面相切，故为剪应力。
以上计算是以假设剪应力在剪切面内均匀分布为基础的，实际上它只是剪切面内的一个“平均应力”，所以也称为名义剪应力。
其值与剪切面上的最大剪应力大致相等。
2、挤压实用计算
在第一节中已讲过，联接件除承受剪切外，在联接件和被联接件的接触面上还将承受挤压。
所以对上面的联接件还要进行挤压强度计算。
把作用在螺栓挤压面上的压力称为挤压力，用
表示，用
表示挤压面面积。
挤压面上单位面积内承受的挤压力称为挤压应力，用
表示。
在工程上也采用类似剪切的实用计算方法，假定挤压应力是均匀分布的，则
（3-21）
通常挤压应力的分布情况如图3－53（b），最大应力发生在半圆柱形接触面的中点，它与实用计算所得的挤压应力大致相等。
挤压面面积
为挤压面的正投影面积。
对于平键接触面面积就是挤压面面积；对于螺栓挤压面面积
就是直径平面面积，其值为
。
3、强度条件
为了保证构件在剪切和挤压的情况下能够正常工作，必须限制其工作剪应力和挤压应力不超过材料的许用剪应力
和许用挤压应力
。
因此剪切和挤压的强度条件如下：
剪切强度条件：
≤
（3-22）
挤压强度条件：
≤
（3-23）
式中的许用剪应力
和许用挤压应力
可从有关规范中查得，它们与材料拉伸许用应力
有下列关系：
塑性材料：
脆性材料：
例3-8?
?
图3－54（a）所示联接件中，已
知P=200kN，t=20mm，螺栓之
=80MPa，
=200MPa（暂不考虑板的强度），求所需螺栓的最小直径。
解?
螺栓受力情况如图3－54（b）所示，可求得
先按剪切强度设计：
≤
?
≤
d≥
再用挤压强度条件设计，挤压力为
，所以
≤
?
?
≤
d≥
最后得到螺栓的最小直径为
。
图3－54的螺栓的中间部分有两个剪切面[图3－54（b）]称为双剪。
例3-9?
图3－55（a）所示为铆接接头，板厚t=2mm，板宽b=15mm，板端部长a=8mm，铆钉直径d=4mm，拉力P=1.25kN，材料的许用剪切应力
=100MPa，许用挤压应力
11
=300MPa，拉伸许用应力
=160MPa。
试校核此接头的强度。
解
（1）接头强度分析：
整个接头的强度问题包含铆钉的剪切与挤压强度，拉板钉孔处的挤压强度，拉板端部纵向截面积（图c中的2-2截面）处的剪切强度以及拉板因钉孔削弱的拉伸强度四种情形。
但是若端部长度
大于铆钉直径
的两倍，则钉孔后面拉板纵截面的剪切强度是安全的，不会被“豁开”，所以只讨论三种情形下的强度计算。
（2）铆钉剪切与挤压强度计算：
铆钉的剪切面为1-1截面[3－55（a）]，其上剪力为：
Q=P
由（18-1）和（3－52）式得：
铆钉所受的挤压力为
，有效挤压面积为
。
根据（3-21）和（3-23）式得：
因拉板与铆钉的材料相同，故其挤压强度计算与铆钉相同。
（3）拉板被削弱截面的拉伸强度计算：
拉板削弱处[图3－55（b）]的截面面积为
，故拉应力为：
因此，本例接头是安全的。
（三）圆轴扭转时的强度和刚度计算
1、圆轴扭转时的强度计算
为了保证受扭圆轴能正常工作，不会因强度不足而破坏，其强度条件为：
最大工作应力
不超过材料的许用剪应力
，即
≤
（3-24）
从轴的受力情况或由扭矩图上可确定最大扭矩
，最大剪应力
就发生于
所在截面的周边各点处。
由公式（3-12）可把公式（3-24）写成：
≤
（3-25）
对阶梯轴来说，各段的抗扭截面模量
不同，因此要确定其最大工作应力
，必须综合考虑扭矩
和
两种因素。
在静载荷的情况下，扭转许用剪应力
与许用拉应力
之间有如下关系：
钢
=（0.5~0.6）
铸铁?
=（0.8~1）
但考虑到扭转轴所受载荷多为动载荷，因此所取
值应比上述许用剪应力值还要低些。
例3-10?
?
如图3-56所示汽车传动轴AB，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作时的最大扭矩Mn＝1.5kN·m，材料的许用剪应力
＝60MPa。
求
（1）试校核AB轴的强度；
（2）将AB轴改为实心轴，试在强度相同的条件下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。
解?
（1）校核AB轴的强度：
轴的最大剪应力为：
（N/m2）＝51MPa﹤[τ]
故AB轴满足强度要求。
?
（2）确定实心轴的直径：
按题意，要求设计的实心轴应与原空心轴强度相同，因此要求实心轴的最大剪应力也应该是：
设实心轴的直径为
，则
在两轴长度相同，材料相同的情况下，两轴重量之比等于其横截面面积之比，即
上述结果表明，在载荷相同的条件下，空心轴所用材料只是实心轴的31％，因而节省了三分之二以上的材料。
这是因为横截面上的剪应力沿半径线性分布，圆心附近的应力很小，材料没有充分发挥作用。
若把轴心附近的材料向边缘移置，这样可以充分发挥材料的强度性能；也可以使轴的抗扭截面模量大大增加，从而有效地提高了轴的强度。
因此，在用料相同的条件下，空心轴比实心轴具有更高的承载能力，而且节省材料，降低消耗。
因此工程上较大尺寸的传动轴常被设计为空心轴。
2、圆轴扭转时的刚度计算
在机械设计中，为使轴能正常工作，除了满足强度要求外，往往还要考虑它的变形情况。
例如车床的丝杠，扭转变形过大，会影响螺纹的加工精度；镗床的主轴扭转变形过大，将会产生剧烈的振动而影响加工精度；发动机的凸轮轴，扭转变形过大，会影响气门的启闭时间的准确性等等。
所以，轴还应该满足刚度要求。
由公式（3-17）表示的扭转角与轴的长度
有关，为了消除长度的影响，用
对
的变化率
来表示扭转变形的程度。
用
表示变化率
，由公式（3-21）得出：
（3-26）
式中
为单位长度的扭转角。
单位为rad/m。
若圆轴的截面不变，且只在两端作用外力矩，则由公式（3-17）得：
（3-27）
为了保证轴的刚度，工程上规定单位长度扭转角不得超过规定的许用扭转角。
故轴的刚度条件可表示为：
≤
rad/m（3-28）
在工程中，
的单位习惯上用o/m。
故把公式（3-28）中的弧度换算为度，得
≤
o/m（3-29）
许用扭转角
?
的数值可根据轴的工作条件和机器的精度要求，按实际情况从有关手册中查到。
下面列举几个参考数据：
精密机器的轴：
一般传动轴：
?
?
精度较低的轴：
最后讨论一下关于空心轴的问题。
由例3-10的讨论知，在工程上，较大尺寸的传动轴常被设计为空心轴，如飞机、轮船、汽车等运输机械的某些轴，常采用空心轴以减轻轴的重量，提高运输能力。
再如车床的主轴，为了便于加工长的棒料也采用空心轴，等等。
但空心轴加工工艺复杂，经济成本高，对一些又细又长的轴，如机床上的光杆及起重机的长传动轴，由于加工不便，而多采用实心轴。
另外空心轴的壁不允许过薄，以免局部屈曲而出现丧失稳定的现象。
总之，应根据具体要求，全面分析，综合考虑，合理设计。
例3-11?
?
如图3-57所示的阶梯轴。
段的直径
=4cm，
段的直径
=7cm，外力偶矩
＝0.8kN·m，
=1.5kN·m，已知材料的剪切弹性模量
＝80GPa，试计算
和最大的单位长度扭转角
。
解
（1）画扭矩图：
用截面法逐段求得：
kN·m
kN·m
画出扭矩图[图3-18（b）]
（2）计算极惯性矩：
（cm4）
（cm4）
（3）求相对扭转角
：
由于
段和
段内扭矩不等，且横截面尺寸也不相同，故只能在两段内分别求出每段的相对扭转角
和
，然后取
和
的代数和，即求得轴两端面的相对扭转角
。
（rad）
（rad）
（rad）=1.37°
（4）求最大的单位扭转角
：
考虑在
段和
段变形的不同，需要分别计算其单位扭转角。
段?
?
段?
?
负号表示转向与
相反。
所以
＝
＝2.28o/m
例3-12?
实心轴如图3-58所示。
已知该轴转速
＝300r/min，主动轮输入功率
=40kW，从动轮的输出功率分别为
=10kW，
=12kW，
=18kW。
材料的剪切弹性模量
＝80GPa，若
＝50MPa，
＝0.3o/m，试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。
解
（1）求外力偶矩：
（N·m）
（N·m）
（N·m）
（N·m）
1.求扭矩、画扭矩图：
（N·m）
（N·m）
（N·m）
根据以上三个扭矩方程，画出扭矩图[图3-58（b）]。
由图可知，最大扭矩发生在
段内，其值为：
N·m
因该轴为等截面圆轴，所以危险截面为
段内的各横截面。
（3）按强度条件设计轴的直径：
由强度条件：
≤
得?
（4）按刚度条件设计轴的直径：
由刚度条件：
≤
得d≥
为使轴同时满足强度条件和刚度条件，所设计轴的直径应不小于64.2mm。
（四）弯曲正应力的强度条件及其应用
由式（3-14）知梁的最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，故
=
这里Iz/ymax是只决定于截面的几何形状和尺寸的几何量，以Wz表示，称为截面对于中性轴z的抗弯截面模量。
于是
（3-15）
对于矩形截面[图3－59（a）]
对于圆形截面[图3－59（b）]，
对于各种轧制型钢，其惯性矩和抗弯截面模量可查型钢表（附录Ⅱ）。
弯曲时正应力的强度条件是：
还应指出，对于铸铁等脆性材料，由于它们的抗拉和抗压强度不同，则应按拉伸和压缩分别进行强度计算，即要求最大拉应力和最大压应力不超过许用拉应力[σL]和许用压应力[σy]。
即
﹙3-30﹚
下面举例说明强度条件的应用。
例3-13?
某车间安装一简易天车[图3－60（a）]，起重量G=50kN，跨度l=9.5m，电葫芦自重G=6.7kN，天车在起吊重物时多少承受一些突然加载的作用，故梁在中间承受的集中力（G+G1）应乘以动荷系数kd=1.2（根据设计规范），许用应力[σ]=140MPa,试选择工字截面。
解?
在一般机械中，梁的自重较其承受的其它载荷小，故可先按集中力初选工字截面，集中力P值为：
由集中力在中间截面引起的弯矩是[图3－60（b）]：
只考虑此弯矩时的强度条件为：
故
由型钢表查找Wz比1150×103mm3稍大一些的工字钢号，查出40C工字钢，其
1190×10３mm3,此钢号的自重q=801N/m。
这时自重在中间截面引起的弯矩是[图3－60（c）]
中间截面的总弯矩是：
于是考虑自重在内的强度条件是：
[
]
虽大于许用应力[
],但超出值在5%以内，工程中是允许的。
当不考虑梁自重时，
为：
考虑自重与不考虑自重相比，梁内应力相差（143.3-135.7）/143.3
。
因此，对于像钢这类强度较高的材料，计算应力时一般可忽略其自重的影响。
例3-14?
铸铁梁的载荷及截面尺寸如图3－61（a）所示，C为T形截面的形心，惯性矩Iz=6031×104mm4，材料的许用拉应力
，许用压应力
，试校核梁的强度。
解?
梁弯矩图如图3－61（b）所示，绝对值最大的弯矩为负弯矩，发生在Ｂ截面上，应力分布如图3－61（c）所示。
此截面最大拉应力发生于截面上边缘各点处，大小为：
最大压应力发生于截面下边缘各点处，即
虽然A截面弯矩的绝对值
，但MA为正弯矩，应力分布如图3－61（d）所示。
最大拉应力发生于截面下边缘各点，此截面上最大拉应力大于最大压应力。
因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上，必须经过计算才能确定：
A截面最大拉应力为：
从以上计算可看出，最大压应力发生于截面Ｂ下边缘处，最大拉应力发生于A截面下边缘处，都满足强度条件，因此是安全的。
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