22矩阵的运算及其性质doc.docx

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22矩阵的运算及其性质doc

2.2矩阵的运算及其性质

课题2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵时间分配教学过程教学方法教学手段90ˊ一、导言：

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授：

2.2.1矩阵的加法1．定义2.2：

两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。

应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。

2．矩阵的加法满足下列运算律（设，，都是矩阵）：

（1）

（2）。

两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。

2.2.2数与矩阵的乘法1．定义2.3：

一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。

2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（1）

（2）（3）例3设，求。

解：

讲授法板演2.2.3.矩阵的乘法1．定义2.4：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（1）结合律：

（2）分配律：

（3）设是数，。

例2设，，求，与。

解：

从例题中我们可以得出下面的结论：

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（3）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出3．设是一个阶方阵，定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

；，时间分配教学过程教学方法教学手段其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式2.2.4矩阵的转置1．定义2.5：

设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）（3）（是数）（4）例9设bt=b,证明（abat）t=abat证明：

因为bt=b，所以（abat）t=[（ab）at]t=（at）t（ab）t=abtat=abat3．定义2.6：

设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。

如果，即有，，则说为反对称矩阵。

2.2.5n阶方阵的行列式1．定义2.7：

由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式（determinantofamatrixa），记作||或。

2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：

（1）；

（2）；（3）。

三、练习：

习题2.22~4四、小结：

本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

五、作业：

课后记事本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。

课题2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵时间分配教学过程教学方法教学手段90ˊ一、导言：

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授：

2.2.1矩阵的加法1．定义2.2：

两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。

应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。

2．矩阵的加法满足下列运算律（设，，都是矩阵）：

（1）

（2）。

两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。

2.2.2数与矩阵的乘法1．定义2.3：

一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。

2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（1）

（2）（3）例3设，求。

解：

讲授法板演2.2.3.矩阵的乘法1．定义2.4：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（1）结合律：

（2）分配律：

（3）设是数，。

例2设，，求，与。

解：

从例题中我们可以得出下面的结论：

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（3）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出3．设是一个阶方阵，定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

；，时间分配教学过程教学方法教学手段其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式2.2.4矩阵的转置1．定义2.5：

设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）（3）（是数）（4）例9设bt=b,证明（abat）t=abat证明：

因为bt=b，所以（abat）t=[（ab）at]t=（at）t（ab）t=abtat=abat3．定义2.6：

设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。

如果，即有，，则说为反对称矩阵。

2.2.5n阶方阵的行列式1．定义2.7：

由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式（determinantofamatrixa），记作||或。

2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：

（1）；

（2）；（3）。

三、练习：

习题2.22~4四、小结：

本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

五、作业：

课后记事本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。

课题2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵时间分配教学过程教学方法教学手段90ˊ一、导言：

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授：

2.2.1矩阵的加法1．定义2.2：

两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。

应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。

2．矩阵的加法满足下列运算律（设，，都是矩阵）：

（1）

（2）。

两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。

2.2.2数与矩阵的乘法1．定义2.3：

一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。

2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（1）

（2）（3）例3设，求。

解：

讲授法板演2.2.3.矩阵的乘法1．定义2.4：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（1）结合律：

（2）分配律：

（3）设是数，。

例2设，，求，与。

解：

从例题中我们可以得出下面的结论：

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（3）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出3．设是一个阶方阵，定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

；，时间分配教学过程教学方法教学手段其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式2.2.4矩阵的转置1．定义2.5：

设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）（3）（是数）（4）例9设bt=b,证明（abat）t=abat证明：

因为bt=b，所以（abat）t=[（ab）at]t=（at）t（ab）t=abtat=abat3．定义2.6：

设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。

如果，即有，，则说为反对称矩阵。

2.2.5n阶方阵的行列式1．定义2.7：

由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式（determinantofamatrixa），记作||或。

2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：

（1）；

（2）；（3）。

三、练习：

习题2.22~4四、小结：

本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

五、作业：

课后记事本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。

课题2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵时间分配教学过程教学方法教学手段90ˊ一、导言：

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授：

2.2.1矩阵的加法1．定义2.2：

两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。

应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。

2．矩阵的加法满足下列运算律（设，，都是矩阵）：

（1）

（2）。

两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。

2.2.2数与矩阵的乘法1．定义2.3：

一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。

2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（1）

（2）（3）例3设，求。

解：

讲授法板演2.2.3.矩阵的乘法1．定义2.4：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（1）结合律：

（2）分配律：

（3）设是数，。

例2设，，求，与。

解：

从例题中我们可以得出下面的结论：

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（3）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出3．设是一个阶方阵，定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

；，时间分配教学过程教学方法教学手段其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式2.2.4矩阵的转置1．定义2.5：

设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）（3）（是数）（4）例9设bt=b,证明（abat）t=abat证明：

因为bt=b，所以（abat）t=[（ab）at]t=（at）t（ab）t=abtat=abat3．定义2.6：

设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。

如果，即有，，则说为反对称矩阵。

2.2.5n阶方阵的行列式1．定义2.7：

由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式（determinantofamatrixa），记作||或。

2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：

（1）；

（2）；（3）。

三、练习：

习题2.22~4四、小结：

本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

五、作业：

课后记事本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。

课题2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵时间分配教学过程教学方法教学手段90ˊ一、导言：

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授：

2.2.1矩阵的加法1．定义2.2：

两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。

应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。

2．矩阵的加法满足下列运算律（设，，都是矩阵）：

（1）

（2）。

两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。

2.2.2数与矩阵的乘法1．定义2.3：

一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。

2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（1）

（2）（3）例3设，求。

解：

讲授法板演2.2.3.矩阵的乘法1．定义2.4：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（1）结合律：

（2）分配律：

（3）设是数，。

例2设，，求，与。

解：

从例题中我们可以得出下面的结论：

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（3）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出3．设是一个阶方阵，定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

；，时间分配教学过程教学方法教学手段其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式2.2.4矩阵的转置1．定义2.5：

设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）（3）（是数）（4）例9设bt=b,证明（abat）t=abat证明：

因为bt=b，所以（abat）t=[（ab）at]t=（at）t（ab）t=abtat=abat3．定义2.6：

设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。

如果，即有，，则说为反对称矩阵。

2.2.5n阶方阵的行列式1．定义2.7：

由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式（determinantofamatrixa），记作||或。

2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：

（1）；

（2）；（3）。

三、练习：

习题2.22~4四、小结：

本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

五、作业：

课后记事本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。

课题2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵时间分配教学过程教学方法教学手段90ˊ一、导言：

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授：

2.2.1矩阵的加法1．定义2.2：

两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。

应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。

2．矩阵的加法满足下列运算律（设，，都是矩阵）：

（1）

（2）。

两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。

2.2.2数与矩阵的乘法1．定义2.3：

一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。

2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（1）

（2）（3）例3设，求。

解：

讲授法板演2.2.3.矩阵的乘法1．定义2.4：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（1）结合律：

（2）分配律：

（3）设是数，。

例2设，，求，与。

解：

从例题中我们可以得出下面的结论：

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（3）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出3．设是一个阶方阵，定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

；，时间分配教学过程教学方法教学手段其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式2.2.4矩阵的转置1．定义2.5：

设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）（3）（是数）（4）例9设bt=b,证明（abat）t=abat证明：

因为bt=b，所以（abat）t=[（ab）at]t=（at）t（ab）t=abtat=abat3．定义2.6：

设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。

如果，即有，，则说为反对称矩阵。

2.2.5n阶方阵的行列式1．定义2.7：

由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式（determinantofamatrixa），记作||或。

2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：

（1）；

（2）；（3）。

三、练习：

习题2.22~4四、小结：

本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

五、作业：

课后记事本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。

课题2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵时间分配教学过程教学方法教学手段90ˊ一、导言：

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授：

2.2.1矩阵的加法1．定义2.2：

两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。

应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。

2．矩阵的加法满足下列运算律（设，，都是矩阵）：

（1）

（2）。

两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。

2.2.2数与矩阵的乘法1．定义2.3：

一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。

2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（1）

（2）（3）例3设，求。

解：

讲授法板演2.2.3.矩阵的乘法1．定义2.4：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（1）结合律：

（2）分配律：

（3）设是数，。

例2设，，求，与。

解：

从例题中我们可以得出下面的结论：

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（3）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出3．设是一个阶方阵，定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

；，时间分配教学过程教学方法教学手段其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式2.2.4矩阵的转置1．定义2.5：

设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）（3）（是数）（4）例9设bt=b,证明（abat）t=abat证明：

因为bt=b，所以（abat）t=[（ab）at]t=（at）t（ab）t=abtat=abat3．定义2.6：

设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。

如果，即有，，则说为反对称矩阵。

2.2.5n阶方阵的行列式1．定义2.7：

由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式（determinantofamatrixa），记作||或。

2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：

（1）；

（2）；（3）。

三、练习：

习题2.22~4四、小结：

本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

五、作业：

课后记事本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。

课题2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵时间分配教学过程教学方法教学手段90ˊ一、导言：

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授：

2.2.1矩阵的加法1．定义2.2：

两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。

应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。

2．矩阵的加法满足下列运算律（设，，都是矩阵）：

（1）

（2）。

两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。

2.2.2数与矩阵的乘法1．定义2.3：

一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。

2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（1）

（2）（3）例3设，求。

解：

讲授法板演2.2.3.矩阵的乘法1．定义2.4：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（1）结合律：

（2）分配律：

（3）设是数，。

例2设，，求，与。

解：

从例题中我们可以得出下面的结论：

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（3）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出3．设是一个阶方阵，定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

；，时间分配教学过程教学方法教学手段其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式2.2.4矩阵的转置1．定义2.5：

设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）（3）（是数）（4）例9设bt=b,证明（abat）t=abat证明：

因为bt=b，所以（abat）t=[（ab）at]t=（at）t（ab）t=abtat=abat3．定义2.6：

设为