小学中段数学教学中发展学生空间观念教学策略的行动研究.docx
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小学中段数学教学中发展学生空间观念教学策略的行动研究
小学数学教学中发展学生空间观念教学策略的行动研究
文献综述
新课标开宗明义的第一句是：
“数学是研究数量关系和空间形式的科学。
”可见数学中数与形是其核心的内容。
在小学数学教材的编排体系中把课程内容分成了四大领域，其中“数与代数”占接近70%，“空间与图形”占了接近25%，“统计与概率”“综合与实践”共同占了5%左右。
从课程内容的设计上我们可以看出，在小学阶段数学的主要任务是两个计算能力的培养和空间观念的形成。
其中空间观念作为课标的十个核心概念地位不容置疑。
数学课程标准指出：
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形。
空间观念不仅是“观念”,还是数学课程里新的内容、题材的呈现方式。
在教学过程中,需要了解空间观念的内涵,掌握小学生形成空间观念的心理特征和发展过程,才能有效地培养学生的空间观念。
一、空间、观念和空间观念的内涵
（一）、空间与观念的涵义
（l）一般意义上的空间:
物质存在的一种客观形式,由长度、宽度、高度表现出来,
与“时间”相对。
通常指四方上下[1]。
数学意义上的空间:
数学界关于“空间”一词含义的理解基本一致。
通常所指的空
间是现实意义上的空间,是物质存在的基本形式之一,即物体延伸的长、宽、高的三维
空间。
数学中,抽象的“空间”概念早己脱离普通意义上的空间形式,它可以是四维、
五维、……n维空间,非欧几何空间,拓扑空间等,但不论怎样,它们都保持着与普通
现实空间的某种相似形。
因此,普通意义下的空间是学习数学中“空间”的基础。
中小
学生也是主要通过对物体的立体状态在现实空间中的位置关系,来形成物体在空间中的
存在形式—形状、大小、远近、深度等表象,形成空间知觉,发展相应的空间概念,
实现对客观事物空间形式的认知。
（2）通常所指的观念:
①思想意识;②观点;概念[2]。
通俗来讲观念是客观事物在人脑中留下的概括的形象,它可以离开事物凭记忆重
现。
（二）、空间观念的涵义
对于数学中“空间观念”内涵的理解大致有以下几种看法:
（l）《标准》中的空间观念主要表现在:
能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形
想象出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体
模型或画出图形;能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及
其关系;能描述实物或几何图形的运动和变化;能采用适当的方式描述物体间的位置关
系;能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考[3]。
作为空间观念最基本的表现,这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析,
不断由低到高向前发展的、对客观事物的认识过程,是建立在对周围的环境直接感知基
础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握过程。
在这个意义上,空间观念是学生主
动、自觉或自动化地“模糊”二维和三维空间之间界限的一种本领,是学生对生活中
的空间与数学课本上的空间之间密切关系的领悟[4]。
（2）空间观念包括三层意思:
第一层意思是就是空间感,即能在大脑中建立三维映
像,能将二维平面图形三维视觉化。
如根据锥体的平面图形,在头脑中建立一个锥体的
形象。
空间观念的第二层意思就是实物的几何化。
我们知道,严格意义下的数学空间想
象的对象不是现实世界中的实物的形象,而是数学化了的几何图形。
几何图形是从实际
物体经过归纳、概括和抽象而得到的。
然而,几何图形反映什么样的实物是不指明的,
也是无法全然指明的,因此,通过几何图形来研究实物—空间形式,或运用几何图形
的性质于实际时,都必须正确地分析、归纳,即将实物几何化,即由形状相对规则、简
单的实物想象出几何图形,这也是数学上想象的特殊性。
空间观念的第三层意思是空间
几何的结构的二维表示及其由二维图形表示想象出基本元素的空间结构关系。
这是最高
层次的属于纯几何范畴的空间观念成份。
（3）空间观念是指物体的形状、大小、以及相互位置关系留在人们头脑中的表象[5]。
也
就是说,空间观念包括物体的形状、物体的大小、物体的相互位置关系三个方面的内容。
（4）所谓空间观念,就是指物体的形状、大小、位置、距离、方向等形象在人脑中的
映像,是空间知觉经过加工后所形成的表象[6]。
综上可知,上述几种对“空间观念”涵义的认识的共同点是:
空间观念是物体的形
状、大小,及位置关系在人脑中的映像。
《标准》中的“空间观念”是从活动特征来看
空间观念的具体表现,要求能够利用图形的直观性认识、了解和分析空间关系。
由此,在本文的研究中,我个人对“空间观念”涵义的理解如下:
空间观念是物体的形状大小、位置关系及运动变换在人脑中的映像,是空间知觉经
过加工后所形成的表象。
相对应的,空间观念的形成主要以.三个方面为特征:
①认识物
体的形状大小特征,并能迅速再现物体特征的表象;②认识物体间的位置关系,并能
迅速再现这些物体的位置关系的表象;③利用图形直观性解决问题（其中包括从复杂的
图形中分解出基本图形,并分析其中的基本元素及关系;描述物体的运动和变换）。
从
根本上说空间观念是理解和把握现实生活空间的一种能力。
其中,表象是人在实践过程中积极反映客观事物,将感知所得的感性材料贮存在人
脑中,被加工成的感性形象。
空间知觉是指个体对外界事物空间特性的反映,它包括大
小、形状、距离、立体、方位等知觉;主要凭借视觉、听觉、动觉、平衡觉等的协同
活动,并辅以习得的经验形成,其中视觉在空间知觉中占主导地位[7]。
以上明确了“空间观念”的涵义和形成的几个方面的特征,这就为本文的课题研究
作了第一层铺垫,但是本文研究针对的对象是“小学生”,也就是年龄水平较低的儿童。
我们知道,儿童的思维水平与成人（或更高年级的学生）的思维水平是有区别的,也就
是说,儿童空间观念发展的思维水平是有其特殊性的。
为了更好地培养小学生的空间观
念,下面我们来探讨、了解儿童空间观念发展的心理规律及思维特征的特殊性,为本课
题的研究做好第二层铺垫。
二、儿童空间观念发展的思维水平及心理特征分析
数学教学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上的,而儿童
的几何（空间）思维水平的发展是有其明显的阶段性的,这个水平的发展不仅依赖于儿
童逐渐的心理成熟,更依赖于教师的教学组织。
所以,了解儿童几何（空间）思维水平
的发展和心理特点对教师组织几何教学是非常有价值的。
（一）儿童几何（空间）思维水平发展的阶段性
按照范·西尔夫妇的研究,人的几何思维有一个水平发展的阶段性,而且这种阶段
性还表现出以下特点:
第一,水平的发展基本上是非连续性的,说明几何思维的水平存
在着一个不确定的性质差异;第二,思维水平是有层次的,绕过高一层次的教学,可能
获得记忆,但不能获得这一层次的理解;第三,前一水平所蕴含的性质会成为下一水平
的明确理解;第四,不同的水平层次有自己独特的语言符号系统以及联结这些符号的关
系系统,因此,不同水平的推理在理解上是不同的。
从小学生几何思维水平的发展看,
大致有以下阶段:
（l）水平0
水平O被认为属于前认知阶段。
在这个阶段的儿童,能感觉几何形状,但由于其感觉活动的不足,往往只能注意到对象的形状直观特征的某一部分。
例如,有的儿童可能会区分直线图形和曲线图形,但对于同类图形（如正方形和平行四边形）不能正确区分,因此,面对一个给定的图形,他们常常不能重构一个与之性质相同的图形。
对处于水平O的学生来说,他们的思维特征就是依赖对象的具体想象或自己的触觉刺激,建立在“形状相同”这样的等级之上。
（2）水平1
水平1被认为属于直观化阶段。
在这个阶段的儿童,往往按照外观来识别图形,或者说只能建立一些关于“形状”的抽象,而并不关心图形的几何的性质或一类图形的本质特征。
他们的思维以知觉为主,因为他们可能会区别一些图形,但并不依据这些图形的性质,而是依据这些图形的外观与形状。
因此,当两个图形看起来相同时,他们就会认为这两个图形是相同的。
所以,他们在对一群对象进行分类时。
更多的注意这些对象“具有什么样的形状”,而不是这些对象具有什么样的性质特征。
例如[8],这个阶段的儿童可能会区分矩形和三角形,是因为“矩形像门,而三角形不像门”,但是,他们可能不能区分正方形和菱形,认为他们都是“方的,像手帕”,所以他们是“相等”的。
又如,他们无法区分二维和三维的图形,他们会认为“长方形”
和“长方体”的形状是一样的。
（3）水平2
水平2被认为属于描述/分析阶段。
在这个阶段的儿童,能通过观察、测量、搭建或描绘等活动,经验地建立图形的性质,并用日常生活的经验用语将这些性质描述出来,从而能通过图形的性质与一类图形建立联系。
这时,图形的视觉特征有可能被单独感知,并且有可能将其联系到某一个文字的标记上,通过对直观特征的反思,从而能通过图形的性质来识别图形并确定图形的特征,并能用构造图形的路径来思考二维图形。
例如,这个阶段的学生看到各种形态的三角形,都能准确地识别,而不管这些三角形在形状上有多大的差异。
莱勒等人曾作过这样一个测试:
向学生呈现如下一些图形,
BAC
几何思维水平测试图
当问及哪两个图形最像时,处于水平1的学生会认为是B和C,并说明“B除了里面稍微有些弯以外,它和C看起来是相同的”,可见这样的学生注意到的是图形的直观方面;而有学生会选择图形A和B,因为他们认为这两个图形都有四条边。
显然,这样的思考已经开始倾向于忽视图形形状的直观因素,而凸现图形的性质因素。
但是,处于水平2的学生,他们对图形的分类依据一定的自己理解的性质,但不能在不同性质之间构建某种联系,所以往往还不能识别两类图形之间的关系。
因此,让他们去理解正方形就是特殊的长方形,甚至去理解长方形就是特殊的平行四边形等,可能都是比较困难的。
（4）水平3
水平3被认为属于抽象/关联阶段。
在这个阶段的儿童,己经开始能形成抽象的定义,区分概念的必要条件和充分条件,开始注意到不同图形性质之间的关系,因而能分层次地将图形进行分类,并对这些类别进行非形式化的论证。
例如,他们已经能够理解如图2所示的分类:
图2:
几何思维水平关联示意图
同时,这个水平阶段的儿童,开始能依据图形的性质将图形进行组合或分解,他们能进行建立在操作性实验基础上的推理的空间思维活动。
例如,他们能从长方形的性质特征出发,将一个平行四边形,通过自己的操作活动转化为一个长方形,从而推导出平行四边形的面积计算方法。
又如,他们能理解任何一个四边形都可以被重组为两个三角形,就能从三角形的内角和是180°推导出四边形的内角和是360°。
此外,随着儿童空间透视能力的发展,他们开始能获得不同维度图形的识别,能知道“长方形”与“长方体”之间的联系与区别,因为他们开始学会依据“面”这个元素来观察、认识三维图形的性质特征。
（二）儿童空间观念形成的心理特征
皮亚杰等人研究认为,空间表象是通过儿童主动地将内化行为逐渐组织而构建起来
的。
因此,空间表象不是儿童对空间环境的感性地“读出”,而是来自于环境的、早先
的操作活动的积累。
可见,对儿童来说,形状的抽象并不是对物体特性的感觉进行抽象
的结果,而是儿童协调行为的结果。
例如对于“直线”的认识,是儿童通过早期在物体
（如桌子）的边的不断地操作,并逐步协调自己的这种操作行为的结果[9]。
总地来看,儿童空间观念的形成大致经历了这样几个阶段:
具体（实物直观,例如
具有相应几何形体的实物）—半具体（模像直观,例如已被构造出来的实物模型）一
一半抽象（图像抽象,例如用图呈示的标准图形）—抽象（概念抽象,在大脑中建立
对象的本质属性）。
儿童形成空间观念是一个逐步发展的过程,在这个过程中,儿童的空间观念的形成
呈出以下几个明显的心理特点。
（1）对直观的依赖性较强
首先表现在比较容易理解直观的几何图形,尤其是低年级的儿童,他们往往对于一
些较为抽象的图形,要形成理解还比较困难。
例如,儿童对长方形或正方形等图形性质
的理解就比对圆的性质的理解较容易,因为前者相对来说更为直观。
或者,对“三角形”
的性质理解可能就会比对“角”性质的认识更容易些,因为“闭合的区域”往往比“开
放发区域”更为直观。
同样地,因为图形的周长可以通过测量或展开,因而对它的理解
可能会比对图形的面积的理解更容易些。
所以,在教学中,常常会采用让学生通过自己
的手的触摸来体验“面”的大小,逐步获得对“面积”的理解。
其次还表现在学习中,尤其是在最初的几何学习中,常常将图形的直观原形与图形
形状的名称联系起来观察,忽视图形的所有组成部分的特征。
例如,有的儿童对“平角”
或“周角”的理解就比较困难。
（2）用经验来思考或描述性质和概念
低年级的儿童对自己观察到的图形的直观特征,往往是利用日常经验的语言来描述
的,例如,对于“三角形”的描述,会更多地借用日常经验中的“三角”,因此,常常
会说“是尖尖的那样”,或对“正方形”描述为“方块”,并会用这种描述作为图形的识
别图式。
虽然这种日常经验有助于儿童逐步建立空间观念和发展空间思维,但在思考和
辨识中也常常容易被直观图形的表象所误导。
像对于“菱形”这样的图形,在他们看来,
似乎也是一个“方块”,阻碍了他们对图形性质的概括。
需要指出的是,即便教学中运用了较为精确的语言描述,并试图让这些低年级的儿
童来学会这些描述,但实际上贮存于儿童头脑中的那些图形特征（陈述性知识）,可能
还会更多的依赖日常生活中更直观的经验支持。
例如,试图让一个一、二年级的儿童完
全依靠“对边”、“相等”、“直角”、“四边形”等概念来构建关于“长方形性质”的图式
知识是比较困难的C
到了三、四年级的学生,他们可能开始学习用更为精确的语言来描述一些图形的性
哀樱:
小学几何教学中空间观念的培养研究
脑中,被加工成的感性形象。
空间知觉是指个体对外界事物空间特性的反映,它包括大
小、形状、距离、立体、方位等知觉;主要凭借视觉、听觉、动觉、平衡觉等的协同
活动,并辅以习得的经验形成,其中视觉在空间知觉中占主导地位气。
以上明确了“空间观念”的涵义和形成的几个方面的特征,这就为本文的课题研究
作了第一层铺垫,但是本文研究针对的对象是“小学生”,也就是年龄水平较低的儿童。
我们知道,儿童的思维水平与成人（或更高年级的学生）的思维水平是有区别的,也就
是说,儿童空间观念发展的思维水平是有其特殊性的。
为了更好地培养小学生的空间观
念,下面我们来探讨、了解儿童空间观念发展的心理规律及思维特征的特殊性,为本课
题的研究做好第二层铺垫。
1.2儿童空间观念发展的思维水平及心理特征分析
数学教学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上的,而儿童
的几何（空间）思维水平的发展是有其明显的阶段性的,这个水平的发展不仅依赖于儿
童逐渐的心理成熟,更依赖于教师的教学组织。
所以,了解儿童几何（空间）思维水平
的发展和心理特点对教师组织几何教学是非常有价值的。
L2.1儿童几何（空间）思维水平发展的阶段性
按照范·西尔夫妇的研究,人的几何思维有一个水平发展的阶段性李,而且这种阶段
性还表现出以下特点:
第一,水平的发展基本上是非连续性的,说明几何思维的水平存
在着一个不确定的性质差异;第二,思维水平是有层次的,绕过高一层次的教学,可能
获得记忆,但不能获得这一层次的理解;第三,前一水平所蕴含的性质会成为下一水平
的明确理解;第四,不同的水平层次有自己独特的语言符号系统以及联结这些符号的关
系系统,因此,不同水平的推理在理解上是不同的。
从小学生几何思维水平的发展看,
大致有以下阶段:
（l）水平0
水平O被认为属于前认知阶段。
在这个阶段的儿童,能感觉几何形状,但由于其
感觉活动的不足,往往只能注意到对象的形状直观特征的某一部分。
例如,有的儿童可
能会区分直线图形和曲线图形,但对于同类图形（如正方形和平行四边形）不能正确区
分,因此,面对一个给定的图形,他们常常不能重构一个与之性质相同的图形。
朱智贤.心理学大辞典【M].北京师范大学出版社,1989.364和742页.
一clementsDH,BattistaMT.几何和空间推理.见:
格劳斯DA.数学教与学研究手册,陈昌平译.上海教育出
社,1999.498页.
5
袁樱:
小学几何教学中空间观念的培养研究
质,但是,他们对几何知识的贮存中还往往会伴有一定的相应的日常经验。
因此,有的
学生对一些“非垂直”形态的“垂直”识别可能就比较困难。
同时,这个阶段的儿童能
运用经验加工的方法做出某些预测,并设法去判断自己的这些预测,因此,他们对一些
性质的建立,看上去已经开始运用逻辑的思维,但他们的思维在本质上是经验的。
例如,
他们能从自己的操作实验来获得三角形内角和是1800这样的事实,但是并不关心构成这
个事实的三个角之间的相互依赖关系。
即便是到了四、五年级的儿童,他们对于一些较为抽象的图形性质的认识往往还需
要日常经验的支持,例如,他们无法运用准确的语一言（定义）来描述“圆”,对“圆上”、
“圆内”或“圆外”等概念还只能建立在“圆圈（即圆周）上”、“圆的里面”和“圆的
外面”等上面,因此,对是否是这个圆的直径（或半径）的识别,更多的可能还需要依
赖于图形的直观呈现。
（3）容易感知图形的外显性较强的因素
儿童无论是通过操作还是通过观察,对图形的感知往往偏重于对象的直观性较强的
属性特征,而忽视那些不太明显的属性特征。
例如,儿童在观察正方形时,往往首先注
意到的是正方形的边的特征,因为边的特征刺激大于角的特征,所以,就会混淆菱形与
正方形的区别。
又如,儿童对长方形性质特征的识别就往往比对圆的性质特征的识别要
容易,因为长方形的这些性质特征都比较直观和外显,而相对来说,圆的本质特征就比
较抽象和内隐。
于是,学生对于“有12个工人在装配线上一起工作,他们都将从一个
固定的箱内区零件,试想,零件箱放在什么地方最合适?
”这样的问题,很难马上联想
到圆的本质特征来回答。
再如,学生对“角”的本质属性的认识,往往会集中在组成角
的两条边的长短上,而忽视两条边“张开”的程度,也是因为边的长短视觉刺激明显要
大于两条边“张开”的程度①。
（4）对图形的识别依赖标准形式
儿童在最初的几何形体的认识中,其参考系主要依赖现实空间,例如,桌面就成为
他们确定水平线的一个参照。
同时,他们在观察中又往往将注意力集中在对象的那些特
征明显或差异较大的属性上,因此,对一些诸如“水平放置”的三角形、“相邻边大小
接近”的平行四边形或“上底、下底”分别在上、下的图形（通常称之为“标准图形”）
的识别往往比较容易,但是,对于一些诸如“斜置”的三角形或一组垂线、“对角分别
上下竖直”的正方形和菱形、“邻边程度差异很大”的长方形或平行四边形等图形（通
杨仄余主编.小学数学课程与教学【M].高等教育出版社,2004.8,269页.
9
云南师范大学硕士学位论文
一个常人的几何学习,主要依赖视觉知觉获得对对象的感知。
在这个过程中,能否
获得准确的知觉表象,不仅依赖于视觉观察水平,还依赖于视觉观察策略。
儿童在视觉
知觉上表现出的最大障碍,可能就是在视觉观察中,不能有效地建立或运用视觉知觉符
号和大脑中储存的图式与概念迅速建立联系的水平或策略。
例如①,关于长方体表面积认识的学习,常常是通过让儿童“拆”或“拼”一个长
方体的操作活动来获得。
但是,当儿童不能建立这六个面（长方形）与当前对象（长方
体）之间位置关系的表象的话,即便是记住了长方体表面积的计算公式,可能遇到类似
的求一个“抽屉”的用料面积的问题时,还是会感到非常困难的。
以上所论述的是儿童空间观念发展的思维水平及心理特点,了解儿童空间思维水
平的发展和,“理特点对教师组织教学是非常有价值的。
同时,儿童的几何学习与成人（或
更高年级的学生）是有区别的,这些区别就构成了小学几何学习的特殊性,儿童的这种
学习的特殊性表现的最为突出的就是活动性。
儿童的学习更多的是在活动中的学习,前
面论述中也谈到,儿童空间表象的建立是来自于环境的、操作活动的积累。
因此,下面
将论述培养小学生空间观念的活动教学理论,这将为本文研究作好第三层铺垫。
袁樱:
小学几何教学中空间观念的培养研究
性质的各个组成要素时,他们才开始注意到这些对象的性质之间的关系。
例如,对于各
种四边形的关系识别,只有当儿童开始从“边”、“角”等因素去观察不同图形的性质特
征,形成一个“概念的特征系统”时,才能真正理解这些四边形图形之间的关系,在识
别时才会认为一个长方形、一个正方形和一个菱形等都是平行四边形。
也只有儿童能形
成关于几何概念的“特征系统”时,才有可能完成这样的任务。
可见,教学组织中真正要把握的,首先是要能清楚在儿童的某个年级安排的几何知
识的学习目标究竟如何定位,其次才`去思考怎样的途径或策略来获得这个学习目标的实
现。
1.2.3儿童形成空间观念的主要知觉障碍
儿童的空间观念以及空间知觉的发展,首先受到其生活经验的局限,克莱门茨
（D:
Hlements）等人为〔劝,人类的经验具有局限性,这不仅通过人的直觉和组织的功能
反映出来,而且还往往表现为会歪曲或错误地表示现实世界。
其次还存在着某些知觉上
的障碍②,这种知觉障碍主要表现为如下两个方面。
（l）空间识别障碍
空间识别能力表现出的是空间方位感,无论是在日常生活中,还是在空间几何的学
习中,它都是一个非常重要的能力。
例如,在日常生活中,估计出某个地方的大致方位、
估计出两个物体之间的大致距离、估计某个物体所处的大致位,等等,都涉及空间识别
能力。
又如,在空间几何学习中,对三角形高的判断,对空间图形位置关系的判断,等
等,也都涉及空间识别能力。
但是,研究表明,儿童的空间识别能力（即空间方位感）
的发展有着明显的阶段性与差异性。
首先,儿童的空间识别能力是阶段性发展的。
低年级的儿童,最初常表现为对距离
不太远的对象能进行一定的空间识别,但是,对于距离稍远的对象的空间识别相对就差
一些。
随着学习的进行,经验的增长,空间知觉能力的逐步形成,儿童的空间识别能力
刁`会得到较大的发展。
其次,儿童空间识别能力的发展是不平衡的。
主要表现为:
有的学生通过一定的训
练能较快地发展他们的空间识别水平,而有的学生需要反复的训练才能缓慢地发展他们
的空间识别水平。
（2）视觉知觉障碍
'Clemen`5OH,BattistaMT.几何和空间推理.见:
格劳斯DA.数学教与学研究手册.陈昌平译.上海教育出版
社,1999.498页.
孔企平.小数学教学理论与方法[M].上海:
华东师范大学出版社,2002236页.
l1
云南师范大学硕士学位论文
常称之为“变式图形”）的识别就会感到比较困难。
标准图形虽然有利于儿童通过自己的观察来发现对象的性质特征,但是却不利于儿
童对获得的性质特征进行概括。
因此,教学中多采用变式图形来进一步凸现对象的性质
特征,防止儿童只关注对象的形状特征,这种做法是非常有效的。
（5）依据平面再造立体图形的空间想象能力是逐步形成的
正如上分析,学生的空间观念的发展是渐进的,小学生从.二维空间发展到三维空间
是相当困难的,而且这种过渡的时间比较长。
儿童从观察具体实物,初步获得立体图形
的性质表象后,在进一步的学习中,往往需要去面对用平面方式构造的三维图形,这需要
一定的平面透视能力`。
。
这对最初开始学习三维空间几何的J[;童来说,是有一定的难度
的,它需要一定的训练。
例如,有的教师在儿童初次学习“长方体”时,用三根“拉杆
天线”,将它们的三个端点“长”、“宽”、“高”这三个维度焊接在一起。
然后,不断
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