国内空间观念研究综述.docx

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国内空间观念研究综述

国内空间观念研究综述

顾丹丹顾继玲

“空间观念”是《全日制九年义务教育数学课程标准（实验稿）》提出的一个重要概念。

目前国内对空间观念的研究主要集中在三个方面：

空间观念的内涵、空间观念的教育价值和空间观念的培养策略。

有待进一步研究的问题：

明晰空间观念的内涵，界定空间观念和空间想象力之间的关系，加强初中生空间观念培养的研究，开展实证性的量化研究。

　　2001年7月，我国新一轮基础教育数学课程改革颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》），在总体目标中提出要使学生“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”，在内容标准的三个学段都分别阐述了培养和发展学生空间观念的问题，明确地把空间观念作为学习内容。

《标准》在关于学习内容的说明中，描述了空间观念的主要表现。

至此，“空间观念”一词明确进入我国数学课程，成为一个全新的重要内容，受到数学教育工作者的高度关注。

本文拟对目前国内的空间观念研究做一综述。

　　一、空间观念的内涵

　　与国外相比，我国数学教育界将“空间观念”一词作为数学课程的主线起步显得有些晚，并且由于《标准》中只对空间观念做了描述性的叙述，使得人们对“空间观念”一词的内涵至今尚未达成共识，

　　《标准》中指出，空间观念主要表现在：

能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

　　任子朝等人提出：

空间观念的建立包括实物的几何化、对空间基本图形的识记、再现和思考等。

它有三层含义。

（1）空间感。

主要指能在头脑中建立空间表象，对物体的形状、位置、相互关系等属性的直接认识；能比较物体的长度、面积和体积大小；能分辨不同物体所具有的形状特征。

比如，能够描述出熟悉的物体的基本特征，如能描述篮球与方纸盒的不同。

（2）实物几何化。

数学空间想象的对象不是现实世界中的实物形象，而是数学化了的几何图形，通过几何图形来研究实物，或者把几何图形的性质运用于实际，都必须正确地分析、归纳。

如把桌子和足球画成直观平面图形。

（3）由几何图形想象实物。

空间几何结构的二维表示及由二维图形表示想象出的基本元素的空间结构关系，这是较高层次的、也是困难较大的、基本属于纯几何范畴的空间观念成分。

如根据球的平面图形，在头脑中建立起一个球体形象。

　　王林全认为，学生的空间观念包含图形的识别与理解能力、图形的分解与组合能力、图形的建构与探索能力、对图形的运动与变换的欣赏和利用几何直观解决问题能力五个基本成分。

其中，图形的识别与理解能力是空间观念的基础，图形的分解与组合能力是空间观念得以健康发展的基本条件，良好的图形的建构与探索能力是空间观念发展的标志，对图形的运动与变换的欣赏是空间观念逐步成熟的前提，利用几何直观解决问题的能力是空间观念成熟的标志。

　　李玉龙、朱维宗认为，观念是思维活动的结果，是客观事物在人脑中留下的概括的形象。

学生通过在实际生活中对物体形状、结构的观察，在教学中对抽象几何图形、模型的感知，在头脑中形成几何表象，获得个人与物体、物体与物体之间的距离、大小、方位的空间知觉，并在感知材料的基础上进行抽象、概括的思维活动，逐步形成了几何观念。

空间观念是在空间知觉的基础上形成的几何观念。

空间观念包括三个方面：

（1）实物几何化；

（2）由基本图形寻找出基本元素及其关系；（3）由比较复杂的图形分解出简单的、基本的图形，能根据条件做出立体模型或画出图形。

空间观念不仅是“观念”，还是数学课程里新的内容、题材和呈现方式。

空间观念是学生主动、自觉或自动化地“模糊”二维和三维空间之间界限的一种本领，是学生对生活中的空间与数学课本上的空间之间密切关系的领悟。

　　提到“空间观念”一词，人们自然会将其和空间想象力联系在一起。

对二者之间的关系，在王焕勋主编的《实用教育大辞典》中有这样的描述：

空间观念是在空间知觉的基础上形成的关于物体的形状、大小及其相互位置关系（方位、距离）的表象，空间想象力是在空间观念的基础上形成和发展的。

我国一些学者也赞成这个说法。

如曹才翰指出，空间想象能力对初中生来说，这种要求太高了，所以义务教育阶段教学大纲中只提出培养学生的空间观念。

空间观念至少反映了如下的五个方面的要求：

（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；

（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；（5）由文字或符号作出或画出图形。

邸莉认为，在教学中应让学生掌握相应的基础知识和基本技能，学会解决简单的实际问题，丰富对现实空间及图形的认识，更好地认识和理解人类的生存空间，发展形象思维，培养学生的空间观念和创新意识学生从空间知觉到空间想象能力的发展过程中，是以空间观念为表象的。

　　二、空间观念的教育价值

　　在空间观念的教育价值问题上，我国学者普遍认为空间观念的培养有助于学生更好地认识周围的世界，有助于培养学生的空间想象能力和推理能力，有助于发展学生的创新精神和实践能力等。

　　李玉龙、朱维宗认为，首先，培养学生的空间观念有助于对学生的知识经验的教学；其次，培养学生的空间观念有助于对学生进行实物模型的教学；再次，培养学生的空间观念有助于提高学生识图与画图的能力；最后，培养学生的空间观念有助于培养学生初步的空间想象能力。

　　刘晓玫认为，对于学生来说，发展牢固的空间观念，掌握几何的概念和语言，不仅可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。

几何的模型提供了一个透视图，学生从中可以分析和解决问题，并且几何的解释还可以帮助学生形成一个抽象的（符号的）表示，使人更容易理解。

空间观念对于学生解释、理解和认识周围现实中的几何是必要的。

几何是对空间的把握——这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。

在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而更好地在其中生活、呼吸和运动。

　　孙晓天等认为，传统的几何课程，内容差不多都是计算和演绎证明，重点在形式化，内容比较单调，呈现方式也是冷冰冰的。

这样的课程难以鼓舞学生的学习欲望和兴趣。

学习这样的课程时，学生只能是被动地参与，难觅发挥主动性和创造性的空间。

另外，传统的几何课程中很难找到与空间有关的内容。

虽然教学大纲也有关于空间观念的表述，但在具体的教学内容和教学要求中却鲜见与之有关的解释和说明。

几何课程的主旋律就是研究平面几何图形及其性质的基本方法，虽然也有“识图初步”这样的条目，但其在内容和要求上都显得无足轻重。

然而，空间与人类的生存紧密相关，了解、探索和把握空间能使人类更好地生存、活动和成长。

空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念，几乎谈不上任何发明创造。

因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者，要先从自己的想象出发画出设计图，然后根据设计图做出实物模型，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。

这是一个充满丰富想象和创造的探求过程，也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换，利用直观进行思考的过程，空间观念在这个过程中起着至关重要的作用。

所以，明确空间观念的意义，认识空间观念的特点，发展学生的空间观念，对培养学生具有初步的创新精神和实践能力是十分重要的。

　　侯正海认为，空间观念的教学价值至少涵盖两个方面：

一是实际生活中的价值，二是数学思维中的价值。

当然，这两个方面难以截然分开。

首先，良好的空间观念有助于学生更好地认识周围的世界。

无论是对熟悉的生活空间进行描述，还是根据平面图认识生活空间，都体现了空间观念在生活中的价值。

其次，良好的空间观念有助于培养学生的空间想象能力和推理能力。

在认识图形时，学生通常是从实际的事物开始，经过观察、比较等直观活动，逐步抽象出几何图形，形成图形的表象。

在多次经历类似的过程后，学生逐渐能根据实物的形状想象出几何图形。

但认识仅仅停留于此还不够，还应该让学生根据图形想象实物的形状。

最后，良好的空间观念有助于提升学生直观思考的能力。

　　三、空间观念的培养策略

　　在空间观念的培养策略问题上，我国学者的看法或侧重点不尽相同，具有代表性的观点有——

　　王林全认为，学生的空间观念应该建立在他们对图形丰富的感性认识的基础上。

为了建立这种认识，要让学生从低年级开始，就通过多种途径感知与认识图形、模型与实物，能观其外形，触其表面，读其名称，辨其特征，分拆重组，进行分类。

在实验与操作中，让学生有充裕的时间，建立有关几何图形的表象。

具体措施有：

加强实验操作，发展直观感知；说明图形的定位，描述空间关系；注意逆向思维，多方表示变换；重视维数转化，突出内在联系；联系现实生活，渗透数学思想。

　　李玉龙、朱维宗认为，培养学生形成良好的空间观念的有效途径有：

第一，引导学生有目的地观察、感知空间形式，建立空间观念；第二，加强操作感知，获得空间观念；第三，鼓励学生大胆想象，巩固空间观念；第四，语言调节，增强空间观念；第五，通过变式、联想和再现，深化空间观念。

　　邸莉认为帮助学生建立空间观念主要有两个阶段：

第一阶段是加强几何建模及探究过程，培养空间观念；第二阶段是结合思维训练，渗透数学思想方法，进一步促进学生空间观念的形成。

在第一阶段，要让学生从具体事物的感知出发，获得清晰、深刻的表象，再逐步抽象出几何形体的特征，以形成正确的概念。

要引导学生不仅观察事物的表面现象，而且要透过现象，找出事物的本质。

同时，要让他们学会分析、比较。

通过比较，找出事物的不同特征和内在联系，逐步形成空间观念。

运用多媒体，激励想象，形成空间观念。

在进行知识的联系和对比的过程中，引导学生根据图形运动的特点，自己去发现知识的变化规律，有利于加深对几何形体的感知，发展空间观念。

在第二阶段，要借助思维的收敛性、思维的发散性和数学思想方法来培养学生的空间观念，优化学生的思维品质，从根本上提高学生的空间想象能力。

　　孙晓天等认为，空间观念是从现实生活中积累的丰富几何知识体验出发，从经验活动的过程中逐步建立起来的，发展学生空间观念的基本途径应当是多种多样。

但无论何种途径，都应以学生的经验为基础。

这些可能的途径包括：

生活经验的回忆、实物观察、动手操作、想象、描述和表示、联想、模拟、分析和推理等。

通过这些途径，学生感知和体验空间与图形的现实意义，初步体验二维与三维空间相互转换的关系，逐步发展空间观念。

培养空间观念需要大量的实践活动，学生要有充分的时间和空间观察、测量、动手操作，对周围环境和实物产生直接感知，这些活动不仅需要自主探索、亲身实践，更离不开大家一起动手，共同参与。

观察、操作、归纳、类比、猜测、变换、直观思考等对形成空间观念有重要作用的手段，只有在大家共同探讨，合作解决问题的过程中才能不断生成、发展合作交流可以使学生更明确自己对空间的看法，并有机会分享同学的想法。

大家的共同感受对促进空间观念的发展具有重要意义。

　　张景玲认为，首先要更新观念，培养对空间观念的认识。

培养学生的猜想意识，引导学生进行积极的猜想，是学生挖掘新知识和创新的良好开端。

其次，从现实中的物体和几何体出发，引导学生观察思考，就会涉及把现实中的经验移动到几何空间中，以此把握几何空间，再利用几何空间中抽象而成的特征、性质来解释现实空间，在这样抽象、还原的过程中，空间观念才能建立。

最后，学生空间观念的形成，单靠观察是不够的，还需要通过自己动手操作，才会产生稳固的认识。

学生的动手操作过程其实是学生手、眼、脑等多种器官协同合作的过程。

它可以调动学生的多种感官参与学习过程。

操作活动可以帮助学生准确地想象出几何图形形成现实空间图形的形象，准确地描述实物或几何图形的运动和变化，使学生能进一步在大脑中留下空间图形的形象，从而建立空间观念。

　　马芳从分析全国近四年中考发展空间观念的几何试题人手，着重研究了在初中几何教学中如何培养和发展学生的空间观念问题，认为在几何空间观念教学中应注重从以下几方面培养和发展学生的空间观念。

第一，在画图过程中，学生可以从本质上把握图形的基本特征，获得大量感知平面图形的经验与材料，提高画图能力，是发展空间观念的基础和前提。

第二，提高识图能力，是形成空间观念的基本条件。

第三，图形分解与组合，是学生空间观念健康发展的基本保障。

第四，图形的变换与操作，是发展空间观念的必要途径。

第五，图形分析与建构，是空间观念形成的标志。

第六，几何直观就是根据问题的条件，利用适当的图形、图像描述数学对象，描述其他学科以及日常生活中的问题，思考解题思路，预测所得结果。

几何直观为利用图形的性质解决问题创造了有利条件。

运用几何直观的能力，是空间观念成熟的标志。

第七，在合情推理过程中发展空间观念，提高学生观察、分析与变换图形的能力。

　　四、空间观念研究展望

　　发展学生的空间观念是“空间与图形”的首要目标。

无论是对教材编写者还是教师，空间观念都是一个新课题。

对空间观念的研究虽然取得了一定的成果，但是仍然存在着一些有待解决的问题。

　　1.国内大部分学者都没有给出空间观念的确切涵义，大多是引用《标准》中的描述或者王焕勋主编的《实用教育大辞典》中的解释。

需进一步明晰空间观念的内涵，让教师在教学过程中更易于把握；

　　2.空间观念和空间想象力的关系如何，教学中如何区别对待，需要进一步界定；

　　3.目前我国学者对空间观念培养的研究论文及成果以小学生为研究对象居多，对中学生空间观念培养的研究匮乏；

　　4.目前国内对空间观念的研究以理论定性分析较多，而实践定量分析较少。

因此，在未来的一段时间内，大力开展实证性的量化研究应该成为空间观念研究工作中的重点。

空间观念的内容及意义与培养

孙晓天，孔凡哲，刘晓玫

摘要：

空间观念是义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力所需要的基本要素．空间观念主要表现为学生主动、自觉或自动化地“模糊”2维和3维空间之间界限的一种本领，是一种可以把握的能力．能够发展学生空间观念的学习内容主要包括：

视图与构造，直观与推理，观察与投影．通过对具体情景的探索会发现，从不同的角度观察物体、辨别方位、动手操作、想象、描述和表示、分析和推理等活动是发展学生的空间观念的有效途径．

关键词：

数学课程标准；空间观念；空间观念的含义；空间观念的定位

《标准》在总目标中明确提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生要具有初步的创新精神和实践能力……”．根据数学的学科和课程特点，《标准》把“空间观念”作为义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力的一个重要学习内容．《标准》对空间观念所作的阐释，以及在相关内容上所作的具体安排，充分体现了《标准》总目标对培养创新精神的要求．

1空间观念的意义

传统的几何课程，内容差不多都是计算和演绎证明．到了初中以后，几何几乎成了一门纯粹的关于证明的学问．之所以如此，与传统上认为“数学是思维的体操”、把智力或思维能力的发展看成数学教育的主要目标有关．但是，以证明为主题的几何课程内容主要是由一些经过精心组织、现成的、条理清晰的概念、公理、定理和逻辑的思考方法（主要是三段论）构成的，重点在形式化，内容比较单调，呈现方式也是冷冰冰的．这样的课程难以鼓舞学生的学习欲望和兴趣，学习这样的课程时，学生只能是被动地参与，难觅发挥主动性和创造性的空间．另外，传统的几何课程中很难找到与“空间”有关的内容．虽然“教学大纲”也有关于“空间观念”的表述，如“能够由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状”等等，但在具体的教学内容和教学要求中却鲜见与之有关的解释和说明．几何课程的主旋律就是研究平面几何图形及其性质的基本方法，虽然也有“识图初步”这样的条目，但其在内容和要求上都显得无足轻重．然而，空间与人类的生存紧密相关，了解、探索和把握空间能使人类更好地生存、活动和成长．空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念，几乎谈不上任何发明创造．因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者要先从自己的想象出发画出设计图，然后根据设计图做出实物模型，再根据模型修改设计，直至最终完善成型．这是一个充满丰富想象和创造的探求过程，也是人的思维不断在2维和3维空间之间转换，利用直观进行思考的过程，空间观念在这个过程中起着至关重要的作用．所以，明确空间观念的意义，认识空间观念的特点，发展学生的空间观念，对培养学生具有初步的创新精神和实践能力是十分重要的．这就是《标准》把“空间观念”作为义务教育阶段重要学习内容的意义所在．

2.《标准》中的空间观念

《标准》描述了空间观念的主要表现，其中包括“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”．作为空间观念最基本的表现，空间观念的表现还包括“能运用图形形象的描述问题，利用直观进行思考”．直观思考是没有严格演绎逻辑的“形象化”的推理，是结合情景进行这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的思考．如，根据图2中的三视图建造的建筑物是不断由低到高向前发展的、对客观事物的认识过程，是建立在对周围的环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握过程．在这个意义上，空间观念是学生主动、自觉或自动化地“模糊”2维和3维空间之间界限的一种本领，是学生对生活中的空间与数学课本上的空间之间密切关系的领悟．把握实物与相应的平面图形、几何体与其展开图和三视图之间的相互转换关系，不仅是一个思考过程，也是一个实际操作过程．把上述表现进一步向前延伸，就是要尝试着物化那些感知到的，在直观的水平上有所把握的“转化”关系，这就是《标准》提到的“能根据条件作出立体模型或画出图形”，重现感知过的平面图形或空间物体．无论是做立体模型还是画出图形，都要在头脑加工和组合的基础上，通过实际尝试和动手操作来实现．这种重现能使几何基于直观的表象、联想和特征得到实实在在的表示，使空间观念从感知不断发展上升为一种可以把握的能力．《标准》进一步指出了空间观念在分析和抽象层次上的表现，如“能从较复杂的图形中分解出基本的图形……”，“能描述实物或几何图形的运动和变化，能采用适当的方式描述物体间的相互关系”等等．在把握“相互转换”关系的基础上，刻画了根据图形的特征在逻辑上对图形关系进行的分析与操作．例如，在电话里向别人描述如图1所示的积木块建筑的形状，就要抓住积木块之间的位置关系，使对方在看不到实物的情况下，通过你的叙述产生符合原形的直观想象．叙述和倾听都需要在逻辑上对图形关系进行分析与操作．严格准确地描述它的形状，可能会因人的能力差异而有所不同，但这些描述中的共性，可能就导致了一些有规律的内容出现，那就是空间观念．

空间观念的表现还包括“能运用图形开象的描述问题，利用直观进行思考”。

直观思考是没有严格演绎逻辑的“形象化”的推理，是结合情景进行的思考，如根据图２中的三视图建造的建筑物是什么样子的？

共有几层？

一共需要多少个小立方体？

回答这个问题，必须多次进行“如果……那么”的思考，尝试得出正确的结论．比较、综合、归纳、模拟与位置有关的推理，有条理的具体操作等一系列手段在这里都用得上．回答这个问题会运用到典型的数学思维方法，经历典型的数学解决问题过程：

提出假设，得出一个结论，证实或否定这个结论．这里虽然没有严密的命题逻辑、演绎推理与直观结合的思考，照样能得出正确的结论．

3.空间观念的培养

为了使空间观念从理念转化为数学课程的实践，需要在教学过程中加入以下新元素．

3.1反映空间观念的课程内容

空间观念不仅是“观念”，还是数学课程里新的内容、题材和呈现方式．由于以往课程中这方面的资源非常缺乏，依据《标准》的要求，选择与空间观念密切相关的题材就显得十分重要．为了培养和发展学生的空间观念，《标准》不仅在“空间观念”的提法上加入了一些新的元素，而且在内容上作了相应的安排，在3个学段都大大加强了与培养空间观念有关的内容，提出了一些新的具体目标．如：

第一学段的“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”，“会用上、下、左、右、前、后，描述物体的相对位置”，“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”；第二学段的“认识长方体、正方体、圆柱体的展开图”；第三学段的“知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影”，“了解闪点、视点、视线及盲区的含义”等等．这些内容的设置，使视图与构造、直观与推理、观察与投影等内容成了培养学生空间观念的重要学习资源并使空间和空间观念从孩子入学的那一刻开始就伴随他们成长了．《标准》中与空间观念有关的内容目标还有很多，这里提到的只是其中几条，有些是《标准》第一次作为课程内容提出的新元素．在以往的数学课程体系中，这样的内容往往显得无足轻重，有些则完全被屏蔽在数学课程的视野之外．因为按照传统的数学课程理念衡量，这样的内容不那么系统，很难用定义、定理、命题、性质把它们串起来；这样的内容也不那么好教，一方面，严格的逻辑在这里用处不大；另一方面，“灌输”的方法也很难起作用；这样的内容更不那么好考，因为探究这样的内容需要观察、思考、交流、模拟、尝试，甚至要争论、辩论，要走出课堂，其中任何一个环节都不大容易在纸上呈现，不大好打分．然而，如果数学课程里没有这些元素，学生的空间观念将从何而来？

如果没有空间观念，数学课程将如何满足素质教育的要求，怎样建立与创新精神培养之间的全面联系？

因此，《标准》明确地把空间观念作为与培养学生创新意识有关的重要数学学习内容之一．

3.2体现空间观念的呈现方式

体现空间观念的内容一定要附以恰当的题材和呈现方式，使学生通过模拟、归纳与位置有关的演绎，甚至实际操作等一系列方法去作尝试．通过具体的情景让学生探索和发现，在不断提出问题和解决问题的氛围中，引导学生得出正确的结论，发展空间观念．例如，当你乘车沿一条平坦的路向前行驶时，为什么你前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了？

而当你经过它们之后，那些“沉”下去的建筑物又逐渐“冒”了出来，这其中的原因何在？

这一情形可以抽象为侧视图（如图3）．

如果你所在的位置是A，你是否会看到后面那座高大的建筑物？

为什么？

这样的问题情景是很多学生经历过的．而正确回答这个问题却要涉及到视线、视点、视角、视距等许多与投影有关的概念．对这个问题的讨论会引导学生逐渐明了这样的道理：

被视物体看上去的高矮是由视角α所决定的，而视角的大小又依赖于被视物的高度和视点与被视物之间的距离（距离越近，视角α越大；距离越远，视角α越小）．如果A再向前挪动一点，视角α再大一点，那座高大的建筑物就会在眼前消失．“沉”到矮的那座建筑物后面去，问题就可以回答清楚了继续探讨，如果反过来，当A处于什么位置时，在E点就看不到了呢？

回答这个问题，需要探讨从E看不到的点形成的空间，称为E点的盲区．在不同的背景下，这里有不同的意义．比如在这里可以躲开E点的观察和跟踪，而如果这里代表的是通讯系统的盲区，这里的无线电话就会拨不出去、收不到．这个例子反映了如何从普通生活中的情景出发，在分析讨论的基础上找出数学模型，通过思考和简单的实验，不断认识、了解和把握实物与相应的平面图形之间的相互转换关系，通过切身的感受和体验建立空间观念．这样的题材接触多了，2维和3维空间之间的界限就会越来越模糊，空间观念就可以逐步形成．这样的例子是对学生有吸引力的内容，有助于提高学生学习数学的兴趣．这些内容作为培养空间观念的载体，能引导学生在研究探索的氛围里，在合作交流的过程中，积淀对空间观念的认识．面对这样的题材，学生的许多个人知识和直接经验都能用得上，不同的学生会有不同的心得．他们熟悉的视线、影子，甚至小时侯捉迷藏用的那些技巧，现在都可以派上用场．如果沿着上面例子中的线索再深入一步，会有