工程问题教材.docx

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工程问题教材

解工程问题的方法

工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。

这三者之间的关系是：

工作效率×工作时间=工作量

工作量÷工作时间=工作效率

工作量÷工作效率=工作时间

根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。

由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。

在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。

解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。

在分数工程问题中，工作量是未知数量。

解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。

（一）工作总量是具体数量的工程问题

例1建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。

两队合运需要多少天？

解：

这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。

先根据“工作量÷工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。

再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。

甲车队每天运的吨数：

（甲车队工作效率）

1200÷15=80（吨）

乙车队每天运的吨数：

（乙车队工作效率）

1200÷10=120（吨）

两个车队一天共运的吨数：

80+120=200（吨）

两个车队合运需用的天数：

1200÷200=6（天）

综合算式：

1200÷（1200÷15+1200÷10）

=1200÷（80+120）

=6（天）

例2生产350个零件，李师傅14小时可以完成。

如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成。

如果小王单独做这批零件，需多少小时？

解：

题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。

李师傅1小时可完成：

350÷14=25（个）

由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：

350÷10=35（个）

小王单独工作一小时可完成：

35-25=10（个）

小王单独做这批零件需要：

350÷10=35（小时）

综合算式：

350÷（350÷10-350÷14）

=350÷（35-25）

=35（小时）

例3把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。

甲组每小时生产毛巾128打，乙组每小时生产毛巾160打。

乙组生产2小时后，甲组也开始生产。

两组同时完工时超产1打。

乙组生产了多长时间？

解：

两组共同生产的总任务是：

2191-160×2+1=1872（打）

两组共同生产的时间是：

1872÷（160+128）=6.5（小时）

乙组生产的时间是：

6.5+2=8.5（小时）

综合算式：

（2191-160×2+1）÷（160+128）+2

=1872÷288+2

=8.5（小时）

一同生产用了多少小时？

解：

两台机器一同生产的个数是：

108-45=63（个）

第一台机器每小时生产：

第二台机器每小时生产：

两台机器一同生产用的时间是：

63÷（4+5）=7（小时）

综合算式：

（二）工作总量不是具体数量的工程问题

例1一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。

甲、乙两队合做，多少天可以完成？

解：

把这项工程的工作总量看作1。

甲队单独做24天完成，做1天完成

例2一项工程，由甲工程队修建需要20天，由乙工程队修建需要30

解：

把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20天，知甲工

例3一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做15天可以完成。

乙单独做多少天可以完成？

解：

把这项工程的工作量看作1。

甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合

需要多长的时间。

=7.5（天）

答：

乙单独做7.5天可以完成。

例4有一个水箱，用甲水管注水10分钟可以注满，用乙水管注水8分钟可以注满。

甲、乙两管同时开放2分钟后，注入水箱中的水占水箱容量的几分之几？

解：

把水箱的容量看作1。

用甲水管注水10分钟可以注满，则甲水管1

的：

例5一项工程，由甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务。

如果三人合作需要几天完成任务？

解：

甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务，

=1（天）

所以，乙单独做可以完成的时间是：

综合算式：

=6（天）

以完成？

解：

甲队独做3天，乙队独做5天所完成的工作量，相当于甲乙两队合做3天，乙队再独做2天所完成的工作量。

这时完成了全工程的：

乙队单独做完成的时间是：

例8加工一批零件，甲独做需要3天完成，乙独做需要4天完成。

两人同时加工完成任务时，甲比乙多做24个。

这批零件有多少个？

解：

解这道题的关键是，求出24个零件相当于零件总数的几分之几。

完成任务时甲比乙多做：

综合算式：

例9一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。

甲、乙合做了数天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了14天。

乙请假几天？

解：

根据“甲单独做20天完成”和“从开工到完成任务共用了14天”，可知甲做了全工程的：

乙做了全工程的：

乙请假的天数是：

14-9=5（天）

综合算式：

例10一项工程，乙队单独做需要15天完成。

甲、乙两队合做，比乙队单独做可提前6天完成。

如果甲、乙两队合做5天后，再由甲队单独做，甲队还需要多少天才能完成？

解：

设这项工程为1，则乙队每天做：

两队合做时每天做：

甲队每天做：

两队合做5天后剩下的工作量是：

甲队做剩的工作还需要的时间是：

综合算式：

（三）用解工程问题的方法解其他类型的应用题

例1甲、乙两地相距487千米。

李华驾驶摩托车从甲地到乙地，需要1小时；王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时。

照这样的速度，两人分别从两地同时相向出发，经过几小时在途中相遇？

一般解法：

用解工程问题的方法解：

把全程看作1。

李华驾驶摩托车从甲地到乙地需要1小时，李华的速度就是1；王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时，王明每1小时要行全程的

例2某学校食堂购进一车煤，原计划烧60天。

由于改进了炉灶的构造，实际每天比原来少烧10千克，这样这车煤烧了70天。

这车煤重多少千克？

一般解法：

10×60÷（70-60）×70

=4200（千克）

答：

这车煤重4200千克。

用解工程问题的方法解：

一般解法：

（适于六年级程度）

答略。

用解工程问题的方法解：

（适于六年级程度）

如果把这批零件的总数作为一项“工程”，以1表示，则这个工厂计划

因此，实际需要的天数是：

（四）用份数法解工程问题

例1一项工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做18天完成。

甲、乙两队合做4天后，剩下的任务由乙队单独做。

乙队还需要几天才能完成？

（适于六年级程度）

解：

把整个工程的工作量平均分成9×18=162（份）

甲队每天可以完成：

162÷9=18（份）

乙队每天可以完成：

162÷18=9（份）

甲、乙两队合做每天共完成：

18+9=27（份）

两队4天共完成：

27×4=108（份）

两队合做4天后，剩下的工程是：

162-108=54（份）

剩下的任务由乙队单独做，需要的天数是：

54÷9=6（天）

综合算式：

[9×18-（9×18÷18+9×18÷9）×4]÷9

=[162-108]÷9

=6（天）

答略。

例2一项工程，甲队单独做16天完成，乙队单独做20天完成。

甲队先做7天，然后由甲、乙两队合做。

甲、乙两队合做还要多少天才能完成？

解：

把这项工程的总工作量看做16×20份，则甲队每天做20份，乙队每天做16份。

甲队先做7天，完成的工作量是：

20×7=140（份）

甲队做7天后，剩下的工作量是：

16×20-140=180（份）

甲、乙两队合做，一天可以完成：

20+16=36（份）

甲、乙两队合做还需要的天数是：

180÷36=5（天）

例3一个水池装有进、出水管各一个。

单开进水管10分钟可将空池注满，单开出水管12分钟可将满池水放完。

若两管齐开多少分钟可将空池注满？

（适于六年级程度）

解：

把注满全池水所用的时间看作10×12份，当进水管进12份的水量时，出水管可放出10份的水量，进出水相差的水量是：

12-10=2（份）

甲、乙两管齐开注满水池所用的时间是：

10×12÷2=60（分钟）

答：

若两管齐开60分钟可将空池注满。

（五）根据时间差解工程问题

例1师、徒二人共同加工一批零件，需要4小时完成。

师傅单独加工这批零件需要5小时完成。

师、徒二人共同加工完这批零件时，徒弟加工了30个。

这批零件有多少个？

解：

从时间差考虑，师、徒共同加工完的时间与师傅单独加工完的时间相差5-4=1（小时）。

这说明师傅1小时加工的零件数等于徒弟4小时加工的零件数。

所以，师傅5小时加工的零件就是这批零件的总数：

30×5=150（个）

例2一份稿件需要打字，甲、乙两人合打10天可以完成。

甲单独打15天可以完成。

乙单独打需要几天完成？

解：

从时间差考虑，甲、乙两人合打完成与甲单独打完，两者的时间差是15-10=5（天），这说明甲5天的工作量相当于乙10天的工作量。

那么，甲15天的工作量，乙要工作：

10÷5×15=30（天）

答：

乙单独打需要30天完成。

例3一辆快车和慢车同时分别从A、B两站相对开出，经过12小时相遇。

已知快车行完全程需要20小时。

求两车相遇后慢车还要行多少小时才能到达A站？

（适于六年级程度）

解：

从时间差考虑，两车相遇与快车行完全程的时间差是20-12=8（小时）。

这说明快车8小时行的路程相当于慢车12小时行的路程。

那么快车行12小时的路程，慢车要行多长时间？

也就是两车相遇后慢车还要行驶而到达A点的时间。

12÷8×12=18（小时）