培优高中数学必修1 第1讲 集合及其应用.docx
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培优高中数学必修1第1讲集合及其应用
第1讲集合及其应用
一.知识梳理:
1.元素与集合的概念
(1)元素:
一般地,我们把研究的对象统称为元素.
(2)集合:
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).
(3)集合相等:
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
(4)集合元素的特性:
确定性、互异性、无序性.
2.元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A
a∈A
a属于
集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A
a∉A
a不属于
集合A
3.常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
4.集合的表示法
.列举法表示集合
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
.描述法表示集合
定义:
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
写法:
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
.Venn图
定义:
在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图,这种表示集合的方法叫做图示法.
适用范围:
元素个数较少的集合.
使用方法:
把元素写在封闭曲线的内部.
5.子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集
A⊆B(或
B⊇A)
6.集合相等与真子集的概念
定义
符号表示
图形表示
集合
相等
如果A⊆B且B⊆A,就说集合A与B相等
A=B
真子
集
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是B的真子集
A
B(或B
A)
7.空集
(1)定义:
不含任何元素的集合叫做空集.
(2)用符号表示为:
∅.
(3)规定:
空集是任何集合的子集.
8.子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.
(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.
9.并集和交集的概念及其表示
类别
概念
自然语言
符号语言
图形语言
并集
由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”)
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”)
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
10.并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
A∪A=A
A∩A=A
A∪∅=A
A∩∅=∅
A⊆B⇔A∪B=B
A⊆B⇔A∩B=A
11.全集
(1)定义:
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
(2)记法:
全集通常记作U.
12.补集
文字语言
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA
符号语言
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
图形语言
13.补集的性质
∁UU=∅,∁U∅=U,∁U(∁UA)=A.
二、例题讲解
题型一集合的基本概念
例题1 下列每组对象能否构成一个集合:
(1)我们班的所有高个子同学;
(2)不超过20的非负数;
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点;
(4)
的近似值的全体.
解
(1)“高个子”没有明确的标准,因此不能构成集合.
(2)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合;(3)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;(4)“
的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以(4)不能构成集合.
变式题下列所给的对象能构成集合的是________.
(1)所有正三角形;
(2)必修1课本上的所有难题;
(3)比较接近1的正整数全体;
(4)某校高一年级的16岁以下的学生.
答案
(1)(4)
解析
(1)能,其中的元素满足三条边相等;
(2)不能,“难题”的标准是模糊的、不确定的,所以元素不确定,故不能构成集合;(3)不能,“比较接近1”的标准不明确,所以元素不确定,故不能构成集合;(4)能,其中的元素是“16岁以下的学生”.
题型二元素与集合的关系
例题2 所给下列关系正确的个数是( )
①-
∈R;②
∉Q;③0∈N*;④|-3|∉N*.
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 -
是实数,
是无理数,所以①②正确.N*表示正整数集,所以③和④不正确.
变式题集合A中的元素x满足
∈N,x∈N,则集合A中元素有__________.
答案 0,1,2
解析 当x=0时,
=2;
当x=1时,
=3;
当x=2时,
=6;
当x≥3时不符合题意,故集合A中元素有0,1,2.
题型三 集合中元素的特性及应用
例题3 已知集合B含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈B,试求实数a的值.
解 ∵-3∈B,∴-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0.此时集合B含有两个元素-3,-1,符合题意;
若-3=2a-1,则a=-1.此时集合B含有两个元素-4,-3,符合题意.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
变式题
(1)已知集合A={a+1,a2-1},若0∈A,则实数a的值为________.
答案 1
解析 ∵0∈A,∴0=a+1或0=a2-1.
当0=a+1时,a=-1,此时a2-1=0,A中元素重复,不符合题意.
当a2-1=0时,a=±1.a=-1(舍),∴a=1.此时,A={2,0},符合题意.
(2)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系有且只有一个正确,则100a+10b+c等于________.①a≠2;②b=2;③c≠0.
答案:
201 [解析]可分下列三种情形:
(1)若只有①正确,则a≠2,b≠2,c=0,所以a=b=1,与集合中元素的互异性相矛盾,所以只有①正确是不可能的;
(2)若只有②正确,则b=2,a=2,c=0,这与集合中元素的互异性相矛盾,所以只有②正确是不可能的;(3)若只有③正确,则c≠0,a=2,b≠2,所以b=0,c=1.故100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
题型四 列举法与描述法的综合运用
例题4 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
解
(1)当k=0时,原方程为16-8x=0.∴x=2,此时A={2}.
(2)当k≠0时,由集合A中只有一个元素,∴方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,
则Δ=64-64k=0,即k=1.从而x1=x2=4,∴集合A={4}.
综上所述,实数k的值为0或1.
当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
变式题把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”,求实数k取值范围的集合.
解 由题意可知方程kx2-8x+16=0有两个不等实根.
∴
解得k<1,且k≠0.
所以k取值范围的集合为{k|k<1,且k≠0}.
题型五 有限集合的子集确定问题
例题5 写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集.
解 由0个元素构成的子集:
∅;
由1个元素构成的子集:
{1},{2},{3};
由2个元素构成的子集:
{1,2},{1,3},{2,3};
由3个元素构成的子集:
{1,2,3}.
由此得集合A的所有子集为∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.
在上述子集中,除去集合A本身,即{1,2,3},剩下的都是A的真子集.
变式题已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},求集合M及其个数.
解 当M中含有两个元素时,M为{2,3};
当M中含有三个元素时,M为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5};
当M中含有四个元素时,M为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5};
当M中含有五个元素时,M为{2,3,1,4,5};
所以满足条件的集合M为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5},集合M的个数为8.
题型六 集合间关系的判定
例题6 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0};
(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.
解
(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB.
(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知AB.
(4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故N
M.
变式题
(1)集合A={x|x2+x-6=0},B={x|2x+7>0},试判断集合A和B的关系.
答案:
A={-3,2},B=
.
∵-3>-
,2>-
,∴-3∈B,2∈B∴A⊆B
又0∈B,但0∉A,∴AB.
(2)已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若B
A,则实数m的值的集合为_.
答案:
由已知,易得A=
,∵BA,∴B=
或
或∅.
若B=
,由(-3)m+1=0,得m=
;
若B=
,由2m+1=0,得m=-
;
若B=∅,由mx+1=0无解,得m=0.
∴m=
或m=-
或m=0.
题型七 由集合间的关系求参数范围问题
例题7 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A,求实数m的取值范围.
解 ∵B⊆A,
(1)当B=∅时,m+1≤2m-1,解得m≥2.
(2)当B≠∅时,有
解得-1≤m<2,综上得{m|m≥-1}.
变式题已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若A
B,求a的取值范围;
(2)若B⊆A,求a的取值范围.
解
(1)若A
B,由图可知a>2.
(2)若B⊆A,由图可知1≤a≤2.
题型八 已知集合交集、并集求参数
例题8
(1)已知集合M={x|x2-2x-3≤0}和N={x|x=2k-1,k∈N*},则M∩N=( )
A.[1,5)B.
C.
D.∅
答案:
B [解析]
(1)因为集合M=
,N={x|x=2k-1,k∈N*},所以M∩N=
.
(2)已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∩B=∅,求实数a的取值范围.
答案 由A∩B=∅,
(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.
(2)
若A≠∅,如下图:
∴
解得-
≤a≤2.
综上所述,a的取值范围是{a|-
≤a≤2,或a>3}.
变式题
(1)已知集合A={1,2a},B={a,b},若A∩B=
,则A∪B为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
D因为A∩B=
,所以2a=
,即a=-1,所以b=
,所以A=
,B=
,所以A∪B=
.
(2)设集合A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}且A∪B={x|-1<x<3},求a的取值范围.
解 如下图所示,
由A∪B={x|-1<x<3}知,1<a≤3.
题型九 交集、并集、补集的综合运算
例题9
(1)已知集合A、B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩∁UB等于( )
A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅
(2)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(∁RS)∪T等于( )
A.{x|-2<x≤1}B.{x|x≤-4}C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}
答案
(1)A
(2)C
解析
(1)∵U={1,2,3,4},∁U(A∪B)={4},
∴A∪B={1,2,3}.又∵B={1,2},
∴{3}⊆A⊆{1,2,3}.又∁UB={3,4},∴A∩∁UB={3}.
(2)因为S={x|x>-2},所以∁RS={x|x≤-2}.
而T={x|-4≤x≤1},所以(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}.
(3)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
答案:
A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5由A∩B=(-1,n),可知m<2,则B={x|m画出数轴如图所示,可得m=-1,n=1.
变式题
(1)设全集U=R,集合A={x|x≤3},B={x|x≤6},则集合(∁UA)∩B=( )
A.{x|3≤x<6}B.{x|3C.{x|3答案:
C ∁UA={x
,所以(∁UA)∩B={x
.
(2)设集合M={x|x<2},集合N={x|0A.M∪N=RB.M∪(∁RN)=R
C.N∪(∁RM)=RD.M∩N=M
答案:
(2)B [解析]
(1)
(2)显然M∪N=M,M∩N=N,∁RM={x|x≥2},N∪(∁RM)={x|x≥2或0或
,则M∪(∁RN)=R,故选B.
(3)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.
解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下:
由图知,A∪B={x|2<x<10},
∴∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.
∵∁RA={x|x<3,或x≥7},∴(∁RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.
题型十 补集的综合应用
例题10 已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<x<a+3},且B⊆∁RA,求a的取值范围.
解 由题意得∁RA={x|x≥-1}.
(1)若B=∅,则a+3≤2a,即a≥3,满足B⊆∁RA.
(2)若B≠∅,则由B⊆∁RA,得2a≥-1且2a<a+3,即-
≤a<3.
综上可得a≥-
.
变式题:
已知集合A={x|x<a},B={x<-1,或x>0},若A∩(∁RB)=∅,求实数a的取值范围.
解 ∵B={x|x<-1,或x>0},∴∁RB={x|-1≤x≤0},
因而要使A∩(∁RB)=∅,结合数轴分析(如图),可得a≤-1.
题型十一 新定义集合问题
例题11若集合A具有以下性质:
(Ⅰ)0∈A,1∈A;(Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,
∈A.则称集合A是“好集”.
下列说法中正确的个数是( )
①集合B={-1,0,1}是“好集”;
②有理数集Q是“好集”;
③设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.
A.0B.1C.2D.3
答案C [解析]①集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾.②有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q.对任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,
∈Q,所以有理数集Q是“好集”.③因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.故选C.
变式题定义集合运算:
A⊗B={x|x∈A,且x∉B},已知集合M={x|-3≤x<4},N={x|-1答案 {x|4≤x≤7} [解析]因为N⊗M={x|x∈N,且x∉M}={x|4≤x≤7},
所以(N⊗M)⊗M={x|x∈N⊗M,且x∉M}={x|4≤x≤7}.
三、课后作业
1.下列能构成集合的是( )
A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.上海市所有的中学生
D.香港的高楼
答案 C
解析 A、B、D中研究的对象不确定,因此不能构成集合.
2.已知①
∈R;②
∈Q;③0∈N;④π∈Q;⑤-3∉Z.正确的个数为________.
答案 3
解析 ①②③是正确的;④⑤是错误的.
3.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m的值为( )
A.2B.3
C.0或3D.0,2,3均可
答案 B
解析 因为2∈A,所以m=2或m2-3m+2=2,解得m=0或m=2或m=3.又集合中的元素要满足互异性,对m的所有取值进行一一验证可得m=3,故选B.
4.集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1}(A,B中x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A.2∈A,且2∈B
B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A,且2∈B
答案 C
解析 集合A中元素y是实数,不是点,故选项B,D不对.集合B的元素(x,y)是点而不是实数,2∈B不正确,所以A错.
5.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.10
答案 D
解析 ∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},
∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4.
∴B={(2,1},(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},
∴B中所含元素的个数为10.
6.集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数为( )
A.4B.7C.8D.16
答案 B
解析 可知A={0,1,2},其真子集为:
∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},即共有23-1=7(个).
7.已知M={-1,0,1},N={x|x2+x=0},则能表示M,N之间关系的Venn图是( )
答案 C
解析 M={-1,0,1},N={0,-1},∴NM.
8.设A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则如图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}
答案 A
解析 注意到集合A中的元素为自然数,因此易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而直接解集合B中的方程可知B={-3,2},因此阴影部分显然表示的是A∩B={2}.
9.已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁RA)∩B等于( )
A.{-2,-1}B.{-2}
C.{-1,0,1}D.{0,1}
答案 A
解析 因为集合A={x|x>-1},
所以∁RA={x|x≤-1},
则(∁RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}
={-2,-1}.
10.设全集U是实数集R,M={x|x<-2,或x>2},N={x|1≤x≤3}.如图所示,则阴影部分所表示的集合为( )
A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤3}
C.{x|x≤2,或x>3}D.{x|-2≤x≤2}
答案 A
解析 阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}={x|-2≤x<1}.故选A.
11.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
答案 12
解析 设两项运动都喜欢的人数为x,画出Venn图得到方程
15-x+x+10-x+8=30
⇒x=3,
所以,喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).
12.设集合M={x|-3≤x<7},N={x|2x+k≤0},若M∩N≠∅,则实数k的取值范围为________.
答案 k≤6
解析 因为N={x|2x+k≤0}={x|x≤-
},
且M∩N≠∅,所以-
≥-3⇒k≤6.
13.设集合M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1},若N⊆M,则实数m的取值集合为________.
答案 {-2,0,
}.
解析 集合M={3,-
}.若N⊆M,则N={3}或{-
}或∅.于是当N={3}时,m=
;当N={-
}时,m=-2;当N=∅时,m=0.所以m的取值集合为{-2,0,
}.
14.已知集合P中元素x满足:
x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a=________.
答案 6
解析 ∵x∈N,2<x<a,且集合P中恰有三个元素,
∴结合数轴知a=6.
15.若集合A={-1,0,1},B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=( )
A.{0}B.{1}
C.{0,1}D.{0,-1}
解析:
选C 因为B={y|y=x2,x∈A}={0,1},所以A∩B={0,1}.
16.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( )
A.-3∈AB.3∉B
C.A∩B=BD.A∪B=B
17.(2017·成都模拟)已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={x|x2-1<0},则图中的阴影部分表示的集合为( )
A.(-∞,1]∩(2,+∞)B.(-1,0)∪[1,2]
C.[1,2)D.(1,2]
解析:
选B 因为A={x|0≤x≤2},B={x|-118.集合A={x|x2+x-6≤0},B={y|y=
,0≤x≤4},则A∩(∁RB)=________.
解析:
A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},B={y|y=
,0≤x≤4}={y|0≤y≤2},∴∁RB={y|y<0或y>2}.∴A∩(∁RB)=[-3,0).
答案:
[-3,0)
19.已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=
.若A∩B=∅,则实数a的取值范围是________.
解析:
A={y|y<