133+等腰三角形的性质与判断含答案.docx

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133+等腰三角形的性质与判断含答案

13.3等腰三角形的性质与判断【含答案】

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若AB=12，BC=8，AC=10，则△AEF的周长为（　　）

A．15B．18C．20D．22

3．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（　　）

A．5B．6C．7D．8

4．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是（　　）

A．15cmB．13cmC．11cmD．9cm

5．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（　　）

A．∠C=2∠AB．BD=BC

C．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点

6．如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，△PDE的周长为8，则BC的长为（　　）

A．4B．6C．8D．10

7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）

A．1B．1.5C．2D．2.5

8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：

（1）∠DEF=∠DFE；

（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，过点A的直线DE∥CB，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　）

A．14B．16C．10D．12

10．如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（　　）

A．图中共有三个等腰三角形B．点D在AB的垂直平分线上

C．AC+CD=ABD．BD=2CD

二．填空题（共10小题）

11．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为　　．

12．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　　．

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

13．如图，在△ABC中，AB=BC，AB=12cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D．则四边形BDEF的周长是　　cm．

14．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于　　．

15．如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为　　．

16．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=　　．

17．如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BC=2，BD是△ABC的角平分线，则AD=　　．

18．在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，点D、E分别在边BC、AC上，且∠ADE=∠B，当BD的长为　　时，△ADE是等腰三角形．

19．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是　　．

20．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，过C作CE∥AD，交BA延长线于点E，若BA=7．则BE=　　．

三．解答题（共10小题）

21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线．求证：

△DBC是等腰三角形．

22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．

求证：

AB=AC．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．

（1）求证：

△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．

24．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．

25．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

26．如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=

BC．

（1）求ME的长；

（2）求证：

△DMC是等腰三角形．

27．如图，已知CE、CF分别是△ABC中∠ACB及外角∠ACD的平分线，点E在AB上，EF交AC于点M，且EF∥BC．

（1）若∠B=45°，∠A=55°，求∠F的度数．

（2）求证：

ME=MF．

28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：

点F是AB的中点．

29．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）请你判断AD与BE垂直吗？

并说明理由．

（3）如果BC=10，求AB+AE的长．

30．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，

（1）求∠ADC的度数；

（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E，试问△ADE是等腰三角形吗？

请说明理由．

13.3等腰三角形的性质与判断【A1】

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016•甘孜州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

【解答】解：

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵ED∥BC，

∴∠CBD=∠BDE，

∴∠ABD=∠BDE，

∴BE=DE，

△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，

∵AB=3，AD=1，

∴△AED的周长=3+1=4．

故选C．

2．（2016春•福田区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若AB=12，BC=8，AC=10，则△AEF的周长为（　　）

A．15B．18C．20D．22

【解答】解：

∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠EBD=∠EDB，

∴ED=EB，

同理可证得DF=FC，

∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=22，

即△AEF的周长为22，

故选D．

3．（2016春•保定期中）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（　　）

A．5B．6C．7D．8

【解答】解：

∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，

∵DE∥BC，

∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，

∴DB=DO，OE=EC，

∵DE=DO+OE，

∴DE=BD+CE=5．

故选A．

4．（2016春•永登县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是（　　）

A．15cmB．13cmC．11cmD．9cm

【解答】解：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C．

∵DE∥AB，

∴∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，

∴DE=DC，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠DBE．

∴∠DBE=∠BDE，

∴BE=DE=DC=5cm，

∴△CDE的周长为DE+DC+EC=5+5+3=13（cm），

故选B．

5．（2016春•福安市期中）如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（　　）

A．∠C=2∠AB．BD=BC

C．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点

【解答】解：

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72°，

∴∠C=2∠A，故（A）正确；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=36°，

∴∠BDC=36°+36°=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，故（B）正确；

∵∠A=∠ABD=36°，

∴△ABD是等腰三角形，故（C）正确；

∵BD＜CD，

∴AD＞CD，

∴D不是AC的中点，故（D）错误．

故选：

D

6．（2016春•东港市期中）如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，△PDE的周长为8，则BC的长为（　　）

A．4B．6C．8D．10

【解答】解：

∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，

又PD∥AB，PE∥AC，

∴∠ABP=∠BPD，∠APC=∠EPC，

∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC，

∴PD=BD，PE=CE，

∴BC=BD+DE+EC=PD+DE+PE=△PDE的周长=8，

故选C．

7．（2015•盐亭县模拟）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）

A．1B．1.5C．2D．2.5

【解答】解：

∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，

∴BC=CE．

又∵∠A=∠ABE，

∴AE=BE．

∴BD=

BE=

AE=

（AC﹣BC）．

∵AC=5，BC=3，

∴BD=

（5﹣3）=1．

故选A．

8．（2015秋•醴陵市校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：

（1）∠DEF=∠DFE；

（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：

∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC

∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°

∴DE=DF

∴AD垂直平分EF

∴（4）错误；

又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，

∴

（1）∠DEF=∠DFE；

（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．

故选C．

9．（2015秋•东平县期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，过点A的直线DE∥CB，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　）

A．14B．16C．10D．12

【解答】解：

∵DE∥BC，

∴∠E=∠EBC．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∴∠E=∠ABE，

∴AB=AE=10．

同理可得：

AD=AC=6，

∴DE=AD+AE=AB+AC=16．

故选B．

10．（2015秋•沛县期中）如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（　　）

A．图中共有三个等腰三角形B．点D在AB的垂直平分线上

C．AC+CD=ABD．BD=2CD

【解答】解：

A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，

∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAB=36°，

即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，

∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；

B、∵∠DAB=∠B，

∴AD=BD，

∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；

C、在AB上截取AE=AC，连接DE，

在△EAD和△CAD中

∴△EAD≌△CAD，

∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，

∵∠B=36°，

∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，

∴DE=BE，

即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；

D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，

∴BD＜2DC，故本选项正确；

故选D．

二．填空题（共10小题）

11．（2015春•重庆校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为　7　．

【解答】证明：

在△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵EP⊥BC，

∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，

∴∠E=∠BFP，

又∵∠BFP=∠AFE，

∴∠E=∠AFE，

∴AF=AE，

∴△AEF是等腰三角形．

又∵AF=2，BF=3，

∴CA=AB=5，AE=2，

∴CE=7．

12．（2010•安徽）如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　②③④　．

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

【解答】解：

应添加的条件是②③④；

证明：

②当∠BAD=∠CAD时，

∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；

则△ABD≌△ACD，

∴△BAC是等腰三角形；

③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；

∵AB+BD=CD+AC，

∴DE=DF，又AD⊥BC；

∴△AEF是等腰三角形；

∴∠E=∠F；

∵AB=BE，

∴∠ABC=2∠E；

同理，得∠ACB=2∠F；

∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；

④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：

AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；

∵AB﹣BD=AC﹣CD①，

∴AB+BD=AC+CD②；

∴①+②得：

，

2AB=2AC；

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形

故答案为：

②③④．

13．（2010•潍坊）如图，在△ABC中，AB=BC，AB=12cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D．则四边形BDEF的周长是　24　cm．

【解答】解：

∵AB=BC，

∴∠A=∠C；

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠C=∠A，

同理，得：

∠DEC=∠A=∠C；

则△AFE、△EDC是等腰三角形，AF=FE、CD=DE；

∴C四边形BDEF=BF+BD+DE+EF=BF+AF+BD+CD=AB+BC=24cm．

故答案为24cm．

14．（2016春•吉安校级月考）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于　3cm　．

【解答】解：

∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，

∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，

∵DE∥BC，

∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，

∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，

∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，

∴DE=DI﹣EI=3（cm）．

故答案为：

3cm．

15．（2015秋•安阳校级期中）如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为　24　．

【解答】解：

AO、BO分别是角平分线，

∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，

∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，

∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM为等腰三角形，

∵MN=MO+ON，AC+BC=24，

∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24．

故答案为：

24．

16．（2013秋•沙坪坝区期中）如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=　3　．

【解答】解：

∵∠BAC=100°，∠B=40°，

∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=40°，

∴∠ACB=∠B，

∴AC=AB=3，

∵∠D=30°，

∴∠DAC=∠ACB﹣∠D=30°，

∴∠DAC=∠D，

∴CD=AC=3．

故答案为：

3．

17．（2009秋•苏州期末）如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BC=2，BD是△ABC的角平分线，则AD=　2　．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠C=72°，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C，

∴BD=BC=AD=2．

故填2．

18．在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，点D、E分别在边BC、AC上，且∠ADE=∠B，当BD的长为　

或1　时，△ADE是等腰三角形．

【解答】解：

AB=AC=5，

∴∠B=∠C=∠ADE．

∵BD=1时，DC=AC=5，

∴∠DAC=∠ADC=∠ADE+∠EDC．

∵∠AED=∠EDC+∠C=∠EDC+∠ADE，

∴∠DAE=∠DEA，

DA=DE，

当BD的长为1时，△ADE是等腰三角形，

当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，即∠1=∠ADE=∠B

又∠ACD=∠BCA，

∴△ADC∽△BAC，

∴

，

∴DC•BC=AC2，

∴DC=

，

∴BD=

；

综上所述：

当BD=

或1时，△ADE是等腰三角形，

故答案为：

或1．

19．（2010秋•建湖县校级期中）如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是　3∠1﹣∠2=180°　．

【解答】解：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵AB=BD，

∴∠BAD=∠1，

根据外角定理得∠1=∠2+∠C=∠2+∠B，

所以∠B=∠1﹣∠2，

△ABD中∠B+∠1+∠BAD=∠B+2∠1=180°，

∴∠1﹣∠2+2∠1=180°，

3∠1﹣∠2=180°．

故答案为：

3∠1﹣∠2=180°．

20．（2014春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，过C作CE∥AD，交BA延长线于点E，若BA=7．则BE=　14　．

【解答】解：

∵D为BC的中点，CE∥AD，

∴BD=DC，

=

，

∴BA=AE，

∵BA=7，

∴AE=7，

∴BE=7+7=14，

故答案为：

14．

三．解答题（共10小题）

21．（2016春•吉安期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线．求证：

△DBC是等腰三角形．

【解答】证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线

∴∠DBC=

∠ABC，∠DCB=

∠ACB，

∴∠DBC=∠DCB，

∴△DBC为等腰三角形．

22．（2016•丰台区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．

求证：

AB=AC．

【解答】证明：

∵AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，

∴∠ADB=∠BEC=90°，

∴∠ABC+∠BAD=∠C+∠CBE=90°，

∵∠BAD=∠CBE，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC．

23．（2015秋•蓬江区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．

（1）求证：

△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．

【解答】证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

在△DBE和△CEF中

，

∴△DBE≌△CEF，

∴DE=EF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵△DBE≌△CEF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B=

（180°﹣40°）=70°

∴∠1+∠2=110°

∴∠3+∠2=110°

∴∠DEF=70°

24．（2015•株洲模拟）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．

【解答】解：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠CAD=∠ADE，

∴∠BAD=∠ADE，

∴AE=DE，

∵AD⊥DB，

∴∠ADB=90°，

∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，

∴∠ABD=∠BDE，

∴DE=BE，

∵AB=5，

∴DE=BE=AE=

AB=2.5．

25．（2011•郑州校级三模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

【解答】

（1）证明：

在等腰直角三角形ABC中，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=∠CAB=45°．

又∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°．

∴∠BDE=45°．

又∵BF∥AC，

∴∠CBF=90°．

∴∠BFD=45°=∠BDE．

∴BF=DB．

又∵D为BC的中点，

∴CD=DB．

即BF=CD．

在△CBF和△ACD中，

，

∴△CBF≌△ACD（SAS）．

∴∠BCF=∠CAD．

又∵∠BCF+∠GCA=90°，

∴∠CAD+∠GCA=90°．

即AD⊥CF．

（2）△ACF是等腰三角形，理由为：

连接AF，如图所示，

由

（1）知：

△CBF≌△ACD，∴CF=AD，

∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，

∴BE垂直平分DF，

∴AF=AD，

∵CF=AD，

∴CF=AF，

∴△ACF是等腰三角形．

26．（2016春•蓝田县期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=

BC．

（1）求ME的长；

（2）求证：

△DMC是等腰三角形．

【解答】

（1）解：

∵AB=AC，AM平分∠BAC，

∴BM=CM=

BC=CE=3，

∴ME=