抛物线与平行四边形教学设计.docx

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抛物线与平行四边形教学设计

初中九年数学教学设计

课题：

抛物线与平行四边形

教

学

目

标

1.学生经历课上对简单动点问题的讲习，理解平行四边形的性质和判定，对简单动点问题的解题方法有初步的理解；

2.经历较复杂背景下，动点问题的求解方法解题策略的归纳提升；

3.在自主解题和师生探究的学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等主要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。

重点

已知平行四边形两个定点确定第三个点和第四个点。

难点

运用图形的性质和判定寻找运动中的特殊位置，利用方程思想、分类讨论思想解决平行四边形的动点问题。

教师导学：

教师将26题代几综合题的常见考点带着学生梳理，提炼解题策略。

本节课目标导学：

点动、线动、面动构成的问题称为动态题．近几年来中考26题多是二次函数与几何图形相结合的代几综合题。

（一）常见考点:

（1）确定二次函数解析式

（2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形全等三角形、相似三角形、特殊四边形等）

（3）函数类最值问题

（4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想）

本节课主要解决与动点有关的平行四边形问题的研究方法和策略

（二）解题策略：

动点（线、面）→画出符合条件的静态图形→设出关键点坐标→由点坐标表示线段长→建立模型（方程）→解方程求解符合条件的点坐标→验证符合题意

教学过程设计

问题与情境

师生行为

设计意图

问题1、如图，抛物线

与x轴交A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C,顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一动点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出M点的坐标.

教师展示问题，学生研究方法，有思路的同学讲解，缕顺思路后，每组选一名同学到黑板板演，教师巡视，点拨。

通过此题的研究，让学生体会已知确定的两点，和第三点的横坐标，求抛物线上第四点坐标的方法。

巩固、抛物线

交x轴于点A（-3,0）、B（1,0），交y轴于点E（0,-3）.点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M.N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标。

问题2、如图，抛物线

与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线

与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是

平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

教师展示问题，学生通过对题意的理解，解决问题。

教师展示问题,观察此题与上两题的不同之处是此题知道两点坐标，和第三点的纵坐标，借助点G的横坐标来求点F的横坐标。

学生在教师引导下，探究解决问题。

此题与问题1属同一题型，通过练习，加深对这一发法的理解运用。

培养学生的能力。

此题是抛物线与平行四边形问题中的典型题，具有代表性。

检测;

1、抛物线

与y轴交于C点，与x轴交于A,B两点，点P（1，K）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A,M,N,P为顶点的平行四边形？

若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点

（1）求抛物线的解析式

（2）若点P时抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标

小结

研究已知确定的两点，求第三个点或第四个点坐标的平行四边形问题，主要是抓住已知线段为对角线或已知线段为边，分情况讨论。

作业：

必做题

5道

选做题

2道

学生独立完成

如果学生掌握较快，就进行

否则，作为课后探究。

师生互动、生生互动，总结本节知识点以及形成的能力

教师归纳展示本节课知识

体会解题策略，个别学生梳理，讲解分析，教师归纳动点问题的研究策略：

关键点坐标——线段长——构建方程——解方程——验证

课下完成。

巩固方法，熟练运用。

通过检查了解学生对本节知识掌握情况

培养学生变式能力

通过学生自己、同学间、师生间互动较全面的归纳本节课的收获。

学生基本能在学生层面解决，教师针对学生问题进行归纳提升，分类问题，分类的标准，借助手中的尺子，动中取静。

使不同程度的学生都能得到不同程度的训练和提高。

课后作业

必做题

1、已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B，若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O，C，D，B四点为顶点的四边形为平行四边形，则D点的坐标为．

2．如图，抛物线y=（x-1）（x-5）交x轴于A、B两点，P为顶点，四边形ABCP是平行四边形，则经过P、B、C三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式为．

第2题第3题

3．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A，B两点．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）求抛物线顶点M关于x轴对称的点M′的坐标，并判断四边形AMBM′是何特殊平行四边形．（不要求说明理由）

4．经过点A（-4，5）的抛物线y=-x2+bx+5与y轴交于点B．点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，且以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．则点N的坐标为．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．

选做题

6．如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（-2、0）B（2、4）两点，与x轴的另一交点为D，点P（x、y）是线段AB上的一个动点，过P点的直线PQ⊥x轴，与抛物线相交于点Q．

（1）求b、c的值

（2）求线段PQ长度的最大值

（3）当PQ的长度取最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

7、如图，直线

与x轴交于点C，与y轴交于点A，点B的坐标为（2，3）,抛物线

经过A,C两点。

（1）求抛物线的解析式，并验证点B是否在抛物线上。

（2）点P在直线AC上，点Q在抛物线

上，是否存在P,Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形使平行四边形？

若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由。

抛物线中动点构成平行四边形的专题

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（─1，0），B（3，0），C（0，─1）三点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（─4，0），B（0，─4），C（2，0）三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=─x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，写出相应的点Q的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB在x轴的负半轴上，边OC在y轴正半轴上，且AB=1，OB=

，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A、E、D.

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P、点Q，使以点O、B、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

二次函数与平行四边形

【例1】（2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？

若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【例2】（2011广东）如图，抛物线

与y轴交于A点，过点A的直线与抛物

线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在

（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接C

M，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？

请说明理由.

【例3】（2010茂名）如图，在直角坐标系

O

中，正方形OCBA的顶点A、C分别在

轴、

轴上，点B坐标为（6，6），抛物线

经过点A、B两点，且

．

（1）求

，

，

的值；

（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为

秒，

的面积为S．

①试求出S与

之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．

【例4】（2011河源）如图1，已知抛物线

与x轴交于两点A、B，其顶点为C．

（1）对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?

请说明理由；

（2）求证:

△ABC是等腰直角三角形；

（3）已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是

平行四边形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例5】（2012恩施）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．