一元一次方程压轴题训练学生版.docx
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一元一次方程压轴题训练学生版
第五章一元一次方程（压轴题训练）
教学目标
1、掌握基本的探索规律题型的解题方法技巧，进一步加深利用一元一次方程解决追及、相遇、工程、商品促销类实际应用题；
2、能够解决几何与一元一次方程的综合问题，并能够解读阅读材料中的例题解析。
教学重难点
重点：
解规律题方法技巧，列方程解决行程问题、工程问题、商品促销问题、几何图形问题；
难点：
商品促销问题中蕴含分类讨论数学思想方法。
基础知识
1、列一元一次方程的一般步骤：
（1）设出适当的未知数；
（2）用含未知数的式子表示题目中的数量关系；
（3）根据实际问题中的等量关系列出方程。
列一元一次方程的基本流程：
2、一元一次方程的实际应用类型：
（1）应用一元一次方程——打折销售：
盈亏问题，商品打x折出售，是按标价的x折出售；商品利润=商品售价-商品进价；商品利润率=
;④商品销售额=商品销售价×商品销售量；⑤商品销售利润=（销售价-成本价）×销售量；⑥增长率问题，增长量=原有量×（1+增长率）
（2）应用一元一次方程——行程问题：
行程问题常用的公式，路程=速度×时间，相遇问题
，追及问题
，顺流问题
典例解析
题型一：
打折促销类问题
例1、列方程解应用题：
近年来，我市全面实行新型农村合作医疗，得到了广大农民的积极响应，很多农民看病贵、看病难的问题在合作医疗中得到了缓解．参加医保的农民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表①是医疗费用分段报销的标准；下表②是甲、乙、丙三位农民今年的实际医疗费及个人承担总费用．
医疗费用围
门诊费
住院费（元）
门诊费
住院费
个人承担总费用
0~5000
的部分
5000~20000
的部分
20000以上的部分
甲
260元
0元
182元
乙
80元
2800元
b元
报销比例
a%
40%
50%
c%
丙
400元
25000元
11780元
表①表②
注明：
①个人承担医疗费=实际医疗费﹣按标准报销的金额；
②年个人承担总费用包括门诊费和住院费中个人承担的部分．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）填空：
a=_______，b=_______，c=_______；
（2）大爷去年和今年的实际住院费共计52000元，他本人共承担了18300元，已知今年的住院费超过去年，则大爷今年实际住院费用是多少元？
【练习1★★★】、已知某提炼厂10月份共计从矿区以每吨4000元价格购买了72吨某矿石原料，该提炼厂提炼矿石材料的相关信息如下表所示：
提炼方式
每天可提炼原材料的吨数
提炼率
提炼后所得产品的售价（元/吨）
每提炼1吨原材料消耗的成本（元）
粗提炼
7
90%
30000
1000
精提炼
3
60%
90000
3000
注：
①提炼率指提炼后所得的产品质量与原材料的比值；
②提炼后的废品不产生效益；
③提炼厂每天只能做粗提炼或精提炼中的一种．
受市场影响，提炼厂能够用于提炼矿石原材料的时间最多只有12天，若将矿石原材料直接在市场上销售，每吨的售价为5000元，现有3种提炼方案：
方案①：
全部粗提炼；
方案②：
尽可能多的精提炼，剩余原料在市场上直接销售（直接销售的时间忽略不计）方案③：
一部分粗提炼，一部分精提炼，且刚好12天将所有原材料提炼完．
问题：
（1）若按照方案③进行提炼，需要粗提炼多少天？
（2）哪个提炼方案获得的利润最大？
最大利润是多少？
（3）已知提炼厂会根据每月的利润按照一定的提成比例来计算每个月需要给工厂员工发放的总提成，具体计算方法如下表：
提炼厂利润
不超过150万元的部分
超过150万元但不超过200万元的部分
超过200万元的部分
提成比例
8%
a%
15%
现知按照
（2）问中的最大利润给员工发放的10月份的总提成为15.09万元，11月份和12月份提炼厂获得的总利润为480万元，11月份和12月份给员工的总提成为50.6万元，且12月份的利润比11月份的利润大，求提炼厂12月份的利润．
练习2、
例2、第一月A型与B型电脑台数的和为413台，第二月A型B型分别增长25%、20%后总台数为510台，A型与B型电脑分别为10万元、12万元，A型的奖金办法为：
给予每台电脑的a%作为奖金，B型的奖金办法为：
给予每台电脑的（a+0.2）%作为奖金，第三月A型销售台数比第二月增长10a%，B型销售台数比第二月少20a%，第三月总共奖金为355680元，求a的值。
题型二：
行程类问题
例3、我校租用两辆小汽车（设速度相同）送8名老师到市教研室参加会议，每辆限坐4人（不包括司机）。
其中一辆小汽车在距离教研室
的地方出现故障，此时离截止进场的时间还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是
，人步行的速度是
（上、下车时间忽略不计）。
⑴若小汽车送4名老师到达会场，然后再回到出故障处接其他老师，请你能通过计算说明他们能否在截止进场的时刻前到达；
⑵请你设计一种运送方案，使他们能在截止进场的时间前到达，并通过计算说明方案的可行性。
（友情提示：
方案所需时间越短，本题得分越高）（最优方案：
公平原理、均衡原理）
【变式练习】、小明正在离家9.5千米的地方放羊15只，突然风云变幻，不久后可能要下雨，羊必须尽快回家，现有一辆马车最多装羊10只，没有装羊时速度为18千米/时，装有羊时，为安全起见，速度控制为12千米/时，而羊独自回家的速度为3千米/时，若装卸羊的时间忽略不计，则所有羊都到家的最短时间是小时．
例4、
练习、
题型三：
增长率类问题
例5、（★★★一元一次方程——增长率问题）某公司生产一种饮料是由A、B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本为15元/千克，B原料液的成本为10元/千克，按现行价格销售，每千克获得70℅的利润率，出于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20℅，B原料液上涨10℅，配制后的总成本增加了12℅，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25℅做广告宣传。
如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是多少？
练习、（★★★一元一次方程——增长率问题）随着我市经济的快速发展，家庭经济收入不断提高，汽车已越来越多地进入到普通家庭．据市交通部门统计，2010年底我市私人轿车拥有量约为80万辆，2010年底至2012年底我市每年私人轿车拥有量的增长率均为25%．
（1）求截止到2012年底我市的私人轿车拥有量约为多少万辆？
（2）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．目前国的温室气体污染源中，汽车排放是主要方式之一，关于汽车二氧化碳排放量的计算方法，可以参照互联网上流传的计算公式：
二氧化碳排放量（公斤）=油耗消耗数（升）×2.7公斤／升．
根据国际上通行的办法，对于那些无法避免而产生的碳排放进行碳补偿，植树是最为普遍的形式．如果以一辆私家车每年行驶1.5万公里，每百公里油耗10升来计算：
作为参照，一棵树一年光合作用吸收的二氧化碳大约是18公斤，每一亩地的植树量大约为90棵．根据这一参数，请你计算：
一辆私家车每年排放的二氧化碳大约是多少公斤？
需要植树多少亩才能抵消这一年开车所产生的二氧化碳对环境的影响?
（3）为缓解汽车拥堵状况和环境污染问题，市交通部门拟控制私人轿车总量，要求到2014年底全市私人轿车拥有量最多为158.25万辆．另据估计，从2013年初起，我市此后每年报废的私人轿车数量是上年底私人轿车拥有量的10％．假定从2013年开始，每年新增私人轿车数量相同，请你计算出我市每年新增私人轿车数量最多为多少万辆？
题型四：
其它类问题
例6、一天晚上停电，小明点上两根粗细不同的蜡烛看书，若干分钟后，电来了，小明将两根蜡烛同时熄灭。
已知两根新蜡烛中，粗蜡烛全部点完要2小时，细蜡烛全部点完要1小时，开始时两根蜡烛一样长，熄灭时粗蜡烛长是细蜡烛的2倍，那么这天晚上电停了
分钟。
例7、（追及问题）一辆4米长的小汽车追一辆12米长的卡车，小汽车和卡车的速度分别为120千米每小时、80千米每小时，问小汽车超过卡车所用时间为秒。
练习、（追及问题）一辆拖拉机在小花身后2000米处，小花骑自行车的速度为3米每秒，拖拉机的速度为6米每秒，小花受拖拉机噪音影响的最大距离为30米，请问小花受噪音影响的时间为秒。
例8、关于
的方程
有整数解，则整数
有（）个
A、8B、10C、12D、14
例9、把下列无限循环小数化为分数
练习、把下列无限循环小数化为分数
课后作业
1、已知关于
的方程
无解，那么
的值是（）
A、负数B、正数C、非负数D、非正数
2、对于方程
你能探究出方程的解
与
的值有关系什么关系吗？
当
取怎样的整数时，方程的解为正整数？
并求出这些正整数。
3、甲乙两人由A到B地，甲先走2小时乙再出发，结果乙比甲迟到15分钟，已知甲速为4千米/时，乙速为6千米/时，求A、B两地的距离。
设A、B两地的距离为x千米，可列方程。
4、甲乙两同学从学校出发到县城去，甲每小时走4km，乙每小时走6km，甲先出发1h，结果乙还比甲早到1h，若设学校与县城间的距离为skm，可列方程。
5、在一段复线铁道上，两列火车迎面驶来，A火车车速为20米/秒，B火车车速为25米/秒，若A列火车全长200米，B列火车全长160米，两列火车错车的时间为秒。
6、已知AB是一段只有3米宽的窄道路，一辆小汽车与一辆大卡车在AB段相遇，必须倒车才能通行，如果小汽车在AB段正常行驶需10分钟，大卡车在AB段正常行驶需20分钟，小汽车在AB段倒车的速度是它正常行驶速度的
，大卡车在AB段倒车的速度是它正常杼驶速度的
，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍．则两车都通过AB这段狭窄路面所用的最短时间是分钟.
7、已知铁路桥长500米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全离开桥共用30秒，而整列火车在桥上的时间为20秒，求火车的长度与速度。
8、明从家里骑摩托车匀速驶到火车站，如果每小时行50千米，那么将比火车的开车时间晚到15分钟到火车站，如果每小时行60千米，则比火车的开车时间晚到5分钟到火车站。
（1）求明家到火车站的距离是多少千米？
（2）现在明打算在火车开车前5分钟到达火车站，那么他骑摩托车的速度应该是多少？
9、在400米的环形跑道上，甲练习骑自行车，速度是6米/秒，乙练习跑步，速度是4米/秒，问在下列情况下，两人经过多少秒后首次相遇？
（1）若两人同时同地背向而行；
（2）若两人同时同地同向而行；
（3）若甲在乙前面100米，两人同时同向而行；
（4）若乙在甲前面100米，两人同时同向而行。
10、小明家离学校5千米，放学后，爸爸从家里出发去学校接小明，与此同时小明从学校出发往家走，已知爸爸的速度是6千米/小时，小明的速度是4千米/小时.
（1）爸爸与小明相遇时，爸爸走了多少时间？
（2）若小明出发10分钟后发现书本忘带了，立刻转身以8千米/小时的速度返回学校拿
到书本后仍以此速度继续往家走.请问爸爸与小明相遇时，离学校还有多远？
（不计途
中耽搁）
11、老在装修新房时想在客厅的地面按照图1所示的正方形图案铺贴仿古地板砖，图1是由四块尺寸完全相同的长方形砖拼成的一个正方形，中间还可另外嵌一个面积为
的小正方形花砖（花砖老已另买）。
但老买砖时只看中了如图2所示的一款较大的正方形地砖，于是只能将其按照图3的方式切割出图1所需的长方形砖在进行铺贴，经过计算这样切割会让每块地砖产生0.12m2废料，已知老家客厅的面积为30m2,请你帮老算一下他需购买图2这款地砖块。
12、为打造全国一流的教学品质，我校投入了一笔资金为教师们购买某品牌笔记本电脑，准备在甲、乙两个商家中选择一个.已知该笔记本电脑是市场统一标价5000元，由于购买数量多，两个商家都给出了自己的优惠条件（见下表）:
（1）若该校要购买笔记本电脑
台（
），请用含
的代数式分别表示出学校在甲商家购买所需付的金额
和在乙商家购买所需付的金额
.
（2）学校领导经商议最终决定选择在乙商家购买笔记本，并根据实际需要分两次共购买了400台笔记本电脑，且第一次购买数量小于第二次，共花费172万元，请问两次分别购买了多少台笔记本电脑？
13、某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可以在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：
按照商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%；
方案二：
按商铺的八折一次付清铺款，前3年商铺的租金收益归开发商所有，3年后每年可获得的租金为商铺标价的9%。
（1）问投资者选择哪种购铺方案，5年后所得的投资收益更高？
为什么？
（注：
投资收益率=
）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益相差7.2万元，问甲乙两人各投资了多少万元？
14、列方程解应用题：
由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地．A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米／时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米／时，在普通公路上的行驶速度是70千米／时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？
15、巴蜀中学黄花园校区和鲁能校区联合准备市中学生新年文艺汇演。
准备参加汇演的学生共92人（其中鲁能校区人数多于黄花园校区人数，且鲁能校区人数不足90人），按要求准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数
1套至45套
46套至90套
91套及以上
每套服装的价格
60元
50元
40元
如果两校区分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）如果两校区联合起来购买服装，那么比各自单独购买服装共可以节省多少钱？
（2）黄花园校区和鲁能校区各有多少学生准备参加演出？
（3）如果鲁能校区有9名参加演出的同学临时接到通知将参加某大学的自主招生考试而不能参加演出，那么你认为有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？
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