异面直线所成角直线与平面所成角二面角专题复习与提高.docx
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异面直线所成角直线与平面所成角二面角专题复习与提高
空间角专题复习
●知识梳理
一、异面直线所成的角及求法
（1）定义：
在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角．
（2）取值范围：
若θ是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是θ∈（0，]，当θ＝时，称异面直线a和b垂直，记为a⊥b.
（3）求法：
平移法：
将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；
二、直线与平面所成的角及求法
（1）定义：
设l和α分别表示直线与平面．①若l∥α或l⊂α，则称直线l和平面α所成的角为0；②若l⊥α，则称l与α所成的角为
；③若l与α相交，则l与l在α内的射影所成的锐角为直线l与平面α所成的角．
（2）取值范围：
设θ是直线l与平面α所成的角，则θ的取值范围是
．
（3）求法：
定义法：
探寻直线l在平面α内的射影，（通常由垂直法找射影）构造直线l与平面α所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．
三、二面角及求法
（1）定义：
在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小．
（2）取值范围：
规定二面角的取值范围为[0，π]．
（3）求法：
定义法：
分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角
●练习提升
1．如图，E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）
A．30° B．45°
C．60°D．90°
答案：
C
2.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成的角的正弦值为（ ）
A. B.
C.D.
答案：
C
3.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC
折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为（ ）
A.B.
C.D.
答案：
A
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是（ ）
A．15°B．30°
C．45°D．60°
答案：
B
5．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．
答案：
，
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
（3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．
答案
（1）45°
（2）30° （3）90°
7．设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为（ ）
A．R＝P⊆Q B．R⊆P⊆Q
C．P⊆R⊆QD．R⊆P＝Q
答案：
B
8．设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝a，∠CBA＝∠CBD＝120°，则AD与平面BCD所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．75°
解析：
作AO⊥CB交CB的延长线于O，连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵AO＝OD＝a，
∴∠ADO＝45°.
答案：
B
9.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A、B）且PA＝AC，则二面角P—BC—A的大小为（ ）
A．60°B．30°C．45°D．15°
答案C
10．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为（ ）
A．90°B．60°
C．45°D．30°
解析：
∵AB∥CD，
∴面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD，又CD⊥AD，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥PD，
∴PA⊥l，PD⊥l，即∠APD为所求二面角的平面角，
∠APD＝45°.
答案：
C
11．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：
①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD成60°角．则其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：
取BD的中点O，则BD⊥OC，BD⊥OA，得BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，①正确；cosADC＝cos45°·cos45°＝，∠ADC＝60°，AD＝DC，△ADC是正三角形，②正确；AB与CD成60°角，③正确；AB与平面BCD成角∠ABO＝45°，④错误．
答案：
C
12．如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B－DC1－C的平面角的余弦值是________．
解析：
取C1D的中点O，连接BO、CO，则BO⊥C1D，CO⊥C1D，
∴∠BOC是二面角B－DC1－C的平面角．
设正方体的棱长为1，则CO＝，
∵△BDC1为正三角形，
∴OB＝，且BC＝1，
∴cos∠BOC＝＝.
答案：
13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点．则直线EF和BC1所成的角是（ ）
A．45° B．60°
C．90°D．120°
解析：
取B1C1的中点G，A1B1的中点H，连结FG、BG、HG、EH，则FG∥BC1，且∠EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得cos∠EFG＝－，故所求角为60°.
答案：
B
14．如图，将Rt△ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角C－AD－C′，若直角边AB＝4，AC＝4，则二面角A－BC′－D的正切值为（ ）
A.B.
C.D．1
解析：
∠CDC′＝120°，过D作DE⊥BC′于E，连结AE，则∠AED即为所求．又知AD⊥平面BC′D，AD＝4，在△BC′D中，由余弦定理求得BC′＝4，再由面积公式S△BC′D＝BC′·DE＝·BD·C′D·sin60°知DE＝4，∴tan∠AED＝＝.
答案：
A
点评：
考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算．如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A—BD—P的度数是（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．75°
解析：
如右图所示，过A作AE⊥BD，
垂足为E，连结PE，
则PE⊥BD（三垂线定理），
故∠PEA为二面角P—BD—A的平面角．
在Rt△BAD中，AE＝＝.
在Rt△PAE中，tan∠PEA＝＝，∴∠PEA＝30°.
答案：
A
16．正四棱锥P—ABCD的两个侧面PAB与PCD互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为（ ）
A．60°B．90°
C．120°D．150°
解析：
如图，作BE⊥PC，连结DE.
∵△PDC≌△PBC，∴DE⊥PC
∴∠DEB就是二面角D—PC—B的平面角，
∵O为DB的中点，
∴∠OEB＝∠DEB，
又∵面PAB⊥面PCD，
∴PO＝AB，
在Rt△POC中，OC＝AB，所以PC＝AB.
∴OE＝＝AB.
∴tan∠OEB＝＝，
∴∠OEB＝，∴∠DEB＝.
答案：
C
17.如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V—AB—C的度数是________．
答案60°
18．如图①，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图②）．
（1）求证：
AB∥平面DNC；
（2）当DN＝时，求二面角D－BC－N的大小．
解：
（1）证明：
MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，∴MB∥平面DNC.
同理MA∥平面DNC，又MA∩MB＝M，且MA、MB⊂平面MAB.
⇒AB∥平面DNC.
（2）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，
∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，
∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角．
由MB＝4，BC＝2，∠MCB＝90°知∠MBC＝60°，
CN＝4－2cos60°＝3，∴NH＝3sin60°＝.
由条件知：
tanNHD＝＝，∴∠NHD＝30°.
19.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：
AF∥平面PEC；
（2）求PC与平面ABCD所成的角的正切值；
（3）求二面角P－EC－D的正切值．
解：
（1）证明：
如图，取PC的中点O，
连接OF、OE，则FO∥DC，
且FO＝DC，
∴FO∥AE，
又E是AB的中点，
且AB＝DC，
∴FO＝AE.
∴四边形AEOF是平行四边形，
∴AF∥OE.
又OE⊂平面PEC，
AF⊄平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
（2）如图，连接AC，
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角．
在Rt△PAC中，
tan∠PCA＝
＝＝，
即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为.
（3）如图，作AM⊥CE，
交CE的延长线于M.
连接PM，由三垂线定理得PM⊥CE，
∴∠PMA是二面角P－EC－D的平面角．
由△AME∽△CBE可得
AM＝，
∴tan∠PMA＝＝.
∴二面角P－EC－D的正切值为.
20.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，
∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
（1）证明：
平面PBE⊥平面PAB；
（2）求二面角A—BE—P的大小．
（1）证明 如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，
所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE⊂平面ABCD，
所以PA⊥BE.
而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
（2）解 由
（1）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
21．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为，求直线AB和平面α所成的角．
解
（1）如图
（1），当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.
而tan∠BAH＝＝.∴∠BAH＝30°.
（2）如图
（2），当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成角．
∵△BCB1∽△ACA1，∴＝＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝，
∴B1C＝.
∴tan∠BCB1＝＝＝，
∴∠BCB1＝60°，∴AB与α所成角为60°.
综合
（1）、
（2）可知：
AB与平面α所成角为30°或60°.
22.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
（1）求证：
BC⊥平面PAC.
（2）是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？
并说明理由
（1）证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC.
（2）解 ∵DE∥BC，又由
（1）知，
BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
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