异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高Word格式文档下载.docx
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●练习提升
1.如图,E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案:
C
2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成的角的正弦值为( )
3.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°
,将菱形沿对角线AC
折起,使折起后BD=1,则二面角B-AC-D的余弦值为( )
A
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
B
5.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30°
,则AB与A1C1所成的角为________,AA1与B1C所成的角为________.
,
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________;
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________;
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________.
答案
(1)45°
(2)30°
(3)90°
7.设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合Q,异面直线所成角的大小范围为集合R,则P、Q、R的关系为( )
A.R=P?
Q B.R?
P?
Q
C.P?
R?
QD.R?
P=Q
8.设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直,且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°
,则AD与平面BCD所成角的大小为( )
B.45°
D.75°
解析:
作AO⊥CB交CB的延长线于O,连接OD,则OD即为AD在平面BCD内的射影,∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.
∵AO=OD=
a,
∴∠ADO=45°
.
9.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A、B)且PA=AC,则二面角P—BC—A的大小为( )
A.60°
C.45°
D.15°
答案C
10.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为( )
A.90°
B.60°
D.30°
∵AB∥CD,
∴面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB,PA⊥CD,又CD⊥AD,
∴DC⊥平面PAD,
∴DC⊥PD,
∴PA⊥l,PD⊥l,即∠APD为所求二面角的平面角,
∠APD=45°
11.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,对于下列结论:
①AC⊥BD;
②△ADC是正三角形;
③AB与CD成60°
角;
④AB与平面BCD成60°
角.则其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
取BD的中点O,则BD⊥OC,BD⊥OA,得BD⊥平面AOC,∴BD⊥AC,①正确;
cosADC=cos45°
·
cos45°
=
,∠ADC=60°
,AD=DC,△ADC是正三角形,②正确;
AB与CD成60°
角,③正确;
AB与平面BCD成角∠ABO=45°
,④错误.
12.如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,过顶点B、D、C1作截面,则二面角B-DC1-C的平面角的余弦值是________.
取C1D的中点O,连接BO、CO,则BO⊥C1D,CO⊥C1D,
∴∠BOC是二面角B-DC1-C的平面角.
设正方体的棱长为1,则CO=
∵△BDC1为正三角形,
∴OB=
,且BC=1,
∴cos∠BOC=
13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°
,点E、F分别是棱AB、BB1的中点.则直线EF和BC1所成的角是( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
取B1C1的中点G,A1B1的中点H,连结FG、BG、HG、EH,则FG∥BC1,且∠EFG或其补角就是所求的角,利用余弦定理可求得cos∠EFG=-
,故所求角为60°
14.如图,将Rt△ABC沿斜边上的高AD折成120°
的二面角C-AD-C′,若直角边AB=4
,AC=4
,则二面角A-BC′-D的正切值为( )
D.1
∠CDC′=120°
,过D作DE⊥BC′于E,连结AE,则∠AED即为所求.又知AD⊥平面BC′D,AD=4
,在△BC′D中,由余弦定理求得BC′=4
,再由面积公式S△BC′D=
BC′·
DE=
BD·
C′D·
sin60°
知DE=4,∴tan∠AED=
点评:
考查二面角的知识,余弦定理及三角形的边角计算.如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键.
15.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,PA=
,那么二面角A—BD—P的度数是( )
如右图所示,过A作AE⊥BD,
垂足为E,连结PE,
则PE⊥BD(三垂线定理),
故∠PEA为二面角P—BD—A的平面角.
在Rt△BAD中,AE=
在Rt△PAE中,tan∠PEA=
,∴∠PEA=30°
16.正四棱锥P—ABCD的两个侧面PAB与PCD互相垂直,则相邻两个侧面所成二面角的平面角为( )
B.90°
C.120°
D.150°
如图,作BE⊥PC,连结DE.
∵△PDC≌△PBC,∴DE⊥PC
∴∠DEB就是二面角D—PC—B的平面角,
∵O为DB的中点,
∴∠OEB=
∠DEB,
又∵面PAB⊥面PCD,
∴PO=
AB,
在Rt△POC中,OC=
AB,所以PC=
AB.
∴OE=
∴tan∠OEB=
,∴∠DEB=
17.如图,在四棱锥V—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其它四个侧面都是侧棱长为
的等腰三角形,则二面角V—AB—C的度数是________.
答案60°
18.如图①,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=
,点M、N分别在AB,CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图②).
(1)求证:
AB∥平面DNC;
(2)当DN=
时,求二面角D-BC-N的大小.
解:
(1)证明:
MB∥NC,MB?
平面DNC,NC?
平面DNC,∴MB∥平面DNC.
同理MA∥平面DNC,又MA∩MB=M,且MA、MB?
平面MAB.
?
AB∥平面DNC.
(2)过N作NH⊥BC交BC延长线于H,
∵平面AMND⊥平面MNCB,DN⊥MN,
∴DN⊥平面MBCN,从而DH⊥BC,
∴∠DHN为二面角D-BC-N的平面角.
由MB=4,BC=2,∠MCB=90°
知∠MBC=60°
CN=4-2cos60°
=3,∴NH=3sin60°
由条件知:
tanNHD=
,∴∠NHD=30°
19.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
AF∥平面PEC;
(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值;
(3)求二面角P-EC-D的正切值.
如图,取PC的中点O,
连接OF、OE,则FO∥DC,
且FO=
DC,
∴FO∥AE,
又E是AB的中点,
且AB=DC,
∴FO=AE.
∴四边形AEOF是平行四边形,
∴AF∥OE.
又OE?
平面PEC,
AF?
∴AF∥平面PEC.
(2)如图,连接AC,
∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角.
在Rt△PAC中,
tan∠PCA=
即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为
(3)如图,作AM⊥CE,
交CE的延长线于M.
连接PM,由三垂线定理得PM⊥CE,
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.
由△AME∽△CBE可得
AM=
∴tan∠PMA=
∴二面角P-EC-D的正切值为
20.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,
∠BCD=60°
,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=
平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A—BE—P的大小.
(1)证明 如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°
知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.
又AB∥CD,
所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,
BE?
平面ABCD,
所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB.
又BE?
平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由
(1)知,BE⊥平面PAB,PB?
平面PAB,
所以PB⊥BE.又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=
,则∠PBA=60°
故二面角A—BE—P的大小是60°
21.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2,A、B两点在α内的射影之间距离为
,求直线AB和平面α所成的角.
解
(1)如图
(1),当A、B位于平面α同侧时,由点A、B分别向平面α作垂线,垂足分别为A1、B1,则AA1=1,BB1=2,B1A1=
.过点A作AH⊥BB1于H,则AB和α所成角即为∠HAB.
而tan∠BAH=
.∴∠BAH=30°
(2)如图
(2),当A、B位于平面α异侧时,经A、B分别作AA1⊥α于A1,BB1⊥α于B1,AB∩α=C,则A1B1为AB在平面α上的射影,∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成角.
∵△BCB1∽△ACA1,∴
=2,∴B1C=2CA1,而B1C+CA1=
∴B1C=
∴tan∠BCB1=
∴∠BCB1=60°
,∴AB与α所成角为60°
综合
(1)、
(2)可知:
AB与平面α所成角为30°
或60°
22.如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°
,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.
BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角并说明理由
(1)证明 ∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥BC.又∠BCA=90°
∴AC⊥BC.又∵AC∩PA=A,
∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC,又由
(1)知,
BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?
平面PAC,PE?
平面PAC,
∴DE⊥AE,DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角.
∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°
∴在棱PC上存在一点E,
使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°
故存在点E,使得二面角A—DE—P为直二面角.