异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高Word下载.docx
《异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高Word下载.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
（4）
答案：
C
1的菱形ABCD中，/ABC=60°
将菱形沿对角线AC
折起，使折起后BD=1,则二面角B—AC—D的余弦值为
1
C龜
C.3
A
（）
4•在正方体ABCD—AiBiCiDi中，BiC与对角面DDiBiB所成角的大小是（
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
B
5.如图，ABCD—AiBiCiDi是长方体，AAi=a,/BABi=ZBAQi=30°
贝UAB与AiG
300,450
6.
在正方体ABCD—AiB1C1D1中，
（1）直线AiB与平面ABCD所成的角是;
（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是
（3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是
答案
（1）45°
（2）30°
（3）90°
7.设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合Q,异面直
线所成角的大小范围为集合
R,贝UP、Q、R的关系为（
）
A.R=P?
Q
B.R?
P?
C.P?
R?
D.R?
P=Q
&
设△ABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a，/CBA=ZCBD=120°
则AD与平面BCD所成角的大小为（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
解析：
作AO_LCB交CB的延长线于O,连接OD，贝UOD即为AD在平面BCD内的射
影，/ADO即为AD与平面BCD所成的角.
••AO=OD
•••/DO=45°
9.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A、B）且PA=AC,
则二面角
P—BC—A的大小为
p
（
A.60°
B.30°
D.15°
答案C
10.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA丄平面ABCD，且PA=AD，则平面
PAB与平面PCD所成的二面角的度数为（）
A.90°
B.
60°
J』
C.45°
D.
30°
心C
••AB/CD,
•••面PAB与平面PCD
的交线
l必为过P点与AB平行的直线.
••FA丄平面ABCD,
•-FA1AB,PAJCD，又CD1AD,
••DC丄平面FAD,
••DCJPD,
••FA丄，PD丄，即ZAPD为所求二面角的平面角,
厶PD=45°
11.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：
①AC丄BD:
②厶ADC是正三角形；
③AB与CD成60。
角；
④AB与平面BCD成60。
角.则其中正确结论的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
取BD的中点O,贝UBDDC,BDJOA，得BD丄平面AOC,
•••BD!
AC,①正确；
cosADC=cos45°
cos45°
=?
/ADC=60°
AD=
DC,AADC是正三角形，②正确；
AB与CD成60。
角，③正确；
AB
与平面BCD成角ZABO=45°
④错误.
12.
如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B—DC1—C的平面角的余弦值是.
取C1D的中点O,连接BO、CO,贝UBOIC1D,COJC1D,
•••启OC是二面角B—DC1—C的平面角.
设正方体的棱长为1,则CO=-2?
•••△DCi为正三角形，
••0B=且BC=1,
222
OB+0C—BCy/3••cos/BOC=一2oBoc=T.
于
13.如图，在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AB=BC=AAi,ZABC=90°
点E、F分别是棱
AB、BBi的中点•则直线EF和BCi所成的角是（）
A.45°
B.60°
C.90°
D.i20°
取BiCi的中点G,AiBi的中点H，连结FG、BG、HG、EH，贝UFG伯Ci,且/
EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得
i
cos/EFG=—2,故所求角为60°
4.3,AC=4,6，则二面角A—BC'
A.2
丄平面BC'
D,AD=4.2,在ABC'
D中，由余弦定理求得BC'
=4.3,再由面积公式Szbcd
1,1,冷AD
=2BC'
DE=2BDC'
Dsin60知DE=4,：
tan/AED=在=V2.
点评：
考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算.如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键.
15.在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PA丄平面
的度数是（）
如右图所示，过A作AEJBD,
垂足为E，连结PE,
则PE!
BD（三垂线定理）,
故/PEA为二面角P—BD—A的平面角.
•••/EB就是二面角D—PC—B的平面角,
••O为DB的中点,
•QEB=1ZDEB,
又••面PAB丄面PCD,
•■PO=2AB,
17.如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧
棱长为乖的等腰三角形，则二面角V—AB—C的度数是.
答案60°
18.如图①，直角梯形ABCD中，AB//CD，/DAB=2，点M、N分别在AB,CD上，且
MN丄AB,MC±
CB,BC=2,MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面
MNCB垂直（如图②）.
（1）求证：
AB//平面DNC;
3
（2）
当DN=2时，求二面角D—BC-N的大小.
解：
（1）证明：
MB/NIC,MB?
平面DNC,NC?
平面DNC,「MIB//平面DNC.
同理MA//平面DNC，又MAAMB=M，且MA、MB?
平面MAB.
•••平面MAB//平面NCD
>
?
AB//平面DNC.
AB?
平面MAB
⑵过N作NH_LBC交BC延长线于H,
•••平面AMND丄平面MNCB,DN_UMN,
••DN丄平面MBCN，从而DHJBC,
•••DHN为二面角D—BC—N的平面角.
由MB=4,BC=2，/MCB=90°
知/MBC=60°
由条件知：
tanNHD=出=-3,aJNHD=30°
.
NH3
19.如图，已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平
面ABCD,FA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
AF//平面PEC;
⑵求PC与平面ABCD所成的角的正切值；
（3）求二面角P—EC—D的正切值.
⑴证明：
如图，取PC的中点O,
连接OF、OE,贝UFODC,
且FO=2DC,
•FOAE,
又E是AB的中点，
且AB=DC,
•FO=AE.
•四边形AEOF是平行四边形,
••AF/QE.
又OE?
平面PEC,
AF?
平面PEC,
••AF//平面PEC.
⑵如图，连接AC,
••PA丄平面ABCD,
•••OCA是直线PC与平面ABCD所成的角.
在Rt^FAC中,
PAtan/PCA=ac
1=21/5
5=牙
即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为
⑶如图，作AMICE,交CE的延长线于M.
连接PM，由三垂线定理得PMJCE,
•••PMA是二面角P—EC—D的平面角.
由AAMEsQbe可得
AM=
•an/MVIA=AAA=,2.
面角P—EC—D的正切值为，2.
20.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,
/BCD=60°
E是CD的中点，PA丄底面ABCD,PA=J3.
平面PBE丄平面PAB;
（2）求二面角A—BE—P的大小.
⑴证明如图所示，连接BD,由ABCD是菱形且/BCD=60。
知，△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点，所以BE丄CD.
又AB//CD,
所以BE丄AB.
又因为PA丄平面ABCD,
BE?
平面ABCD,
所以PA丄BE.
而FAQAB=A,
因此BE丄平面FAB.
又BE?
平面PBE,
所以平面PBE丄平面PAB.
（2）解由
（1）知，BE丄平面PAB,PB?
平面PAB,
所以PB丄BE.又AB丄BE,
所以/PBA是二面角A—BE—P的平面角.
PA
在Rt△PAB中，tan/PBA=AB=,3,则/PBA=60°
故二面角A—BE—P的大小是60°
⑵如图⑵，当A、B位于平面
离为•3,求直线AB和平面a所成的角.
解⑴如图⑴，当A、B位于平面a同侧时，由点A、B分别向平面a作垂线，垂足分别为
Ai、Bi,则AAi=1,BBi=2,BiAi=3.过点A作AH丄BBi于H，则AB和a所成角即
为/HAB.
a异侧时，经A、B分别作AAi丄a于人，BBi丄a于Bi,
ABQa=C,则AiBi为AB在平面a上的射影，/BCBi或/ACAi为AB与平面a所成角.
•••△BCBjS^ACAi,•••BB1=B^=2,•••BiC=2CA1，而BiC+CAi=AA1CA1
•B1C=于.
•tan/BCB1=BBC=总=3,
•/BCBi=60°
•AB与a所成角为60°
综合
（1）、⑵可知：
AB与平面a所成角为30°
或60°
22.如图，在三棱锥P—ABC中，PA丄底面ABC,/BCA=90°
点D、E分别在棱PB、PC上，且DE//BC.
BC丄平面PAC.
（2）是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？
并说明理由
（1）证明•••PA丄底面ABC,
•PA丄BC.又/BCA=90°
•AC丄BC.又•••ACnPA=A,
•BC丄平面PAC.
（2）解•/DE//BC,又由
（1）知，
BC丄平面PAC,•DE丄平面PAC.又•••AE?
平面PAC,PE?
平面PAC,
•DE丄AE,DE丄PE.
•/AEP为二面角a—DE—P的平面角.
•/PA丄底面ABC,
•PA丄AC,•/PAC=90°
•在棱PC上存在一点E,
使得AE丄PC.这时/AEP=90°
故存在点E,使得二面角A—DE—P为直二面角.
升级会员 