③命题“自然数是整数”是真命题；
④命题“∀x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∃x0∈R，x
＋x0＋1<0.”
A．1B．2
C．3D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13．设p：
x＞2或x＜
；q：
x＞2或x＜－1，则¬p是¬q的________条件．
14．若命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
15．给出下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④若sinα＋cosα>1，则α必定是锐角．
其中是真命题的有________．（请把所有真命题的序号都填上）．
16．已知p：
－4＜x－a＜4，q：
（x－2）（3－x）＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：
（1）36是6与18的倍数；
（2）方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；
（3）不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．
18．（本小题满分12分）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
（1）全等三角形一定相似；
（2）末位数字是零的自然数能被5整除．
19．（本小题满分12分）写出下列命题的否定并判断真假：
（1）所有自然数的平方是正数；
（2）任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
（3）∀x∈R，x2－3x＋3>0；
（4）有些质数不是奇数．
20．（本小题满分12分）设p：
“∃x0∈R，x
－ax0＋1＝0”，q：
“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞）上的值域为[1，＋∞）”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分12分）设命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：
实数x满足x2－5x＋6≤0.
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知二次函数f（x）＝ax2＋x，对任意x∈[0,1]，|f（x）|≤1恒成立，试求实数a的取值范围.
人教A版选修1-1常用逻辑用语
章末综合测评
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是（ ）
A．全称命题 B．特称命题
C．p∨q形式D．p∧q形式
【解析】 此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．
【答案】 A
2．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由于函数f（x）＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.
【答案】 C
3．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（ ）
A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝x
C．∃x∉R，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x
【解析】 全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．
【答案】 D
4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是（ ）
A．若2x＋1是整数，则x∈Z
B．若2x＋1是奇数，则x∈Z
C．若2x＋1是偶数，则x∈Z
D．若2x＋1能被3整除，则x∈Z
【解析】 易知逆命题为：
若2x＋1是整数，则x∈Z.
【答案】 A
5．已知命题p：
对任意x∈R，总有|x|≥0；q：
x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧¬qB．¬p∧q
C．¬p∧¬qD．p∧q
【解析】 命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题，故选A.
【答案】 A
6．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是（ ）
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
【解析】 命题是省略量词的全称命题．易知选D.
【答案】 D
7．原命题为“若
＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，真，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
【解析】 从原命题的真假入手，由于
＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.
【答案】 A
8．给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 q⇒¬p等价于p⇒¬q，¬pD
q等价于¬qD
p.故p是¬q的充分而不必要条件．
【答案】 A
9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．a＜0B．a＞0
C．a＜－1D．a＞1
【解析】 一元二次方程ax2＋4x＋3＝0（a≠0）有一个正根和一个负根⇔
＜0，解得a＜0，故a＜－1是它的一个充分不必要条件．
【答案】 C
10．设集合U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）|2x－y＋m＞0}，B＝{（x，y）|x＋y－n≤0}，那么点P（2,3）∈A∩（∁UB）的充要条件是（ ）
A．m＞－1，n＜5B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5D．m＜－1，n＞5
【解析】 ∵P（2,3）∈A∩（∁UB），
∴满足
故
【答案】 A
11．下列命题中为真命题的是（ ）
A．∃x0∈R，ex0≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是
＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
【解析】 对于∀x∈R，都有ex>0，故选项A是假命题；当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；当
＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，
无意义，故选项C是假命题；当a>1，b>1时，必有ab>1，但当ab>1时，未必有a>1，b>1，如当a＝－1，b＝－2时，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分条件，选项D是真命题．
【答案】 D
12．下列命题中真命题的个数为（ ）
①命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题；
②设α，β∈
，则“α<β”是“tanα③命题“自然数是整数”是真命题；
④命题“∀x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∃x0∈R，x
＋x0＋1<0.”
A．1B．2
C．3D．4
【解析】 ①命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x∈
时，正切函数y＝tanx是增函数，所以当α，β∈
时，α<β⇔tanα＋x0＋1≥0”，故④是假命题．
【答案】 C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13．设p：
x＞2或x＜
；q：
x＞2或x＜－1，则¬p是¬q的________条件．
【解析】 ¬p：
≤x≤2.
¬q：
－1≤x≤2.¬p⇒¬q，但¬qD
¬p.
∴¬p是¬q的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
14．若命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 若对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－160，则Δ＝4a2－4<0，即－10且x2－2ax＋1>0”是真命题时，有a∈（－1,0）．而命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，故a∈（－∞，－1]∪[0，＋∞）．
【答案】 （－∞，－1]∪[0，＋∞）
15．给出下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④若sinα＋cosα>1，则α必定是锐角．
其中是真命题的有________．（请把所有真命题的序号都填上）．
【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．
【答案】 ①③
16．已知p：
－4＜x－a＜4，q：
（x－2）（3－x）＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 p：
a－4＜x＜a＋4，q：
2＜x＜3，
∵¬p是¬q的充分条件（即¬p⇒¬q），∴q⇒p，
∴
∴－1≤a≤6.
【答案】 [－1,6]
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：
（1）36是6与18的倍数；
（2）方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；
（3）不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．
【解】
（1）这个命题是p∧q的形式，其中p：
36是6的倍数；q：
36是18的倍数．
（2）这个命题是p∨q的形式，其中p：
方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；q：
方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.
（3）这个命题是p∨q的形式，其中p：
不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：
不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．
18．（本小题满分12分）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
（1）全等三角形一定相似；
（2）末位数字是零的自然数能被5整除．
【解】
（1）逆命题：
若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；
否命题：
若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；
逆否命题：
若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．
（2）逆命题：
若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；
否命题：
若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；
逆否命题：
若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．
19．（本小题满分12分）写出下列命题的否定并判断真假：
（1）所有自然数的平方是正数；
（2）任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
（3）∀x∈R，x2－3x＋3>0；
（4）有些质数不是奇数．
【解】
（1）所有自然数的平方是正数，假命题；
否定：
有些自然数的平方不是正数，真命题．
（2）任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；
否定：
∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．
（3）∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；
否定：
∃x0∈R，x
－3x0＋3≤0，假命题．
（4）有些质数不是奇数，真命题；
否定：
所有的质数都是奇数，假命题．
20．（本小题满分12分）设p：
“∃x0∈R，x
－ax0＋1＝0”，q：
“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞）上的值域为[1，＋∞）”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．
【解】 由x
－ax0＋1＝0有实根，
得Δ＝a2－4≥0⇒a≥2或a≤－2.
因为命题p为真命题的范围是a≥2或a≤－2.
由函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞）上的值域为[1，＋∞），得a≥0.
因此命题q为真命题的范围是a≥0.
根据p∨q为假命题知：
p，q均是假命题，p为假命题对应的范围是－2这样得到二者均为假命题的范围就是
⇒－221．（本小题满分12分）设命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：
实数x满足x2－5x＋6≤0.
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解】
（1）由x2－4ax＋3a2<0，
得（x－3a）·（x－a）<0，
又a>0，所以a当a＝1时，1实数x的取值范围是1由x2－5x＋6≤0得2≤x≤3，
所以q为真时，实数x的取值范围是2≤x≤3.
若p∧q为真，则2≤x<3，所以实数x的取值范围是[2,3）．
（2）设A＝{x|aB＝{x|2≤x≤3}，
由题意可知q是p的充分不必要条件，则BA，
所以
⇒122.（本小题满分12分）已知二次函数f（x）＝ax2＋x，对任意x∈[0,1]，|f（x）|≤1恒成立，试求实数a的取值范围.
【解】 由f（x）＝ax2＋x是二次函数，知a≠0.
|f（x）|≤1⇔－1≤f（x）≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]，①
当x＝0，a≠0时，①式显然成立；
当x∈（0,1]时，①式化为－
－
≤a≤
－
，
当x∈（0,1]时恒成立．
设t＝
，则t∈[1，＋∞），所以－t2－t≤a≤t2－t.
令f（t）＝－t2－t＝－
2＋
，t∈[1，＋∞），
所以f（t）max＝－2.
令g（t）＝t2－t＝
2－
，t∈[1，＋∞），
所以g（t）min＝0.所以只需－2≤a≤0.
综上所述，实数a的取值范围是[－2,0）．
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