高中数学苏教版选修21第1章《常用逻辑用语》31word学案.docx
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高中数学苏教版选修21第1章《常用逻辑用语》31word学案
1．3 全称量词与存在量词
1．3.1 量 词
[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．
[知识链接]
下列语句是命题吗？
（1）与（3），
（2）与（4）之间有什么关系？
（1）x>3；
（2）2x＋1是整数；
（3）对所有的x∈R，x>3；
（4）对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．
答：
语句
（1）
（2）含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句（3）在
（1）的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句（4）在
（2）的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题．
[预习导引]
1．全称量词和全称命题
（1）全称量词：
短语“所有”“每一个”“任意”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
（2）全称命题：
含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为∀x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”．
2．存在量词和存在性命题
（1）存在量词：
短语“存在一个”“有一个”“有些”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
（2）存在性命题：
含有存在量词的命题叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”可用符号简记为∃x0∈M，p（x0），读作“存在M中的一个元素x0，使p（x0）成立”.
要点一 全称量词与全称命题
例1 试判断下列全称命题的真假：
（1）∀x∈R，x2＋2>0；
（2）∀x∈N，x4≥1；（3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解
（1）由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．
（2）由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
（3）由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．
规律方法 判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．
跟踪演练1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数是奇数；
（2）∀x∈R，x2＋1≥1；
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数．
解
（1）2是素数，但2不是奇数．
所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．
（2）∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.
所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．
（3）
是无理数，但（
）2＝2是有理数．
所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
要点二 存在量词与存在性命题
例2 判断下列命题的真假：
（1）∃x0∈Z，x
<1；
（2）存在一个四边形不是平行四边形；
（3）有一个实数α，使tanα无意义；
（4）∃x0∈R，cosx0＝
.
解
（1）∵－1∈Z，且（－1）3＝－1<1，
∴“∃x0∈Z，x
<1”是真命题．
（2）真命题，如梯形．
（3）真命题，当α＝
时，tanα无意义.
（4）∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而
>1，
∴不存在x0∈R，使cosx0＝
，
∴原命题是假命题．
规律方法 存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．
跟踪演练2 判断下列存在性命题的真假：
（1）有一个实数x0，使x
＋2x0＋3＝0；
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3）有些整数只有两个正因数．
解
（1）由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，存在性命题“有一个实数x0，使x
＋2x0＋3＝0”是假命题．
（2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．
（3）由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．
要点三 全称命题、存在性命题的应用
例3
（1）对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立．求实数m的取值范围；
（2）存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．
解
（1）令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝
sin（x＋
）≥－
，
又∵∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，
∴只要m<－
即可．
∴所求m的取值范围是（－∞，－
）．
（2）令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝
sin（x＋
）∈[－
，
]．
又∵∃x∈R，sinx＋cosx>m有解，
∴只要m<
即可，
∴所求m的取值范围是（－∞，
）．
规律方法 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
跟踪演练3
（1）已知关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
（2）若命题p：
＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围．
解
（1）关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，即4a－7≥0，
解得a≥
，∴实数a的取值范围为[
，＋∞）．
（2）由
＝sinx－cosx，
得
＝sinx－cosx，
∴
＝sinx－cosx，
即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，
∴sinx≥cosx.
结合三角函数图象，得2kπ＋
≤x≤2kπ＋
（k∈Z），此即为所求x的取值范围．
即p：
∀x∈[2kπ＋
，2kπ＋
]（k∈Z），有
＝sinx－cosx是真命题.
1．给出四个命题：
①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．
下列说法正确的是________．
①是假命题 ②是存在性命题 ③是真命题 ④是真命题
答案 ②③
解析 ①④为全称命题；②③为存在性命题；①②③为真命题；④为假命题．
2．下列命题中，不是全称命题的是________．
①任何一个实数乘以0都等于0；②自然数都是正整数；③每一个向量都有大小；④一定存在没有最大值的二次函数．
答案 ④
解析 ④是存在性命题．
3．下列存在性命题是假命题的是________．
①存在x∈Q，使2x－x3＝0；②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数．
答案 ②
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝（x＋
）2＋
>0恒成立．
4．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：
（1）凸n边形的外角和等于2π；
（2）有一个有理数x0满足x
＝3.
解
（1）∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.
（2）∃x0∈Q，x
＝3.
1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．
3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．
一、基础达标
1．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除0，都等于0.
其中全称命题的个数是________．
答案 3
解析 命题①②④都是全称命题．
2．下列命题中的假命题是________．
①∃x∈R，lgx＝0；②∃x∈R，tanx＝1；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.
答案 ③
解析 对于①，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于②，当x＝
时，tanx＝1，正确；对于③，当x＜0时，x3＜0，错误；对于④，∀x∈R,2x＞0，正确．
3．下列命题中存在性命题的个数是________．
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1.
答案 1
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个存在性命题．
4．下列全称命题中真命题的个数为________．
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f（x）＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
答案 3
解析 ①②③为真命题，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，故④为假命题．
5．给出以下命题：
①∀x∈R，有x4>x2；
②∃α∈R，使得sin3α＝3sinα；
③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0.
其中真命题的个数为________．
答案 1
解析 ①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ（k∈Z）时，sin3α＝3sinα成立，故为真命题；③中，由于抛物线开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，显然为假命题．
6．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________．
①存在一个α，使tan（90°－α）＝tanα；②存在实数x0，使sinx0＝
；③对一切α，sin（180°－α）＝sinα；④sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ.
答案 ①
解析 只有①、②两个选项中的命题是存在性命题，而由于|sinx|≤1，所以sinx0＝
不成立，故②为假命题．
又因为当α＝45°时，tan（90°－α）＝tanα，故①为真命题．
7.判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
（1）存在一条直线，其斜率不存在；
（2）对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有惟一解；
（3）存在实数x0，使得
＝2.
解
（1）是存在性命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
（2）是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有惟一解”，是假命题．
（3）是存在性命题，用符号表示为“∃x0∈R，
＝2”，是假命题．
二、能力提升
8．给出下列四个命题：
①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；
③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.
其中全称命题是________．
答案 ①②④
解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．
9．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，3]
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
10．下面四个命题：
①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；
③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为________．
答案 0
解析 x2－3x＋2>0，Δ＝（－3）2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．
当且仅当x＝±
时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．
对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．
4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
11．已知命题p：
∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：
∃x0∈R，x
＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．
解 ∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，
当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.
∃x0∈R，x
＋2ax0＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4（2－a）≥0.∴a≤－2或a≥1.
又p∧q为真，故p、q都为真，∴
即a≤－2或a＝1，
∴实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
12．已知函数f（x）＝x2－2x＋5.
（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立？
并说明理由；
（2）若存在实数x，使不等式m－f（x）>0成立，求实数m的取值范围．
解
（1）不等式m＋f（x）>0可化为m>－f（x），即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.
（2）不等式m－f（x）>0可化为m>f（x）．
若存在实数x使不等式m>f（x）成立，只需m>f（x）min.
又f（x）＝（x－1）2＋4，∴f（x）min＝4，∴m>4.
故所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．
三、探究与创新
13．若∀x∈R，函数f（x）＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解
（1）当m＝0时，f（x）＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；
（2）当m≠0时，二次函数f（x）＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝（4a）2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈[－1,1]．
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