13．D [①m＝1时，l≥m＝1且x2≥1，
∴l＝1，故①正确．
②m＝－
时，m2＝
，故l≥
.又l≤1，∴②正确．
③l＝
时，m2≤
且m≤0，则－
≤m≤0，∴③正确．]
14．B [①由面面垂直知，不正确；
②由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；
③由线面平行判定定理知，正确；
④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．
综上所述知，③，④正确．]
1.1.2 四种命题
【课时目标】 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．
1．四种命题的概念：
（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
（2）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
（3）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
2．四种命题的命题结构：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：
原命题：
若p成立，则q成立．即“若p，则q”．
逆命题：
________________________.即“若q，则p”．
否命题：
______________________.即“若綈p，则綈q”．
逆否命题：
__________________.即“若綈q，则綈p”．
一、选择题
1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是（ ）
A．若A∪B≠A，则A⊇B
B．若A∩B≠A，则A
B
C．若A
B，则A∩B≠A
D．若A⊇B，则A∩B≠A
3．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是（ ）
A．它的逆命题是真命题
B．它的否命题是真命题
C．它的逆否命题是假命题
D．它的否命题是假命题
4．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．
其中的真命题是（ ）
A．①②B．②③
C．①③D．③④
5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．0
6．命题“若函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是（ ）
A．若loga2≥0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．
8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是____________________________；逆命题是_______；否命题是________________________．
9．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．
其中是真命题的是________（填上你认为正确的命题的序号）．
三、解答题
10．命题：
“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
（1）正数的平方根不等于0；
（2）当x＝2时，x2＋x－6＝0；
（3）对顶角相等．
12．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
（1）实数的平方是非负数；
（2）等高的两个三角形是全等三角形；
（3）弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【能力提升】
13．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是（ ）
A．若f（x）是偶函数，则f（－x）是偶函数
B．若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数
C．若f（－x）是奇函数，则f（x）是奇函数
D．若f（－x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数
14．命题：
已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．
2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．
1.1.2 四种命题
知识梳理
1．
（1）结论和条件
（2）条件的否定和结论的否定 （3）结论的否定和条件的否定
2．若q成立，则p成立 若綈p成立，则綈q成立 若綈q成立，则綈p成立
作业设计
1．B [由a>－3⇒a>－6，但由a>－6
a>－3，
故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]
2．C [先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]
3．D 4.C
5．C [原命题和它的逆否命题为真命题．]
6．A [由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：
若loga2≥0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数．]
7．若x≤y，则x3≤y3－1
8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
9．②③
10．解 逆命题：
已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题
否命题：
已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题
逆否命题：
已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．
11．解
（1）原命题：
“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：
“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：
“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：
“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
（2）原命题：
“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：
“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：
“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：
“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
（3）原命题：
“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：
“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：
“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：
“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
12．解
（1）逆命题：
若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：
若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：
若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
（2）逆命题：
若两个三角形全等，则这两个三角形等高．
否命题：
若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：
若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．
（3）逆命题：
若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．
否命题：
若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．
逆否命题：
若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
13．B [命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]
14．解 逆命题：
已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：
已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：
已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
1.1.3 四种命题间的相互关系
【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．
1．四种命题的相互关系
2．四种命题的真假性
（1）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
（2）四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．
一、选择题
1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（ ）
A．若q不正确，则p不正确
B．若q不正确，则p正确
C．若p正确，则q不正确
D．若p正确，则q正确
2．下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是（ ）
A．能被2整除的整数，一定能被6整除
B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除
C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除
D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除
4．命题：
“若a2＋b2＝0（a，b∈R），则a＝b＝0”的逆否命题是（ ）
A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0（a，b∈R），则a2＋b2≠0
C．若a≠0，且b≠0（a，b∈R），则a2＋b2≠0
D．若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2＋b2≠0
5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
A．都真B．都假
C．否命题真D．逆否命题真
6．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：
①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．“已知a∈U（U为全集），若a∉∁UA，则a∈A”的逆命题是________________________________________，它是______命题．（填“真”“假”）
8．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题．（填“真”、“假”）
9．下列命题：
①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若
>
，则a三、解答题
10．已知命题：
若m>2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
11．已知奇函数f（x）是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）≥0，求证：
a＋b≥0.
12．若a2＋b2＝c2，求证：
a，b，c不可能都是奇数．
【能力提升】
13．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则
≥
；
②若正整数m和n满足m≤n，则
≤
；
③设P（x1，y1）是圆O1：
x2＋y2＝9上的任意一点，圆O2以Q（a，b）为圆心，且半径为1.当（a－x1）2＋（b－y1）2＝1时，圆O1与圆O2相切．
其中假命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．a、b、c为三个人，命题A：
“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：
“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？
请说明理由．
1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．
2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
1.1.3 四种命题间的相互关系
知识梳理
1．若q，则p 若綈p，则綈q 若綈q，则綈p
2．
（2）①相同 ②没有关系
作业设计
1．D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．]
2．D 3.D
4．D [a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]
5．D [原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]
6．D
7．已知a∈U（U为全集），若a∈A，则a∉∁UA 真
解析 “已知a∈U（U为全集）”是大前提，条件是“a∉∁UA”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U（U为全集），若a∈A，则a∉∁UA”．它为真命题．
8．假 9.①②
10．解 逆命题：
若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：
若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：
若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．
11．证明 假设a＋b<0，即a<－b，∵f（x）在R上是增函数，∴f（a）又f（x）为奇函数，∴f（－b）＝－f（b），
∴f（a）<－f（b），即f（a）＋f（b）<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.
12．证明 若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，
即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．
所以a，b，c不可能都是奇数．
13．B [①用“分部分式”判断，具体：
≥
⇔1－
≥1－
⇔
≤
，又a≥b>－1⇔a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题．
②用基本不等式：
2xy≤x2＋y2（x>0，y>0），取x＝
，y＝
，知本命题为真．
③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．]
14．解 能确定．理由如下：
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：
c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.
从而可知，b>a>c.
所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．
§1.2 充分条件与必要条件
【课时目标】 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断（证明）某些命题的条件关系．
1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的__________，q是p的__________．
2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p
q且q
p，则p是q的________________条件．
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．设p：
x<－1或x>1；q：
x<－2或x>1，则綈p是綈q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设集合M＝{x|0A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y
升级会员 