多元函数微分学讲义doc.docx
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多元函数微分学讲义doc
多元函数微分学
二、本章重点及难点
本章需要重点掌握以下几个方面内容：
•偏导数、全微分及其儿何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.
•隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.
•几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线.
•极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.
三、本章的基本知识要点
（一）平面点集与多元函数
1.任意一点A与任意点集E的关系.
1）内点.若存在点A的某邻域U（A）,使得U（A）uE,则称点A是点集E的内点。
2）外点.若存在点A的某邻域"（A）,使得U（A）cE=0，则称点A是点集E的
外点。
3）界点（边界点）・若在点A的任何邻域内既含有属于E得的点，又含有不属于£的点，则称点A是点集E的界点。
4）聚点.若在点A的任何空心邻域U°（A）内部都含有E中的点，则称点A是点集E
的聚点。
5）孤立点.若点AeE，但不是E的聚点，则称点人是点集E的孤立点。
2.儿种特殊的平面点集.
1）开集.若平面点集E所属的每一点都是E的内点，则称E为开集。
2）闭集.若平面点集E的所有聚点都属于则称E为闭集。
3）开域.若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E得有限折线相连接，则称E为开域。
4）闭域.开域连同其边界所成的点集称为闭域。
5）区域.开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。
3.A?
上的完备性定理.
1）点列收敛定义：
设｛4｝uR2为平面点列，%R2为一固定点。
若对任给的正数
存在正整数N,使得当n>N时，有乙6（/（气,功，则称点列｛4｝收敛于点玲，记作
lim—*或4-*,（〃—8）.
以T8
2）点列收敛定理（柯西准则）平面点列｛4｝收敛的充要条件是：
任给正数存在正整数N,使得当n>N时，对一切自然数知都有”（4,4+a）ve.
3）闭区域定理.设｛£>〃｝是A?
中的闭域列，它满足：
⑴Ogi，〃=l,2,...;（ii）=d（D）limd〃=0.
〃一>8
则存在唯一的点疑以=1,2,....
4）聚点定理.设EUR?
为有界无限点集，则E在A?
中至少有一个聚点。
5）有限覆盖定理.设DuV为一有界闭域，｛△“｝为一开域族，它覆盖了。
（即
Dup&）,则在｛△*中必存在有限个开域△”△2,它们同样覆盖了。
（即m
Du）oj=l"
4.二元函数
定义：
设平面点集DuR2,若按照某对应法则f,。
中每一点P（x,y）都有唯一确定的
实数z与之对应，则称/'为定义在。
上的二元函数（或称/为。
到R的一个映射），记作
f.D—R,
P—z,
且称。
为/的定义域，PwD所对应的z为f在点P的函数值，记作z=f（P）或
Z=f（x,y）。
（注：
其它多元函数与二元函数相似）。
（-）二元函数的极限。
1.定义设/为定义在DuR?
上的二元函数，n为。
的一个聚点，A是一个确定的实数,若对V£>0,都存在一个3〉0,使得PW（哭）c。
时，都有
则称/'在。
上当Pt耳时，以A为极限，记作lim/（P）=A。
有时简记为Pt片）
网质“。
当P、£分别用3y）,（x（）,y（））表示时，上式也可写作limf（x,y）=A.
（.F）t（."，o）
2.重要定理及推论.
1）lim/（P）=A的充要条件：
对于。
的任一子集E,只要藉是E的聚点就有Pt%
性。
g（P）“。
尸一>4）
PeE
2）
3）
设E[UD,丛是耳的聚点，若lim/（P）不存在，则lim/（P）也不存在。
Pt命Pt%
PeD
设耳、E’uD,气是它们的聚点。
若limf（P）=A，lim/（P）=A2，但Af，
PT%P—6
作E]PeE2
则limf（P）不存在。
4）
Pt%
代。
极限lim/（P）存在的充要条件是：
对于。
中任一满足条件的点列｛乙｝,它所P—%
ND
对应的函数列（/（P,）｝都收敛。
3.二元函数函数极限的四则运算.
若lim/（X,y）=A,limg（x,y）=B。
贝U
（ETbo）'7（ETwo）'7
1）期[/（3）±g（U）]=A±B；2）既f（x,y）g（矽）=A.8;
3）lim=£（眼0）.
（x,），）T（*）,｝，（>）g（x,y）B
4.累次极限.
1）定义:
对于函数f（x,y）,若固定y工yo，limf（x,y）=gy）存在，且limp（y）=A
X—>工0）’T）‘O
也存在，则称A为f（x,y）在）处先对*后对y的累次极限，记为limlim/（x,y）,类似可定义limlim/（尤,y）。
）f0H（>0
2）重要定理及推论.
%1若limf（x9y｝与limlimf（x,y）（或limlimf（x,y｝）都存在，则它们
（x,y）T（.s），o）XT*y-*>by-^y0刀—命
相等；
%1若lim/（x,y）,limlimf（x,y｝和limlimf（x,y｝都存在，则三者相等;
（X，）'）T（%，）'O）XT%yT〉'oXT*
%1若limlimfix,y）与limlimf（x,y）都存在但不相等，贝Ulim/（x,y）不
XTX（>y-»y0>'-*>0XT心（x，y）T（吟,）'O）
存在。
（%1）二元函数的连续性
1.定义设f为定义在点集DuR2上的二元函数，也D,若对Vr>0,都存在一个
3>0,只要PcU（E）,$）c。
，就有
则称r关于集合。
在点4连续。
若f在。
上任何点都连续，则称f为D上的连续函数。
若lim[/'3o，），）-f（%yo）]=°，则称在4）=（尤0，允）处关于>连续。
同理可定义关于工连续。
2.复合函数的连续性定理设二元函数u=（p（x,y）和口="（工,）；）在Ad%%）点连续，函数z=/（w,v）在点（以o，u°）处连续，其中^（x0,y0）,v0=^（x0,y0）,则复合函数z=f（仞（x,y）,j/（x,y））在点藉连续。
3.有界闭域上连续函数的性质.
1）若函数/,在有界闭域DuV上连续，则./.在。
上有界，且能取得最大值与最小值；
2）若函数f在有界闭域DuV上连续，则f在。
上一致连续；
3）若函数/在有界闭域DuR，上连续，对任意的1、P*D,且/（£）
4.〃元函数唯一存在与连续可微性定理。
若1）函数%"，・・・，3）在以P（«玖.."?
寸）为内点的〃+1维空间区域。
内连续；
2）偏导数氏,玲,…,F；,F；在。
内存在且连续；
AiA2A/ty
3）此,...,$>。
）=0；
4）F；0。
必莉；
则在p的某一邻域u（p）内，方程尸3，易,.."〃,力=o唯一地确定了一个定义在0x；）,x；）,...,x?
y°）的邻域（7（。
）上的n元连续函数y=f（x^x2,...,xn）使得：
%1（叫，易,…，尤〃，/。
],邑,…，尤〃））£U（P）,3|,&，…，天）£U（Q）；
F（xI,x2,...,xM,/（xpx2,...,xn））=0,（x1,x2,...,xn）GU（Q）,%=fU：
）,
—I
%1>=以勺如.."〃）在U（Q）内连续偏导数：
4,4—4而且九=-与，
5.由方程组确定的隐函数（隐函数组定理）
若：
1）F（x,y,u,v）与G（x,y,“,v）在以点^（x0,y0,w0,v0）为内点的区域VuR4内连续;
2）F3o，%,%Vo）=°，G3o，yo，"o，Vo）=°（为初始条件）;
3）在V内EG具有一阶连续偏导数;
4）
则在点气的某一（四维空间）邻域U（£）uV内，方程组
个二元隐函数u=/（x,y）,v=g（x,y）,使得:
①w0=f（xQ,%）,Vo=g（x0,y（））,旦当（x,y）EU（0）时,
（x,y,f（x,y）,g（x,y））EU（R）,
F（x,y,jf（x,y）,g（;r,>））三0,
GO,y,f（x,y）,g（x,y））=0,
②f（x,y）,g（x,y）在U（0）内连续；
③f（x,v）,g（x,y）在U（0）内有一阶连续偏导数，且
1）
u（x,y）,v（x,y）均是有连续的偏导数；2）-丰0.
o（x,y）
则此函数组可确定唯•的具有连续偏导数的反函数组
zx，、口3（"，u）°3，）'）1
工=尤（",u）,,，=y（",u）,且———-.—一-二1.
o（x.y）d（w.v）
（%1）多元微分学的应用
1.泰勒定理
1）若/（x,y）在点女（气,无）的邻域U（n）内存在〃+1阶连续的偏导数，则
V0）+/?
）*+#）£U（g））,有
/（^）+h，）‘O+k）=f（x°,y°）+（/?
g+AW），（x（）,y（））oxoy
1d73、2—、
+福（/2^_+*丁）/（尤0，乂））+…
2!
oxdy
+=（"g+*g）〃/（x（），为）
n!
oxoy
iaA
+—（"了+*亍尸'/3o+9/z,y°+仞：
）
（〃+1）!
dxdy
其中（晾+方""咤W*计灯
2）当吒=0,乂）=0时，相应二元函数/（x,y）的麦克劳林公式为
f（x,y）=f（。
°）+（工#+y（0,。
）+…dxdy
iaa
+-U—+y—）7（0,0）
n!
oxay
iaA
（〃+l）!
oxdy
2.极值
1）定义设函数z=/（x,y）在点气=3°,无）的某邻域U（R））内有定义，如果
V（x,y）eU（PQ）满足/（x,y）/（x0,y0））,则称f（xQ,%）为/（x,y）
的极大值（极小值），此时点丛称为f（x,y）的极大值点（极小值点）。
极大值，极小值统称极值。
2）函数/（x,y）在点藉的偏导数存在，则f在点藉取得极值的必要条件为：
f（xo，y°）=fQo，%）=°，满足上述条件的点R）称为稳定点或驻点。
3）极值的充分条件：
设函数f（x,y）在点气=（x。
％）的某邻域。
（女）内具有二阶连续的偏导数，且兄是/的稳定点。
记A=兀（鸟），眼点M）,C=《（*）则
%1当B2-AC<0时，函数/•在％取得极值，若A<0,则取得极大值，若A>0,则取得极小值；
%1当B2-AC>0时，函数/在点E）不取极值；
%1当B2-AC=0时，不能判断/在点《是否极值；
3.条件极值
1）求条件极值的方法有两种：
一种将条件极值化为无条件极值的问题来求解；并一种是用拉格朗日乘数法求解。
2）拉格朗日乘数法求二元函数z=f（x,y）在约束条件（p（x,y）=0下的极值步骤如下：
%1作相应的拉格朗日函数
L（x,y,2）=f（x9y）+A（p（x,y）.
%1令L=L=L,=0.即
•iya
+y）=0,
<人3,力+/1%（尤,），）=0,（p（x,y）=0.
%1求解上述方程组，得稳定点P.二（尤°，%）o
%1判定该点是否为条件极值：
如果是实际问题，可由问题本身的性质来判定，如不是实际问题，可用二阶微分判别。
3）对于条件极值的一般情形，求函数z=/（xpx2,...,x„）在约束条件
们（工|,易，...,工〃）=0,
代〃（知易，…，£）=°・
（其中f,（P\,（（）2,…，Qn均具有一阶连续偏函数，且雅可比（JaCObi）矩阵
的秩为m）下的极值步骤如下:
①作拉格朗日函数
£=«/+初+部2+•••+〃广
②分别令4=Lx=...=LXn-=4=...=M=0.得到相应的方程组。
%1解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定。
（%1）多元函数几何应用
1.平面曲线的切线与法线
平面曲线由方程F{xyy）=Q给出，它在点*二（气,），0）的切线与法线的方程为:
切线方程：
孩如月）3-工0）+尤（％月）3-为）=。
，
法线方程：
F'y（如y（））（x-x0）-F'x（x0,y（））（y-y（））=0。
2.空间曲线的切线与法平面
1）空间曲线乙由参数方程==y（，）,z=z（f）,，E[a,/?
],表出，
假定&o），yQo），z0）不全为零，则曲线L在K=（x0,No，z°）处的切线方程式为:
尤—与二y）'o=z—z。
.
尤（撮）"（））z'Qo）'
曲线L在£）=（%,）b，z°）处的法平面方程式为：
x（r0）（x-x0）+y\tQ）（y-光）+z'（r0）（z-z°）=0.
[F（x,y,z）=0
2）空间曲线乙由方程式组'给出.
[G（x,y,z）=O
业3（g,G）d（F,G）3（F,G）.右,人
当:
T,「中至少一个不为零时,
3（x,y）d（z,x）3（y,z）
曲线L在点丛的切线方程为：
",G）l
3（y,z）
V_（）"%）=（z-z°）3（F,G）-~3（Kg7~，3（z,x）*d（x9y）*
曲线L在点藉的法平面方程为:
3（F,G）
3（y,z）
.（、土凯凡G*（.9（F,G）.（、_口
kO—尤o）+—扁3—％）+—k（z-Zo）=O。
3（2,x）3（x,y）
3.空间曲线的切平面与法线
设曲面由方程F（x,j,z）=0给出，e=（x0,y0,z0）是曲面上一点，并设函数F（x,y,z）在
偏导数在该点连续，且不同时为零，则
曲而上点K处的切平面方程为：
F；（£）3fo）+Z（*））3-yo）+E/）（z—Zo）=O,
曲面上点£）处的法线方程为：
xf（）二二Z—Z。
尺（£））一兀（为一《（£）
四、基本例题解题点击
【例1】设f（x,y）是区域D:
x问极限
lim［/（x,j）+（x-l）ey］是否存在?
若存在，试求其值。
—8
y—>8
【提示】f（x9y）是k次齐次函数是指f（rx9ry）=rkf（x9y）【解】令x=rcos^,y=rsinO□同时设|/（x,y）|因limrkM=0,故limf（x,y）=lim/（rcos^,rsinff）=0.
r—>0x—8,t0'
y—>
从而lim[/（x,y）+（x-]）ey]=lim（x-\）ey=-l.
XT8XT8
y—8
【例2】证明/（x,y）=7M在点（°，0）两个偏导数存在，但在点（°，°）不可微。
【证明】显然，f（0,0）=lim似,0）2（。
。
）二°,"）,0）=阮些上些二0。
xtOx）—0y
因此f（x,y）=项丽在点（0,0）两个偏导数存在旦等于零.若/（x,y）=J回在点（0,0）可微，则有
f3,y）-f（0,0）=f（0,0）x+/'（0,0）y+o（7x2+/）.
即f（x,y）=厢］二。
（山2+尸）（（x,y）-o）,但如果沿直线y=x趋于零，有
故f（x,y）=7m丰。
（JF+y2）（（x,y）T0）,因此/（x,y）在点（0,0）不可微。
【证明］设/=与，贝】Jg=心项）-2xn-3yf,（t）^=xn~2f\t）.
疔dxdy
于是x^-+2y=ivcnf（t）-2xn~2yf（t）+2x,l~2yf\t）=nxnf（t）-nz。
oxdy
【例4】设w=/（r）,其中尸=y]x2+y2+z2和f为可微分两次的函数.证明：
筋=F（r）,
其中△〃=莫+宾+典，△为拉普拉斯算子.dx3）广由
【提示】计算△〃肘要计算三个二阶偏导数，而u=/（r）中x,〉,z地位是一样的，故可以考虑利用对称性，从而减少计算量。
r】Y1『2_2
【证明】—=/（r）-，r=/'（尸）=+/（〃一.由对称性即得
dxrdxrrd2uy2次r2-y2d2uz2”r2-z2
于是
」d2ud2ud2u”，,、c”/、1—、
△"=▽+▽+▽=/3）+2/（r）-=F（r）.
。
）广3z~r
【例5】设x=x（y,z）,y=y（x,z）,z=z（x,y）为由F（x,y,z）=。
所定义的函数.证明
dxdydz——=-1.
dydzdx
Sr,志F
【证明】由H（x（y,z）,y,z）=0得兀冬+兀=0,于是有：
=—T，
dydyFx
同理可得
dyF：
dzF；
dzF；'dxFz
注意的是上式一切（如％,Z。
）,FOo,No,z（））=o成立.因此
dxdydzFF：
Fx
dydzdxFxFyFz
【例6】设z=z（x,y）为由方程组
x=el,+v,y=eu~\z=uv
（其中”,u为参数）所定义的函数，求当w=0,v=0时也和』七.
【证明】dx=ell+v（du+dv）,dy=el,~v（du-dv）,dz=udv+vdu
d'z=adv2+vdu2+2dudv.
当w=0,v=0时,
dx=du+dv.dy=du一dv.dz=0,d'z=2dudv,
因此
解出血,dv得也=—（dx+dy\dv~—（cbc-dy）,
d2z=2dudv=—（dx2-dy2）.
【例7】求函数f=x2+y2+z2.在ox+0y+cz=l下最小值。
【解】作拉格朗日函数
L（x,y,z,X）=x2+y2+z2-X^ax+by+cz-1）.
令L=L=乙；=上=0,即
2尤+人。
=0
2y+A/?
=0
2z+Ac=0
ax+by+cz=1
解得唯一驻点
cihc.-2
X=V=Z=yr=
a2+Z?
2+c2,a2+Z?
2+c2，a2+b2+c2'a2+/?
2+c2
将它们代入/•二/+y2+z2得f=-_L_70
q~+/t+cZ
因此/=x2+y2+z2.ffiax+by+cz=1卜'最小值为/nin=―=——。
a+歹+
【例8】设f（x,y）在全平面上二次可微旦恒不为零，证明f（x,y）=g（x）h（y）的充分必要条件是/（X,y）满足方程
f'fyX=fX'fy
【证明】必要性是显然的.现在证明充分性，由于/（x,y）在全平面上二次可微且恒不等于零,不妨设f（x9y）>0,令F（x9y）=Inf（x9y）,则有
i一了'％一一7一
下面证明F（x,y）=In/（x,y）=p（x）+q（y）,实际上由政.=。
可得F：
=p（x）,因此
In/（x,y）=F（x,y）=Jp（x）dx+q（y）.
这说明结论成立.■
【例9】求函数z=z（x,y）一阶和二阶的偏导数，其中x+y-^z=e~.
【证明】等式两边微分，得
dx+dy+dz=■dz①
故有dz=——（cbc+dy）=（dx-^-dy）.
e"-1x+y+z-1
于是，当=g=——!
——.再将①式微分一次，得d2z=ezd2z+ezdz1.
oxoyx+y+z-l
故有d~z-——-—（也尸=一~（dx~+2dxdydy~\
e~-l/-1）
于是兰=业=兰=__=__..
3x2dxdydy2&一1］（x+y+z-l）'
【例10】设可微函数z=f（x,y）对任意实数lU>0）满足f（tx,ty）=tf（x,y），点藉（1,-2,2）是曲面上一点，且人（1,-2）=4.求此曲面在点［）处的切平面方程。
【提示】/（x,y）是一次齐次函数，弄清楚齐次函数的导函数的特征很重要。
【解】由已知，对任意的点（气,为）有，/*（次0，。
'0）=〃'（工0，）'0）（*）
将（*）两边对［求导得：
工0人（■）,/%）+%人（、"%）=/（如％）（**）在（**）中令r=1得：
xofx（xo,y0）+yjy（x0,y0）=/（x0,y0）
故当（％%）=（1,—2）时，（-2）x/；.（1,-2）=/（I,-2）-1xfx（1,-2）=2-4=-2.
故40-2）=i.
令F（x,y9z）=f（x,y）-z,则法线方向为〃=（/v,/v,-l）.
故£）处法线方向为勺=（4,1,—1）.
从而曲面在点弁处的切平面方程为4（x—l）+（y+2）—（z—2）=0.
即4x+y-z=0.
五、扩展例题解题点击
【例1】设/（x,y）在6=｛3,），）：
尸+｝；2V1｝上定义，若f（x,o）在点x=o处连续，而且/；（x,y）在G上有界，则/（x,y）在（0,0）处连续。
【证明】由中值定理，得
f（i,y）-f3,0）=/Q,&）（y-0）（其中00,力）
由f,（x,y）在G上有界,知BM>0,I/；（x,y）\:
.\/£>0,取々=£当Iy-01<々时有2M
（1）
l/tey）-/（-x,o）|由J'3,o）在工=0处连续，知3^>0,当|、一0|<如时，有
（2）
|/（^0）-/（0,0）|<|.
取3=min{§,③2}，当|工一0|<$,|y-O|vS时，由
（1）,
（2）得
I/Uy）-/（0,0）|<|/（x,y）-f（x90）|
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