18学高中数学第二章函数章末复习提升学案新人教B版必修1.doc

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第二章函数

1.函数的概念与映射

函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应.对于函数与映射都应满足：

①集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

2.函数表示法

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：

必须注明函数的定义域.图象法：

描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解析式，观察函数特征.列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

分段函数：

由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组.

3.函数性质

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势.

4.函数最大（小）值

求函数最值问题，常利用二次函数的性质（配方法）；利用图象；或利用函数单调性，如果函数f（x）在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则函数y＝f（x）在x＝b处有最大值f（b），最小值为f（a）与f（c）中的较小者.

5.函数的零点与方程根的关系及运用

函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，也就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点.

推而广之，方程f（x）＝a的实数根⇔函数y＝f（x）的图象与直线y＝a交点的横坐标.方程f（x）＝g（x）的实数根⇔函数y＝f（x）和y＝g（x）图象交点的横坐标.

题型一　函数的概念与性质

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合.

例1　已知函数f（x）＝是奇函数，且f

（2）＝.

（1）求实数m和n的值；

（2）求函数f（x）在区间[－2，－1]上的最值；

解　

（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴＝－＝.

比较得n＝－n，n＝0.

又f

（2）＝，∴＝，解得m＝2.

因此，实数m和n的值分别是2和0.

（2）由

（1）知f（x）＝＝＋.

任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）

＝（x1－x2）·.

∵－2≤x1＜x2≤－1时，

∴x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0，

∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.

∴函数f（x）在[－2，－1]上为增函数，

因此f（x）max＝f（－1）＝－，f（x）min＝f（－2）＝－.

跟踪演练1　

（1）函数y＝的定义域为（　　）

A.（－∞，1） B.（－∞，0）∪（0,1]

C.（－∞，0）∪（0,1） D.[1，＋∞）

（2）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝________.

答案　

（1）B　

（2）－

解析　

（1）要使函数有意义，则

即x≤1且x≠0.

（2）由于当0≤x≤1时解析式已知，

且已知f（x＋1）＝2f（x），

可设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，整体代入求解.

所以f（x＋1）＝（x＋1）[1－（x＋1）]＝－x（x＋1）.

又因为f（x＋1）＝2f（x），

所以f（x）＝＝－.

题型二　函数图象及其应用

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握函数的性质，有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.

例2　对于函数f（x）＝x2－2|x|.

（1）判断其奇偶性，并指出图象的对称性；

（2）画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.

解　

（1）函数的定义域为R，关于原点对称，

f（－x）＝（－x）2－2|－x|＝x2－2|x|.

则f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函数.

图象关于y轴对称.

（2）f（x）＝x2－2|x|＝

画出图象如图所示，

根据图象知，函数f（x）的最小值是－1.

单调增区间是（－1,0]，[1，＋∞）；

减区间是（－∞，－1]，（0,1）.

跟踪演练2　对于任意x∈R，函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f（x）的最小值是__________.

答案　2

解析　首先应理解题意，“函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个.

如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A（0,3），B（1,2），C（5,8）.

从图象观察可得函数f（x）的表达式：

f（x）＝

f（x）的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B（1,2），所以f（x）的最小值是2.

题型三　二次函数的有关问题

二次函数是函数中的基础内容，它虽简单却具有丰富的内含和外延，可以以此来研究函数的单调性、奇偶性、最值等问题，是重要的函数模型.

例3　已知g（x）＝－x2－3，f（x）是二次函数，当x∈[－1,2]时，f（x）的最小值是1，且g（x）＋f（x）是奇函数，求f（x）的表达式.

解　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

则g（x）＋f（x）＝（a－1）x2＋bx＋c－3为奇函数，

故有（a－1）x2＋bx＋c－3＝－[（a－1）x2－bx＋c－3]，

∴（a－1）x2＋bx＋c－3＝－（a－1）x2＋bx－（c－3）.

∴解得

∴f（x）＝x2＋bx＋3＝（x＋）2＋3－b2，

∵f（x）在区间[－1,2]上的最小值为1，

∴需分下列3种情况讨论：

①当－1≤－≤2，即－4≤b≤2时，

3－＝1，b2＝8，b＝±2，

∵b＝2＞2，∴b＝－2，

∴f（x）＝x2－2x＋3.

②当－＞2，即b＜－4时，f（x）的最小值是f

（2）.

∴f

（2）＝7＋2b＝1，b＝－3，舍去.

③当－＜－1，即b＞2时，f（x）的最小值是f（－1）.

∴f（－1）＝4－b＝1，b＝3.

∴f（x）＝x2＋3x＋3.

综上所述，f（x）＝x2－2x＋3，或f（x）＝x2＋3x＋3.

跟踪演练3　已知函数f（x）＝x2－x＋.

（1）写出函数f（x）图象的顶点坐标及单调递增、递减区间；

（2）是否存在实数a，当a＞1时，f（x）的定义域和值域都是[1，a]，若存在，求出a，若不存在，说明理由.

解　

（1）∵f（x）＝x2－x＋

＝（x2－2x＋3）＝（x－1）2＋1，

∴f（x）的顶点坐标为（1,1），

单调递减区间是（－∞，1]，

单调递增区间是[1，＋∞）.

（2）假设存在实数a满足条件.

∵x＝1是f（x）＝x2－x＋的对称轴，

故[1，a]是函数f（x）的递增区间且

∵f（a）＝a2－a＋，∴a2－a＋＝a，

∴a＝1或a＝3.又a＞1，∴a＝3.

∴存在实数a＝3，使f（x）的定义域和值域均为[1，a].

题型四　函数与方程的思想

函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到相互转化，多角度解决问题的目的.在本章中函数的零点问题，函数性质的应用，求参数的范围都应用了函数与方程思想.

例4　已知函数f（x）＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数，求实数a的取值范围.

解　函数f（x）＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数等价于方程x2－x＋a＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况.

函数f（x）＝x2－x＋a图象的对称轴为x＝，

∴方程x2－x＋a＝0不可能有两个负实根，

∴当方程x2－x＋a＝0无实根时，Δ＝1－4a＜0，

∴a＞.

设A＝，

则∁RA＝，

即满足题意的实数a的取值范围是.

跟踪演练4　设a∈R，当a取何值时，不等式x2＋2x－a＞1在区间[2,5]上恒成立？

解　x2＋2x－a＞1⇔a＋1＜x2＋2x.

令f（x）＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，x∈[2,5]，

则f（x）min＝f

（2）＝4＋4＝8.

∴a＋1＜8.∴a＜7.

∴当a＜7时，x2＋2x－a＞1在[2,5]上恒成立.

1.函数单调性的判定方法

（1）定义法.

（2）直接法：

运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f（x），g（x）的单调性判断－f（x），，f（x）＋g（x）的单调性等.

（3）图象法：

根据函数的图象判断函数的单调性.

2.二次函数在闭区间上的最值

对于二次函数f（x）＝a（x－h）2＋k（a＞0）在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：

（1）若h∈[m，n]，则ymin＝f（h）＝k，

ymax＝max{f（m），f（n）}；

（2）若h∉[m，n]，则ymin＝min{f（m），f（n）}，

ymax＝max{f（m），f（n）}（a＜0时可仿此讨论）.

3.函数奇偶性与单调性的差异

函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f（－x）＝－f（x）（或f（－x）＝f（x）），才能说f（x）是奇函数（或偶函数）.

4.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用根的存在性，可用来求参数的取值范围.

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