高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面向量 理.docx

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高三数学专题复习专题二三角函数与平面向量理

2019年高三数学专题复习专题二三角函数与平面向量理

真题体验·引领卷

一、选择题

1．（2015·全国卷Ⅰ）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（　　）

A．－B.

C．－D.

2．（2014·全国卷Ⅰ）若tanα>0，则（　　）

A．sinα>0B．cosα>0

C．sin2α>0D．cos2α>0

3．（2015·全国卷Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（　　）

A.＝－＋

B.＝－

C.＝＋

D.＝－

4．（2014·江西高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a＝2b，则的值为（　　）

A．－B.

C．1D.

5．（2014·四川高考）平面向量a＝（1，2），b＝（4，2），c＝ma＋b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝（　　）

A．－2B．－1

C．1D．2

6．（2015·全国卷Ⅰ）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

二、填空题

7．（2015·天津高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．

8．（2015·全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．

9．（2015·浙江高考）已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－（xe1＋ye2）|≥|b－（x0e1＋y0e2）|＝1（x0，y0∈R），则x0＝__________，y0＝________，|b|＝________.

三、解答题

10．（2015·全国卷Ⅱ）在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

11．（2015·天津高考）已知函数f（x）＝sin2x－sin2，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

12．（2015·山东高考）设f（x）＝sinxcosx－cos2.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

专题二　三角函数与平面向量

经典模拟·演练卷

一、选择题

1．（2015·德州模拟）设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝（　　）

A．1B．2

C．3D．5

2．（2015·吉林实验中学三模）已知向量a＝（sinθ，－2），b＝（1，cosθ），且a⊥b，则sin2θ＋cos2θ的值为（　　）

A．1B．2

C.D．3

3．（2015·宁波三模）已知函数f（x）＝2sin＋1（x∈R）图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈（1，2），则函数f（x）的最小正周期为（　　）

A.B.

C.D.

4．（2015·河北质检）已知函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，下列关于y＝g（x）的说法正确的是（　　）

A．图象关于点中心对称

B．图象关于x＝－轴对称

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

5．（2015·南昌调研）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是（　　）

A．3B.C.D．3

6．（2015·湖州模拟）已知偶函数f（x），当x∈时f（x）＝xsinx，设a＝f（cos1），b＝f（cos2），c＝f（cos3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．aa>b

C．c>b>aD．a>c>b

二、填空题

7．（2015·杭州高级中学模拟）将函数f（x）＝2sin（ω>0）的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，则ω的最大值为________．

8．（2015·德州模拟）已知向量与的夹角为60°，且||＝||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

9．（2015·嘉兴一中模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ac＝b2－a2，A＝，则B＝________．

三、解答题

10．（2015·武汉模拟改编）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ

0

π

2π

x

Asin（ωx＋φ）

0

5

－5

0

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ>0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）图象的一个对称中心为，求θ的最小值．

11．（2015·舟山中学调研）在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acosA＝ccosB＋bcosC.

（1）求cosA的值；

（2）若a＝2，cosB＋cosC＝，求边c.

12．（2015·杭州学军中学模拟）已知函数f（x）＝sinωx·sin－cos2ωx－（ω>0），其图象两相邻对称轴间的距离为.

（1）求ω的值及f（x）的单调增区间；

（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝0，若向量m＝（1，sinA）与向量n＝（3，sinB）共线，求a，b的值．

专题二　三角函数与平面向量

专题过关·提升卷

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题

1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，＋＝（　　）

A.B.

C.D.

2．已知向量a＝（2，1），b－a＝（－3，k2－3），则k＝2是a⊥b的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

3．已知|a|＝4，|b|＝1，且〈a，b〉＝π，当|a＋xb|取得最小值时，则实数x的值为（　　）

A．1B．－1

C．2D．－2

4．已知sinα－cosα＝，则2cos2＝（　　）

A.B.

C．－D．－

5．（2015·山东高考）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝（　　）

A．－a2B．－a2

C.a2D.a2

6．（2015·慈溪中学模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，A（－1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是（　　）

A．[4，6]

B．[－1，＋1]

C．[2，2]

D．[－1，＋1]

7．（2015·四川高考）设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝（　　）

A．20B．15C．9D．6

8．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c）·（b－c）≤0，则|a＋b－c|的最大值为（　　）

A.－1B．1C.D．2

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题

9．已知sin＋sin＝，且θ∈，则cos＝________．

10．已知函数f（x）＝2cos（x＋φ），且f（0）＝1，f′（0）>0，将函数f（x）的图象向右平移个单位，得函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）在[0，π]上的最小值是________．

11.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，＝λ，＝（1－λ），则·的取值范围是________．

12．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．

13．（2015·南京模拟）已知函数y＝cosx与y＝sin（2x＋φ）（0≤φ<π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．

14．（2015·义乌中学二模）已知G为△ABC的重心，令＝a，＝b，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且＝ma，＝nb，则＋＝________．

15．（2015·湖北高考）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北测一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

三、解答题

16．（2015·高考）已知函数f（x）＝sincos－sin2.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间[－π，0]上的最小值．

17．（2015·广东高考）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sinx，cosx），x∈.

（1）若m⊥n,求tanx的值；

（2）若m与n的夹角为，求x的值．

18．（2015·浙江高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

19.如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．

（1）若OM＝，求PM的长；

（2）若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：

当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？

并求出面积的最小值．

20．（2015·瑞安中学调研）已知m＝（sin（2π－x），cosx），n＝，

f（x）＝m·n.

（1）求y＝f（x）的单调递增区间和对称中心；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有f（B）＝，b＝7，sinA＋sinC＝，求△ABC的面积．

专题二　三角函数与平面向量

真题体验·引领卷

1．D　[原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.]

2．C　[因tanα＝>0，所以或sin2α＝2sinαcosα>0.故选C.]

3．A　[∵＝3，∴－＝3（－），即4－＝3，∴＝－＋.]

4．D　[由正弦定理得＝，由已知得＝，代入上式得结果为2×－1＝.]

5．D　[由于a＝（1，2），b＝（4，2），

所以c＝ma＋b＝（m＋4，2m＋2），

又由于c与a的夹角等于c与b的夹角，

所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，也就是＝，

则＝，解得m＝2.]

6．D　[由函数的图象知＝－＝1，∴T＝2，

因此xA＝－＝－，xB＝＋＝.

所以f（x）的单调减区间为，k∈Z.]

7．8　[∵cosA＝－，0

S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，

∴bc＝24，又b－c＝2，

∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，

a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，

∴a＝8.]

8．（－，＋）　[如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，

作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点（不与端点重合），且使∠BAD＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形．过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，∠APC＝30°，

由正弦定理，＝，则BP＝＋.

在△QBC中，∠QCB＝30°，∠BQC＝75°，

由正弦定理，＝，则BQ＝＝－.

所以AB的取值范围为（－，＋）．]

9．1　2　2　[∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝（1，0，0），b＝（m，n，t）．

由题意知解得n＝，m＝，

∴b＝.

∵b－（xe1＋ye2）＝，

∴|b－（xe1＋ye2）|2＝＋＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝＋（y－2）2＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，＋（y－2）2＋t2取到最小值．此时t2＝1，故|b|＝＝2.]

10．解　

（1）S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，

S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.

由正弦定理可得＝＝.

（2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，

由

（1）知AB＝2AC，所以AC＝1.

11．解　

（1）f（x）＝－

＝－cos2x＝sin2x－cos2x

＝sin

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）因为f（x）在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f＝－，f＝－，f＝，

所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为－.

12．解　

（1）f（x）＝sin2x－

＝sin2x－＋sin2x＝sin2x－.

由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间是（k∈Z）；

单调递减区间是（k∈Z）．

（2）由f＝sinA－＝0，得sinA＝，

由题意知A为锐角，所以cosA＝.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，

可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，

即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．因此bcsinA≤.

所以△ABC面积的最大值为.

经典模拟·演练卷

1．A　[∵|a＋b|＝，|a－b|＝，

∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6，

两式相减得：

4a·b＝4，∴a·b＝1，故选A.]

2．A　[由a⊥b，知a·b＝0，∴sinθ－2cosθ＝0，则tanθ＝2.

故sin2θ＋cos2θ＝＝＝1.]

3．B　[∵f（x）的图象关于直线x＝π对称，

∴ωπ－＝kπ＋，则ω＝k＋，k∈Z.

又1<ω<2，因此取k＝1，则ω＝，

所以f（x）的最小正周期T＝＝.]

4．C　[依题意，y＝g（x）＝sin，

令2x＋＝kπ，k∈Z，A不满足，A错误，

当x＝－时，g＝sin0＝0，则图象不关于x＝－对称，B错．

当－≤x≤－时，－≤2x＋≤0，因此C正确．]

5．C　[由c2＝（a－b）2＋6得c2＝a2＋b2－2ab＋6.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，∴ab＝6，

∴S＝absinC＝×6×＝.]

6．B　[当x∈时，f′（x）＝sinx＋xcosx>0.

∴f（x）在区间上是增函数，

由f（x）为偶函数，得y＝f（x）在区间上是减函数．

∵cos1＝－cos（π－1），则f（cos1）＝f

又y＝cosx在区间上是减函数，且3>π－1>2，

则－1

所以f（cos3）>f[cos（π－1）]>f（cos2），即c>a>b.]

7．2　[依题意g（x）＝2sinωx，∵y＝g（x）在上为增函数，

∴0≤ωx≤≤，则ω≤2，故ω的最大值为2.]

8．1　[由＝－且⊥，＝λ＋，

∴·＝（λ＋）·（－）＝0.

因此2－λ2＋（λ－1）·＝0，（*）

又〈，〉＝60°，||＝||＝2.

故（*）式化为4－4λ＋（λ－1）×2×2cos60°＝0，解之得λ＝1.]

9.　[由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA.

∴a2－b2＝c2－bc.又ac＝b2－a2，

∴bc＝ac＋c2，即a＝b－c.

由正弦定理，得sinA＝sinB－sinC

又sinC＝sin＝cosB＋sinB

从而＝sinB－cosB－sinB＝sinB－cosB.

∴sin＝，在△ABC中，B－＝，则B＝.]

10．解　

（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

ωx＋φ

0

π

2π

x

π

Asin（ωx＋φ）

0

5

0

－5

0

且函数表达式为f（x）＝5sin.

（2）由

（1）知f（x）＝5sin，根据图象变换，得

g（x）＝5sin.

因为y＝sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.

令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.

由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，

令＋－θ＝，得θ＝－，k∈Z.

由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.

11．解　

（1）由正弦定理及3acosA＝ccosB＋bcosC

得3sinAcosA＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin（B＋C）

∵B＋C＝π－A，∴3sinAcosA＝sinA.

又sinA>0，从而cosA＝.

（2）∵A∈（0，π），cosA＝，

∴sinA＝，

又∵cosB＋cosC＝，

∴cos[π－（A＋C）]＋cosC＝，

整理得cosC＋sinC＝，①

又sin2C＋cos2C＝1，②

由①，②联立，得sinC＝，

由＝，得c＝＝＝3.

12．解　

（1）f（x）＝sinωxcosωx－－

＝sin2ωx－cos2ωx－1＝sin－1.

因为函数图象两相邻对称轴间的距离为.

∴f（x）的最小正周期T＝π，

又T＝，

∴ω＝1，从而f（x）＝sin－1，

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

∴函数f（x）的单调增区间为，k∈Z.

（2）由

（1）知：

f（x）＝sin－1所以sin＝1，

因为0

所以2C－＝，即C＝，

由已知m∥n可得sinB－3sinA＝0，

在△ABC中，由正弦定理得b－3a＝0，①

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，又已知c＝，

所以7＝a2＋b2－ab，②

由①②联立，解得a＝1，b＝3.

专题过关·提升卷

1．A　[＋＝－（＋）

＝－（＋＋＋）

＝－（＋）＝（＋）＝，故选A.]

2．A　[由a＝（2，1），b－a＝（－3，k2－3），得b＝（－1，k2－2）．

又a⊥b⇔a·b＝－2＋k2－2＝0，

∴k＝±2，故“k＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．]

3．C　[∵|a|＝4，|b|＝1，〈a，b〉＝π，

∴a2＝16，b2＝1，a·b＝|a||b|·cosπ＝－2.

则|a＋xb|2＝a2＋x2b2＋2xa·b＝16＋x2－4x＝（x－2）2＋12≥12

当且仅当x＝2时，|a＋xb|2有最小值．

∴x＝2时，|a＋xb|取得最小值．]

4．B　[由sinα－cosα＝，得1－sin2α＝，∴sin2α＝，

因此2cos2＝1＋cos2＝1＋sin2α＝.]

5.D　[如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，

∴BD＝a.∴·＝||||cos30°＝a2×＝a2.]

6．D　[由||＝1知，点D是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，设D（x，y），则（x－3）2＋y2＝1.|＋＋|＝表示点D到点P（1，－）的距离，又||＝＝，因此－1≤||≤＋1，故选D.]

7．C　[＝＋，＝－＝－＋

∴·＝（4＋3）·（4－3）

＝（162－92）＝（16×62－9×42）＝9.]

8．B　[法一　由题意知a2＝b2＝c2＝1，

又a·b＝0，

∵（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，

∴a·c＋b·c≥c2＝1，

∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c

＝3－2（a·c＋b·c）≤1，

∴|a＋b－c|≤1.

法二　设a＝（1，0），b＝（0，1），c＝（x，y），

则x2＋y2＝1，a－c＝（1－x，－y），b－c＝（－x，1－y），

则（a－c）·（b－c）＝（1－x）（－x）＋（－y）（1－y）

＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.

又a＋b－c＝（1－x，1－y），

∴|a＋b－c|＝

＝＝≤1.]

9.　[由sin＋sin＝，得

sinθcos＋cosθsin＋sinθcos－cosθsin＝.

∴2sinθcos＝，则sinθ＝.

又θ∈，∴cosθ＝＝.

因此cos＝cosθcos－sinθsin＝.]

10．－1　[由f（x）＝2cos（x＋φ），得f′（x）＝－2sin（x＋φ）．

∴f（0）＝2cosφ＝1，且f′（0）＝－2sinφ>0，

因此cosφ＝，且sinφ<0，

所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|<，则φ＝－，

f（x）＝2cos，

根据图象平移变换，知g（x）＝2cos.

又0≤x≤π，知－≤x－≤.

∴g（x）的最小值为2cos＝2×＝－1.]

11．[0，2]　[建立如图所示的直角坐标系，则D（0，1），C（1，1），设Q（m，n），由＝λ得，（m，n－1）＝λ（1，0），即m＝λ，n＝1，又B（2，0），设P（s，t），由＝（1－λ）得，（s－1，t－1）＝（1－λ）（1，

－1），即s＝2－λ，t＝λ，所以·＝λ（2－λ）＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0，1]，·∈[0，2]．]

12．2　[法一　·＝·＝2－2＋0＝22－×22＝2.

法二　以A为原点建立平面直角坐标系（如图）．则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），E（1，2）．

∴＝（1，2），＝（－2，2）．

从而·＝1×（－2）＋2×2＝2.]

13.　[根据题意，将x＝代入可得cos＝sin＝，∴π＋φ＝2kπ＋或π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z.

又∵φ∈[0，π），∴φ＝.]

14．3　[由G为重心，得＝×（a＋b）＝（a＋b）．∴＝－＝a＋，＝－＝b－a，

又P、G、Q三点共线，

∴＝，即m＋n＝3mn.

因此＋＝3.]

15．100　[如图所示，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，

∠ACB＝75°－30°＝45°.

由正弦定理，得＝，

∴BC＝600×＝300.

在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，

∴CD＝BC·tan∠CBD＝300·tan30°＝100.]

16．解　

（1）因为f（x）＝sinx－（1－cosx）

＝sin－，

所以f（x）的最小正周期为2π.

（2）因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.

当x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值．

所以f（x）在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.

17．解　

（1）因为m＝，n＝（sinx，cosx），m⊥n.

所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，所以sinx＝cosx，

所以tanx＝1.

（2）因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，

即sinx－cosx＝，所以sin＝，

因为0

因此x－＝，故x＝.

18．解　

（1）由A＝，b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C.

所以－cos2B＝sin2C.又由A＝，得B＋C＝π.

∴2B＝π－2C，则cos2B＝cos＝－sin2