几何证明题专项训练系列3.docx

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几何证明题专项训练系列3

几何证明题专项训练系列3

1、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．

（1）求证：

DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；

（1）证明：

EF=EA；

（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：

EG⊥AF．

3、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．

（1）求证：

EB=EF；

（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．

（1）求证：

AE=GF；

（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．

5、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．

（1）求证：

FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的长．

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．

（1）求证：

AD=BE；

（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．

7、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求证：

AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．

8、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．

（1）求证：

AE⊥BD；

（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．

几何证明题专项训练系列3

参考答案

1、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．

（1）求证：

DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

（1）证明：

连接PC．

∵ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．

∵BE=DF，

∴△ABE≌△ADF．（SAS）

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．

∴∠EAF=∠BAD=90°．

∵P是EF的中点，

∴PA=

EF，PC=

EF，

∴PA=PC．

又AD=CD，PD公共，

∴△PAD≌△PCD，（SSS）

∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H点．

∵P是EF的中点，

∴PH=

EC．

设EC=x．

由

（1）知△EAF是等腰直角三角形，

∴∠AEF=45°，

∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，

∴EF=2x，FC=

x，BE=2﹣x．

在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（

x）2解得x1=﹣2﹣2

（舍去），x2=﹣2+2

．

∴PH=﹣1+

，FD=

（﹣2+2

）﹣2=﹣2

+4．

∴S△DPF=

（﹣2

+4）×

=3

﹣5．

2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；

（1）证明：

EF=EA；

（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：

EG⊥AF．

（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．

∵E为CD的中点，

∴ED=EC．

∴△ADE≌△FCE．

∴EF=EA．（5分）

（2）解：

连接GA，

∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠DAB=90°．

∵DG⊥BC，

∴四边形ABGD是矩形．

∴BG=AD，GA=BD．

∵BD=BC，

∴GA=BC．

由

（1）得△ADE≌△FCE，

∴AD=FC．

∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．

∵由

（1）得EF=EA，

∴EG⊥AF．（5分）

3、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形，ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．

（1）求证：

EB=EF；

（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

（1）证明：

∵△ADF为等边三角形，

∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）

∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）

∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）

∵AE为公共边

∴△FAE≌△BAE（4分）

∴EF=EB（5分）

（2）解：

如图，连接EC．（6分）

∵在等边三角形△ADF中，

∴FD=FA，

∵∠EAD=∠EDA=15°，

∴ED=EA，

∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）

由

（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．

∵∠FAE=∠BAE=75°，

∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，

∴BE=BA=6．

∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，

∴∠GEB=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠GBE=30°

∴GE=GB．（8分）

∵点G是BC的中点，

∴EG=CG

∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，

∴△CEG为等边三角形，

∴∠CEG=60°，

∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）

∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2

∴CE=

，

∴BC=

（10分）；

解法二：

过C作CQ⊥AB于Q，

∵CQ=AB=AD=6，

∵∠ABC=60°，

∴BC=6÷

=4

．

4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．

（1）求证：

AE=GF；

（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．

（1）证明：

∵AB=DC，

∴梯形ABCD为等腰梯形．

∵∠C=60°，

∴∠BAD=∠ADC=120°，

又∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=30°．

∴∠DBC=∠ADB=30°．

∴∠BDC=90°．（1分）

由已知AE⊥BD，

∴AE∥DC．（2分）

又∵AE为等腰三角形ABD的高，

∴E是BD的中点，

∵F是DC的中点，

∴EF∥BC．

∴EF∥AD．

∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）

∴AE=DF（4分）

∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，

∴GF=DF，（5分）

∴AE=GF．（6分）

（2）解：

在Rt△AED中，∠ADB=30°，

∵AE=1，

∴AD=2．

在Rt△DGC中∠C=60°，

并且DC=AD=2，

∴DG=

．（8分）

由

（1）知：

在平行四边形AEFD中EF=AD=2，

又∵DG⊥BC，

∴DG⊥EF，

∴四边形DEGF的面积=

EF•DG=

．（10分）

5、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．

（1）求证：

FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的长．

解答：

（1）证明：

∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，

∴∠ABC=∠AFE．

∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，

∴△ABC≌△AFE，

∴AB=AF．

∴AE﹣AB=AC﹣AF，

即FC=BE；

（2）解：

∵AD=DC=2，DF⊥AC，

∴AF=

AC=

AE．

∴AG=CG，

∴∠E=30°．

∵∠EAD=90°，

∴∠ADE=60°，

∴∠FAD=∠E=30°，

∴FC=

，

∵AD∥BC，

∴∠ACG=∠FAD=30°，

∴CG=2，

∴AG=2．

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．

（1）求证：

AD=BE；

（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．

（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BAD=∠ABC=90°，

∵DE⊥EC，

∴∠AED+∠BEC=90°

∵∠AED+∠ADE=90°，

∴∠BEC=∠ADE，

∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，

∴△EAD≌△EBC，

∴AD=BE．

（2）答：

△ABF是等腰直角三角形．

理由是：

延长AF交BC的延长线于M，

∵AD∥BM，

∴∠DAF=∠M，

∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，

∴△ADF≌△MFC，

∴AD=CM，

∵AD=BE，

∴BE=CM，

∵AE=BC，

∴AB=BM，

∴△ABM是等腰直角三角形，

∵△ADF≌△MFC，

∴AF=FM，

∴∠ABC=90°，

∴BF⊥AM，BF=

AM=AF，

∴△AFB是等腰直角三角形．

7、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求证：

AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．

解答：

（1）证明：

连接AC，

∵AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC，

∴∠ACD=∠ACB，

∵AD⊥DC，AE⊥BC，

∴∠D=∠AEC=90°，

∵AC=AC，

∴

，

∴△ADC≌△AEC，（AAS）

∴AD=AE；

（2）解：

由

（1）知：

AD=AE，DC=EC，

设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，

在Rt△ABE中∠AEB=90°，

由勾股定理得：

82+（x﹣4）2=x2，

解得：

x=10，

∴AB=10．

说明：

依据此评分标准，其它方法如：

过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．

8、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．

（1）求证：

AE⊥BD；

（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．

（1）证明：

∵AD∥CB，

∴∠ADB=∠CBD，

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，

已知E是BD的中点，

∴AE⊥BD．

（2）解：

延长AE交BC于G，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABE=∠GBE，

又∵AE⊥BD（已证），

∴∠AEB=∠GEB，

BE=BE，

∴△ABE≌△GBE，

∴AE=GE，BG=AB=AD，

又F是AC的中点（已知），

所以由三角形中位线定理得：

EF=

CG=

（BC﹣BG）=

（BC﹣AD）

=

×（14﹣4）=5．

答：

EF的长为5．