最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总.docx
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最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总
近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．
最值题目类型多：
作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：
几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.
我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换。
通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。
数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。
（1）去伪存真。
刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。
（2）科学选择。
捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。
（3）怎么变换？
对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。
（4）怎么求值？
几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值。
一、一条线段最值1单动点型
所谓的单动点型指：
所求线段两端点中只有一个动点的最值问题．通常解决这类问题的思考步骤为三步：
（一）分析“源动点”的不变量。
（二）分析“从动点”与“源动点”问关系。
（三）分析“从动点”的不变量。
1.1动点运动轨迹——直线型
动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”
例1、如图1，在∆ABC中，∠CAB=30︒,BC=1，D为AB上一动点（不与点A重合），∆AED
为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段CG长的最小值是。
方法指导：
1．当动点的运动轨迹是一条直线（射线、线段）时，可运用“垂线段最短”性质求线段最值．2．有时动点轨迹不容易确定，如例1，建议看到“中点”联想“三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线”等性质．3．试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该动点与其他定点连结的线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线。
如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键。
①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；
1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（m-1,-
中m为实数），当PM的长最小时，m的值为．
3m-9
44
）（其
2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，4），B（3，2），C（m，－4m＋20），若OC恰好平分四．边．形．O．A．C．B．的面积，求点C的坐标．
②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
1.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE:
ED＝1:
3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.
【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，且BE:
EC＝1:
3．动
点P从点B出发，沿BA运动到点A停止．过点E作EF⊥PE交边AD或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.
【变式2】如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，E是AB上的一个动点，连接PE，过点P作PE的垂线，交BC于点F，连接EF，设EF的中点为G，当点E从点B运动到点A时，点G移动的路径的长是.
【变式3】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是AD边的中点，点E在AB边上，EP的延长线交射线CD于F点，过点P作PQ⊥EF，与射线BC相交于点Q．
（1）如图1，当点Q在点C时，试求AE的长；
（2）如图2，点G为FQ的中点，连结PG．
①当AE＝1时，求PG的长；
②当点E从点A运动到点B时，试直接写出线段PG扫过的面积．
1
2．如图，C、D是线段AB上两点，且AC＝BD＝
6
AB＝1，点P是线段CD上一个动点，
在AB同侧分别作等边△PAE和等边△PBF，M为线段EF的中点.在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为．
【变式1】已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O1和O2是这两
个正方形的中心，连接O1O2，设O1O2的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是．
【变式2】等边三角形ABC中，BC＝6，D、E是边BC上两点，且BD＝CE＝1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为．
【变式3】如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB
＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为．
3.如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得PD∶PE＝1∶3，以PE，PC为边作平行四边形PEFC，连接PF，则PF的最小值为.
【延伸】在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在BC上取点P（P与B、C不重合），连接PA延长至E，使PE∶PA＝x∶1，连接PD并延长到F，使PF∶PD＝y∶
1（x，y＞1），以PE、PF为边作平行四边形，另一个顶点为G，求PG长度的最小值（用x，y表示）.
【同型练】如图，已知□OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．
③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线。
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是
为.
【变式】1.如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长
度的最小值是．
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．
（1）如图1，当BD＝2时，AN＝，NM与AB的位置关系是；
（2）当4＜BD＜8时，
①依题意补全图2；
②判断
（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点D运动的过程中，求ME的长的最小值？
3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧做等边△APQ，则Q点运动的路径长为．
【秒杀训练】
1.如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】
A.（0,0）B.（-
1,-1
22
）C.（,-
22
）D.（-
1,-1
22
）
2.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】
A．B．
C．3D．2
3.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点。
（1）求证：
△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD'）与AB交于一点E，MC（即MC'）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值。
1.2动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线
方法指导：
1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。
1.2.1定点定长
Ⅰ动．点．到．定．点．的．距．离．不．变．，则点的轨迹是圆或圆弧；
1.如图1，在正方形ABCD中，边长为2,点E是AB的中点，点F是BC边上任意一点，将△BEF沿EF所在直线折叠得到△PEF，连接AP，则CP的最
小值，AP的最小值是
.
1．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A→B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为．
【变式1】在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积cm2.
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为．
【变式3】如图，一根木棒AB长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO下滑，且B端沿直线OM向右滑行，则木棒中点P
也随之运动，已知A端下滑到A′时，AA′＝（所经过的路线长．
-
）a，则木棒中点P随之运动到P′
2．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3．当∠B最大时，BC的长为．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．
4．如图，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝33，M是AD边的中点，N是AB边
上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝°，∠DBC＝°．
6．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝2AB＝4，长度为2的动线段AE绕点A旋转，连接EC，取EC的中点F，连接DF，则DF的取值范围为。
例2．（15威海）如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为．
变式：
如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为．
例3．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝70°，点P在△ABC的外部，且与C点均在AB的同侧，如果PC＝BC，那么∠APB＝．
例4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为AB边的中点，F是线段BC边上的动点．将△EFB沿EF所在的直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值为
Ⅱ．定边对定角模型
1.2.2定弦定角
II当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．
见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；
【一般解题步骤】
①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）
③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。
④确定圆心位置，计算隐形圆半径。
⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。
⑥计算最值：
在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。
1．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为.
2．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在
边AB上，且AE＝1，若点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，
25
垂足为点H，在点P从F（0，
4
）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为．
3．在正方形ABCD中，AD＝2，点E从D出发向终点C运动，点F从C出发向终点B运动，且始终保持DE＝CF，连接AE和DF交于点P，则P点运动的路径长是．
4．等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．
5．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB
＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．
6．如图，在边长为23的等边△ABC中，动点D从C向终点B运动，同时点E以相同的速度从A出发向终点C运动，连接BE、AD相交于点P，则点P的路径长为．
7．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是.
8.如图，已抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连结AC、BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；
（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为。
变式：
直线y＝x＋4分别与x轴、y轴相交与点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是．
10．如图，边长为3的正方形ABCD，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C点D在第一象限，点E为正方形ABCD的对称中心，连结OE，则OE的长的最大值是．
变式：
如图，已知平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）经过点C（a，3a）（a＞0）．线段BC的两个端点分别在x轴与直线y＝kx上（B、C均与原点O不重合）滑动，且BC＝2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y＝kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值．
11.如图，开口向下的抛物线y=a（x-2）2+k交x轴于点A,B两点，交y轴正半轴于
点C，顶点为P，过顶点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M,N，连结CP,CM，∠CPM=45°，tan∠CMP=0.8.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）若点D为射线PC上动点，BD交△PMD的外接圆于点Q，求PQ的最小值.
【强化训练】
【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4
，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为
△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为
【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为
【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4
，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上
运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为
【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是.
【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）
【例4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为
【例5】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为
【练】如图8，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为
针对练习：
1．如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于
DE
点E，连接DE．当点C在运动过程中，始终有
AB
值是
=，则点C到AB的距离的最大
2
2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为.
1.3动点轨迹为其他曲线，构造三角形
方法指导：
1．当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段
转化为一个三角形中，其中在该三角形中其他两条边位置不定但长度确定，则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之
差．2．在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。
例1、如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中
AB=2,BC=1,求运动过程中,点D
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