河南省中考数学专题复习专题次函数综合题训练.docx

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河南省中考数学专题复习专题次函数综合题训练

专题八　二次函数综合题

类型一新定义问题

（2017·河南）如图，直线y＝－x＋c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

例1题图

备

用图

【分析】

（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①由M点坐标可表示点P，N的坐标，从而可表示出MA，MP，PN，PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；

②用m可表示出点M，P，N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，即可求得m的值．

【自主解答】

解：

（1）∵y＝－x＋c过点A（3，0），与y轴交于点B，

∴0＝－2＋c，解得c＝2，

∴B（0，2）．∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.

（2）①由

（1）可知直线的解析式为y＝－x＋2，

∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.∴P（m，－m＋2），N（m，－m2＋m＋2），∴PM＝－m＋2，AM＝3－m，PN＝－m2＋m＋2－（－m＋2）＝－m2＋4m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，

∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°.

当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，

∴N点的纵坐标为2，

∴－m2＋m＋2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，

∴M（2.5，0）；

当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，

例1题解图

则∠NBC＋∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝－m2＋m＋2－2＝－m2＋m，

∵∠NBP＝90°，

∴∠NBC＋∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠BNC，

∴Rt△NCB～Rt△BOA，

∴＝，

∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝.

∴M（，0）；

综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；

②由①可知M（m，0），P（m，－m＋2），N（m，－m2＋m＋2），

∵M，P，N三点为“共谐点”，

∴当P为线段MN的中点时，则有2（－m＋2）＝－m2＋m＋2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；

当M为线段PN的中点时，则有－m＋2＋（－m2＋m＋2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝－1；

当N为线段PM的中点时，则有－m＋2＝2（－m2＋m＋2），解得m＝3（舍去）或m＝－.

综上可知，当M，P，N三点成为“共谐点”时，m的值为或－1或－.

1．（2015·河南）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE.

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：

当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：

对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：

若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

第1题图

备用图

2．（2018·崇仁一中二模）如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上（点A与点B不重合），我们把这样的两抛物线L1，L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．

（1）抛物线L1：

y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；

（2）若抛物线y＝a1（x－m）2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2（x－h）2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；

（3）在图②中，已知抛物线L1：

y＝mx2－2mx－3m（m＞0）与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D.若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．

图①

图②

3．（2018·郑州模拟）如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，连接PF，PC，CF，求证：

对于任意点P，PF与PM的差为常数．

（3）记

（2）中的常数为a，若将“使△PCF面积为2a”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．

4．（2017·焦作一模）如图①，直线y＝x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，－1），抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，点C的横坐标为4.

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）如图②，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x（0＜x＜4），矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；

（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．

图①

图②

类型二线段、角度数量关系探究

（2016·河南）如图①，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B（0，－2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

（3）如图②，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

图①

图②

例2题图

备用图

【分析】先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD＝PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；

（3）分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可．①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，先利用互余和旋转角相等得出∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，进而表示出ND′的长度，通过构造方程求解；②的思路同①.

【自主解答】

解：

（1）∵点C（0，4）在直线y＝－x＋n上，

∴n＝4，∴y＝－x＋4.

当y＝0时，0＝－x＋4，

解得x＝3，∴A（3，0）．

∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B（0，－2），

∴

解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.

（2）∵点P为抛物线上一个动点，且横坐标为m，

∴P（m，m2－m－2），D（m，－2），

∴BD＝|m|，

PD＝|m2－m－2＋2|＝|m2－m|.

∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，

∴BD＝PD.

①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.

（i）若点P在y轴左侧，则m<0，BD＝－m.

∴m2－m＝－m，

解得1＝0（舍去），m2＝（舍去）．

（ii）若点P在y轴右侧，则m>0，BD＝m.

∴m2－m＝m，

解得3＝0（舍去），m4＝.

②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－m2＋m.

∴－m2＋m＝m，解得5＝0（舍去），m6＝.

综上所述，m＝或.即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.

（3）P1（－，），P2（，），P3（，）．

提示：

∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，

∴AC＝5，

∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝.

①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为点N，交BD于点M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.

如解图①，

例2题解图①

∵ND′－MD′＝2，

即（m2－m）－（－m）＝2；

∴m＝（舍去）或m＝－；

如解图②，

例2题解图②

∵ND′＋MD′＝2，即（m2－m）＋m＝2，

∴m＝或m＝－（舍去），

∴P（－，）或P（，）．

②当点P′落在y轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，

例2题解图③

∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.

∵P′N＝BM，

即（m2－m）＝m，

∴m＝，∴P（，）．

1．（2014·河南）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），B（5，0）两点，直线y＝－x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE＝5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？

若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2018·洛阳一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，－1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？

（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2018·新野一模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A（－1，0），B（2，0），C三点．直线y＝mx＋交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；

（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？

若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

图①

图②

4．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC.

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第4题图

备用图

类型三特殊图形判定问题

（2018·河南）如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M.

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q.若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

例3题图

备用图

【分析】

（1）利用一次函数解析式确定C（0，－5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）①先解方程－x2＋6x－5＝0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC＝∠OCB＝45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM＝2，接着根据平行四边形的性质得到PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如解图①，利用∠PDQ＝45°得到PD＝PQ＝4.设P（m，－m2＋6m－5），则D（m，m－5），讨论：

当P点在直线BC上方时，PD＝－m2＋6m－5－（m－5）＝4；当P点在直线BC下方时，PD＝m－5－（－m2＋6m－5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如解图②，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B＝2∠ACB，再确定N（3，－2），AC的解析式为y＝5x－5，E点坐标为（，－），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y＝－x＋b，把E（，－）代入求出b得到直线EM1的解析式为y＝－x－，则解方程组得M1点的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如解图②，利用对称性得到∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，设M2（x，x－5），根据中点坐标公式得到3＝，然后求出x即可得到点M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

【自主解答】

解：

（1）当x＝0时，y＝x－5＝－5；

当y＝x－5＝0时，x＝5

∴B（5，0），C（0，－5）．

将B，C两点的坐标代入y＝ax2＋6x＋c中，得解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5.

（2）①解方程－x2＋6x－5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），

∵B（5，0），C（0，－5），

∴△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°.

∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴AM＝AB＝×4＝2.

∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ

∴PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如解图①，则∠PDQ＝45°，

∴PD＝PQ＝4，设P（m，－m2＋6m－5），则D（m，m－5）．

当P点在直线BC上方时，

PD＝－m2＋6m－5－（m－5）＝－m2＋5m＝4，解得m1＝1，m2＝4.

当P点在直线BC下方时；

PD＝m－5－（－m2＋6m－5）＝m2－5m＝4，解得m1＝，m2＝.

综上所述，P点的横坐标为4或或.

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如解图②.

∵M1A＝M1C，

∴∠ACM1＝∠CAM1，

∴∠AM1B＝2∠ACB.

∵△ANB为等腰直角三角形，

∴AH＝BH＝NH＝2，

∴N（3，－2），

易得AC的解析式为y＝5x－5，E点坐标为（，－），

设直线EM1的解析式为y＝－x＋b，

把E（，－）代入，得＋b＝－，解得b＝－，

∴直线EM1的解析式为y＝－x－，解方程组得，则M1（，－）；

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M，如解图②，则∠AM2C＝2∠ACB，

设M2（x，x－5），

∵3＝，

∴x＝，

∴M2（，－）．

图①

图②

例3题解图

1．（2013·河南）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，），点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？

请说明理由；

（3）若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．

第1题图

备用图

2．（2017·河南名校模拟）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C，M为抛物线的顶点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部（不包含边界），求m的取值范围；

（3）点P是抛物线上一动点，PQ∥BC交x轴于点Q，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B两点，其顶点为（1，－4），直线y＝x－2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE＝3EF，求m的值；

（3）连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？

若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

类型一

针对训练

1．解：

（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，

∴C（0，8），A（－8，0），

设抛物线的解析式为：

y＝ax2＋c，

则解得：

故抛物线的解析式为：

y＝－x2＋8.

（2）正确，

理由：

设P（a，－a2＋8），则F（a，8），

∵D（0，6），

∴PD＝＝＝a2＋2.

∵PF＝8－（－a2＋8）＝a2，

∴PD－PF＝2；

（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，

∵PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2，

∴PE＋PD＝PE＋PF＋2，

第1题解图①

∴如解图①，当P、E、F三点共线时，PE＋PF最小，

此时点P，E的横坐标都为－4，

将x＝－4代入y＝－x2＋8，得y＝6，

∴P（－4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，

∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为（－4，6）

由

（2）得：

P（a，－a2＋8），

∵点D、E的坐标分别为（0，6），（－4，0），

第1题解图②

①如解图②，当－4≤a＜0时，

S△PDE＝S△PEO＋S△POD－S△DOE＝×4×（－a2＋8）＋×6×（－a）－×4×6

＝－a2－3a＋4＝－（a＋b）2＋13，

∴4＜S△PDE≤12.

②当a＝0时，S△PDE＝4；

第1题解图③

③如解图③，过点P作PN⊥x轴于点N，

当－8＜a＜－4时，

S△PDE＝S梯形PNOD－S△PNE－S△DOE

＝（－a2＋8＋6）×（－a）×－×4×6－（－a－4）×（－a2＋8）×＝－a2－3a＋4＝－（a＋b）2＋13，

∴12＜S△PDE≤13；

④当a＝－8时，S△PDE＝12，

∴△PDE的面积可以等于4到13的所有整数，在面积为12时，a的值有两个，

∴面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，∴“好点”共有11个．

综上所述，共有11个，“好点”，P（－4，6）．

2．解：

（1）由y＝－x2＋4x－3可得点A的坐标为（2，1），

将x＝4代入y＝－x2＋4x－3，得y＝－3，

∴B点的坐标为（4，－3），

设抛物线L2的解析式为y＝a（x－4）2－3.

将A（2，1）代入，得1＝a（2－4）2－3，解得a＝1，

∴抛物线L2的表达式为y＝（x－4）2－3；

（2）a1＝－a2，理由如下：

∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上，

∴可列方程组

整理，得（a1＋a2）（m－h）2＝0.

∵“伴随抛物线”的顶点不重合，

∴m≠h，∴a1＝－a2.

（3）抛物线L1：

y＝mx2－2mx－3m的顶点坐标为（1，－4m），设抛物线L2的顶点的横坐标为h，则其纵坐标为mh2－2mh－3m，

∴抛物线L2的表达式为y＝－m（x－h）2＋mh2－2mh－3m，

化简，得y＝－mx2＋2mhx－2mh－3m，

∴点D的坐标为（0，－2mh－3m），

又∵点C的坐标为（0，－3m），

∴|（－2mh－3m）－（－3m）|＝4m，解得h＝±2，

∴抛物线L2的对称轴为直线x＝±2.

3．

（1）解：

设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2.

将点B的坐标代入得4a＝1，解得a＝.

∴抛物线的解析式为y＝（x－2）2，即y＝x2－x＋1.

（2）证明：

设点P的坐标为（m，（m－2）2），

∴PM＝（m－2）2，M（m，0）．

依据两点间的距离公式可知PF＝

＝

＝

＝＝

（m－2）2＋1，

∴PF－PM＝1.

∴对于任意点P，PF与PM的差为常数．

（3）解：

设直线CF的解析式为y＝kx＋3，将点F的坐标代入，得2k＋3＝1，解得k＝－1，

∴直线CF的解析式为y＝－x＋3.

由两点间的距离公式可知CF＝2.

∵a＝1，

∴2a＝2.

设在△PCF中，边CF的上的高线长为x，则×2x＝2，解得x＝.

如解图，过点C作CG⊥CF，取CG＝.则点G的坐标为（－1，2）．

第3题解图

过点G作GH∥FC，设直线GH的解析式为y＝－x＋b，将点G的坐标代入，得1＋b＝2，解得b＝1，

∴直线GH的解析式为y＝－x＋1，

令－x＋1＝（x－2）2，解得x＝0，

∴△PCF的一个巧点的坐标为（0，1）．

显然，直线GH在CF的另一侧时，直线GH与抛物线有两个交点．

∵F，C为定点，

∴CF的长度不变，

∴当PC＋PF最小时，△PCF的周长最小．

∵PF－PM＝1，

∴PC＋PF＝PC＋PM＋1，

∴当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小．

∴此时P（0，1）．

综上所述，△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．

4．解：

（1）∵直线l：

y＝x＋m经过点B（0，－1），

∴m＝－1，

∴直线l的解析式为y＝x－1.

∵直线l：

y＝x－1经过点C，且点C的横坐标为4，

∴y＝×4－1＝2.

∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点C（4，2）和点B（0，－1），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1；

（2）令y＝0，则x－1＝0，解得x＝，

∴点A的坐标为（，0），

∴OA＝.

在Rt△OAB中，OB＝1，

∴AB＝＝＝.

∵DE∥y轴，

∴∠ABO＝∠DEF，

在矩形DFEG中，EF＝DE·cos∠DEF＝DE·＝DE，DF＝DE·sin∠DEF＝DE·＝DE，

∴l＝2（DF＋EF）＝2（＋）DE＝DE.

∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），

∴D（t，t2－t－1），E（t，t－1），

∴DE＝（t－1）－（t2－t－1）＝－t2＋2t，

∴l＝×（－t2＋2t）＝－t2＋t，

∵l＝－（t－2）2＋，且－＜0，

∴当t＝2时，l有最大值.

（3）“落点”的个数为4，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．

图①

图②

图③

图④

第4题解图

如解图③，设点A1的横坐标为m，则点O1的横坐标为m＋，

∴m2－m－1