勾股定理1江姗Word文档格式.docx

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+b²

=c²

a²

-b²

b²

-a²

练习：

1、在直角三角形中，两条直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为___________。

2、在直角三角形中，若斜边长为5cm，一条直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为_________。

知识点2：

勾股定理的证明

方法一：

1、画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长

2、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

方法二：

如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明。

S正方形＝C

S正方形＝4×

ab＋（a－b）

方法三；

已知：

在△ABC中，∠C=90°

，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2

化简可得。

a

＝C

勾股定理的证明方法，达300余种。

请学生利用业余时间探究。

小结1：

1．勾股定理的具体内容是：

。

如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°

，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线CD=；

⑶若∠B=30°

，则∠B的对边和斜边：

⑷三边之间的关系：

。

三、课时达标

1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A.4，5，6B.1，1，

C.6，8，11D.5，12，23

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°

，a＝5，b＝12，则c的长为（）

A.9B.11C.13D.15

3、将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 

（ 

）

　A.可能是锐角三角形 

B.不可能是直角三角形 

C.仍然是直角三角形 

D.可能是钝角三角形

4、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足

，则三角形的形状是（）

A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形

四、课堂总结

勾股定理的具体内容是：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______________。

五、星级挑战

如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=13时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

13，b、c

17.1.2用勾股定理解决实际问题

1、会用勾股定理进行简单的计算。

2、树立数形结合的思想、分类讨论思想。

勾股定理的简单计算。

勾股定理的灵活运用。

一、课前研学

1、在Rt△ABC，∠C=90°

，BC=a，AC=b，AB=c，

⑴已知a=b=5,求c；

⑵已知a=1,c=2,求b；

⑶已知c=17,b=8,求a；

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

二、课堂探究

用勾股定理解决实际问题

例1：

如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？

分析：

⑴在△AOB中，已知AB=2.6，AO=2.4，利用勾股定理计算OB=。

⑵在△COD中，已知CD=2.6，CO=2.1，利用勾股定理计算OD=。

则BD=OD－OB，通过计算可知。

练习1：

如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°

∠B＝50°

，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？

利用勾股定理作长为

（n为大于1的整数）的线段

思考：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点么？

（利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角边的斜边长为

由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示

的点）

一、作数轴

二、在数轴上构造一个直角三角形，使它的两条直角边长分别为2,3。

即使OA=3，AB=2.

三、将直角三角形的斜边转化到数轴上，确定对应点。

即以原点0为圆心，OB=

半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

的点。

练习2：

在数轴上作出表示

1、填空题

（1）在Rt△ABC，∠C=90°

，a=8，b=15，则c=。

（2）在Rt△ABC，∠C=90°

，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

（3）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

2、等边△ABC的边长是6cm。

（1）求等边△ABC的高。

（2）求S△ABC。

3、已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°

，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

勾股定理的应用及数形结合的思想。

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：

AE²

+AD²

=2AC²

（提示：

连接BD）

17.1.3勾股定理的应用

1、会用勾股定理解决与直角三角形有关的问题。

2、树立数形结合的思想。

勾股定理的应用。

实际问题向数学问题的转化。

1.在Rt△ABC，∠C=90°

，AB=8.

（1）如果∠A=30°

求BC,AC

（2）如果∠A=45°

求BC,AC

实际问题转化成数学问题

证明：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

已知：

1、已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°

，CD⊥AB于D，∠A=60°

，CD=

，

求线段AB的长。

2、已知：

如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°

，∠A=60°

，求AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC

小结：

可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

1、小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2、如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°

，则江面的宽度为。

3、如图，一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。

4、如图所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60m，BC＝84m，AE＝100m，则这条小路的面积是多少?

5、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°

，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

如图，∠B=∠D=90°

，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

17.2.1勾股定理

1、探究勾股定理的逆定理的证明方法，掌握勾股定理的逆定理。

2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

掌握勾股定理的逆定理及证明。

勾股定理的逆定理的证明。

一、课前研学（预习教材31页-33页的内容，完成下面的问题）（约1-2分钟）

知识扩充：

（1）互逆命题：

一般地，如果两个命题的题设与结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题。

如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。

（2）互逆定理：

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理，称这两个定理互为逆定理。

1、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

逆命题：

（）

（2）如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

（）

注意：

每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

逆定理的证明

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

（1）注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

（2）利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

（3）先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

逆定理的简单应用

例1、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形

（1）a=8，b=15，c=17

（2）a=9，b=12，c=15

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

例2：

如图17.2-3,某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号,“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一各半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

小结3：

实际问题抽象成数学问题的思路

1、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：

∠B：

∠C=5：

2：

3，则△ABC是直角三角形。

2、下列四条线段不能组成直角三角形的是（）

A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15

C．a=

，b=

，c=

D．a：

b：

c=2：

3：

4

3、任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

4、叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a3＞0，那么a2＞0；

（）

⑵如果三角形有一个角小于90°

，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

（）

已知直角三角形的周长是2+

，斜边长2，求它的面积。

17.2.2勾股定理

1、灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

2、进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

利用勾股定理及逆定理解综合题；

1、三角形的三边长为

，则这个三角形是（）

A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形.

2、已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为（）

Ａ．13　　　Ｂ．　

　　　　Ｃ．13或

　　　Ｄ．　不能确定

应用勾股定理及逆定理解综合题

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

1、移项，配成三个完全平方；

2、三个非负数的和为0，则都为0；

3、已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

性质定理与判定定理之间关系

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·

BD。

△ABC是直角三角形。

1、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A．等腰三角形；

B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；

D．等腰直角三角形。

2、如图：

表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，

则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．

3、若△ABC的三边a、b、c，满足a：

c=1：

1：

，试判断△ABC的形状。

4、已知：

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=

，AD=3，且AB⊥BC。

已知，如图2，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，

于E，

于F，如果AB=3，AD=4，求

的值。