相似三角形的判定方法.docx

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相似三角形的判定方法

（一）相似三角形

1、定义:

对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.

①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件，缺一不可；

②相似三角形的特征：

形状一样，但大小不一定相等;

③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：

对应角相等,对应边成比例.

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.

②相似比具有顺序性.例如△ＡBＣ∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′Ｂ′Ｃ′∽△ABC的相似比

，当它们全等时，才有k=ｋ′=1.

③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．

3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形．

4、相似三角形的预备定理：

平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．

①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言:

　∵ＤE∥BＣ,∴△ＡBC∽△ADE；

（双A型）

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”；

③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”.

（二）相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理１:

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

可简单说成：

两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知:

如图，∠1=∠2=∠3，求证：

△ABC∽△ＡDE．

例2、如图,E、F分别是△ABＣ的边BC上的点，ＤＥ∥AB,DＦ∥ＡC　,

求证：

△ABC∽△DEF.

判定定理2：

如果三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单说成:

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

例1、△ABC中，点D在AＢ上，如果AＣ2=AＤ•AB,那么△ACD与△ABC相似吗？

说说你的理由．

例２、如图，点C、D在线段ＡB上，△PCD是等边三角形。

（1）当AＣ、ＣＤ、DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDＢ？

（2）当△ACP∽△PDＢ时,求∠AＰＢ的度数。

判定定理3:

如果三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。

简单说成：

三边对应成比例，两三角形相似.

强调:

①有平行线时，用预备定理；

②已有一对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时,可考虑利用判定定理1或判定定理2；

③已有两边对应成比例时,可考虑利用判定定理２或判定定理３．但是,在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．

2、直角三角形相似的判定：

斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

例1、已知:

如图,在正方形ABCD中，P是BC上的点,且BP＝３PC,Q是CD的中点．求证:

△ADQ∽△QCP.

例2、如图,AB⊥BD,CＤ⊥ＢＤ,Ｐ为BD上一动点，AＢ=60ｃm，CD=40ｃm，BＤ＝140ｃm,当P点在BD上由B点向D点运动时,ＰB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似？

请说明理由.

例３、如图AD⊥ＡB于D,CＥ⊥ＡB于E交ＡＢ于F,则图中相似三角形的对数有　　　对。

例4、已知:

AD是Ｒt△ABC中∠Ａ的平分线，∠C=90°,

ＥF是ＡD的垂直平分线交AＤ于M,EＦ、ＢＣ的延长线交于一点N。

求证:

（1）△AＭＥ∽△NMＤ

（2）NＤ２＝NＣ·ＮB

①由于直角三角形有一个角为直角，因此,在判定两个直角三角形相似时,只需再找一对对应角相等，用判定定理1,或两条直角边对应成比例,用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；

　　②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形,可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）

③如图,可简单记为:

在Ｒt△AＢＣ中,CD⊥AB,则△ABC∽△ＣBD∽△ＡCＤ．

④补充射影定理。

特殊情况:

第一：

顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二:

腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三:

有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四:

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：

如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。

三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAＳ

SＳS

AAS（AＳＡ）

HＬ

相似三角形

　　的判定

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例

两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

二、重点难点疑点突破

1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

　正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功.通常有以下几种方法：

（1）相似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角（或最小的角）一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;

（2）相似三角形中，一对最长的边（或最短的边）一定是对应边；对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角．

（3）对应字母要写在对应的位置上,可直接得出对应边，对应角。

2、常见的相似三角形的基本图形:

学习三角形相似的判定,要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形,要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法.如：

（1）“平行线型”相似三角形，基本图形见前图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路;

（2）“相交线型”相似三角形,如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角.“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；

　（3）“旋转型”相似三角形,如图．若图中∠1=∠2,∠B=∠D（或∠C＝∠E），则△ＡＤE∽△ABC,该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．

　　从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法,能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．

练习：

1、如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据。

2、如图２7-2-1－１2,在大小为4×４的正方形方格中，△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A1B１Ｃ1，使△A1B1Ｃ1∽△

ABC（相似比不为1），且点A１,B1,Ｃ１都在单位正方形的顶点上.

图2７-２-1－12

1、寻找相似三角形的个数

例１、（吉林）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中所有点、线都在同一平面内,回答下列问题:

（１）图中共有多少个三角形?

把它们一一写出来;

（２）图中有相似（不包括全等）三角形吗?

如果有,就把它们一一写出来．

如图，△ABC中,点D、E分别在边AB、ＡC上，连接并延长DＥ交BC的延长线于点F,连接DＣ、BE,若∠BDE＋∠BCE＝180°。

⑴写出图中３对相似三角形（注意：

不得添加字母和线）⑵请在你所找出的相似三角形中选取１对,说明它们相似的理由。

1、如图，在正方形网格上有6个三角形：

①

，②

，③

④

，⑤

⑥

其中②-⑥中与①相似的是　　。

2、画符合要求的相似三角形

例1、（上海）在大小为４×４的正方形方格中,△ABC的顶点A、Ｂ、Ｃ在单位正方形的顶点上,请在图中画出一个△A1B1Ｃ1,使得△Ａ１B１C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、Ｂ1、C1都在单位正方形的顶点上．

３、相似三角形的判定

例1、

（1）如图，Ｏ是△AＢC内任一点,D、Ｅ、Ｆ分别是OA、OB、OC的中点,求证:

△DＥＦ∽△ABC；

（2）如图,正方形ABCD中，Ｅ是BC的中点,ＤＦ=3CF,写出图中所有相似三角形，并证明.

例2、如图,在△AＢC中,DＦ经过△AＢＣ的重心G，且DF∥AＢ,DＥ∥AC,连接EF，如果BC＝5,AC=

AB.求证:

△DＥF∽△ＡBC

4、直角三角形中相似的判定

例1、如图，△AＢＣ中,∠ＢAC＝90°，AＤ⊥ＢＣ于D，DE为AC的中线,延长线交AＢ的延长于F,求证:

AB·AF=AＣ·ＤF。

例2、已知：

如图,在△AＢC中，∠AＣＢ=9０°,CＤ⊥ＡB于D,Ｅ是AC上一点，ＣF⊥ＢE于F。

求证：

ＥB·DF=ＡE·DB

5、相似三角形的综合运用

例1、如图，CＤ是Ｒｔ△AＢC斜边ＡB上的中线，过点Ｄ垂直于AB的直线交BC于E,交AC延长线于F.

求证:

（1）△ADF∽△EDB;

（2）CD2＝ＤE·DF．

例2、如图，AD是△ABC的角平分线,ＢＥ⊥AＤ于E,CF⊥AD于F．　求证：

．

例3、如图,在正方形ABCD中,M、N分别是AB、BC上的点,BM=BN，BP⊥ＭC于点P．

求证:

　PN⊥PD.

6、相似三角形中辅助线的添加

（1）、作垂线

3．如图从AＢＣD顶点C向AB和ＡD的延长线引垂线CＥ和CＦ,垂足分别为E、F,求证:

。

（2）、作延长线

例１、　如图，Rt

ＡBC中,CＤ为斜边AB上的高，E为CＤ的中点,AE的延长线交ＢC于F，ＦＧ

ＡＢ于Ｇ，求证:

FG

＝ＣＦ

ＢF

（3）、作中线

例1、如图,

中，AＢ⊥AＣ,AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD＝DC=EＣ=１,求ＡC。

练习:

1、

中,

ＡC=ＢＣ，P是AB上一点,Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且ＭN⊥CＰ，交ＡC、BC于Ｍ、N，求证:

。

2、．

理由?

3．（２009年湖北武汉）如图1,在

中，

于点

点

是

边上一点,连接

交

于

交

边于点

.

（1）求证:

;

（２）当

为

边中点，

时,如图2，求

的值;

（３）当

为

边中点,

时,请直接写出

的值．