《勾股定理》教学设计 2.docx
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《勾股定理》教学设计2
课题：
17.1勾股定理教学设计（第1课时）
一、内容和内容解析
1、教材地位作用
这节课内容为九年制义务教育课程标准实验教科书，人教版八年级第十七章第一节勾股定理第一课时。
勾股定理是学生在学习了直角三角形有关性质的基础上进行本课学习，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，在实际生活中用途很大。
通过课题的学习，学生可以经历从实际问题观察、发现、抽象出数学问题，猜想并验证直角三角形三条边之间满足的数量关系，到综合应用已学知识联想、证明的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。
本节课学习过程中渗透了数形结合、从特殊到一般和方程思想等重要数学思想，同时为勾股定理逆定理和后续解直角三角形的学习奠定了基础，也为高中学习的一般三角形中余弦定理和平面解析几何的部分公式做铺垫。
2、教学重点
勾股定理的学习是建立在掌握一般三角形的性质、直角三角形以及三角形全等的基础上,是直角三角形性质的拓展。
本节课主要是对勾股定理的探索和勾股定理的证明。
勾股定理的证明方法很多，本节课介绍的是等积法。
通过本节课的教学，引领学生从不同的角度发现问题、用多样化策略解决问题，从而提高学生分析、解决问题的能力。
基于以上考虑，本节课的教学重点为：
探索、验证、证明勾股定理过程
八年级学生已初步具备几何的观察能力和说理能力，也有了一定的空间想象和动手操作能力，但是他们的推理能力较弱、抽象思维能力不足。
而本节课先采用的是等积法证明。
对于其他的证明方法，由于需要合理的发散思维和联想，没有教师的启发引领，学生不容易独立想到。
二、目标和目标解析
八年级学生对新事物充满好奇，他们喜欢动手，勤于思考，乐于探究，已经具备了一定的探索新知的能力。
因此，结合学生的实际水平，我制定如下教学目标：
本节活动课应当恰当发展学生的几何直观、推理能力和模型思想的数学核心观念与数学能力，还要注重发展学生的创新意识。
A．知识技能目标：
①经历勾股定理的探索过程，理解并掌握勾股定理；
②能尝试从不同角度证明勾股定理。
B．数学思考目标：
①让学生切实经历“观察—猜想---验证---证明”的探索过程；
②发展合情推理能力，分析勾股定理的证明思路；
③体会数形结合，从特殊到一般，化归和方程思想方法。
C．解决问题目标：
①通过拼图活动，体验等积法和割补法的应用；
②在探索证明中，体验解决问题方法的多样性；
③反思证明的方法和方向，学会从数学角度发现问题和提出问题。
D．情感态度目标：
①在具体情境中，通过对科学家探究历程的了解，感受数学之美，探究之趣；
②在数学活动中，通过动手拼图，培养学生的交流、合作意识；
③在数学活动中，了解史实，感受数学文化，突出介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生的民族自豪感和对数学的热爱。
三、教学问题诊断分析
1、问题诊断
对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难；
勾股定理证明思路的形成，需要结合等式特征，充分联想、结合已学知识，并合情推理出恰当的证明思路，从思维上跳出面积法证明的约束，有利于学生创新意识的培养，对学生的综合能力要求较高，学生还较难形成用多样化的策略思考问题的习惯。
2、教学难点
用拼图的方式利用等积法证明勾股定理，并结合方程思想尝试从不同角度理解、证明勾股定理。
四、教学支持条件分析
1、学情分析
八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力。
希望老师预设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。
因此，本节课首先通过设置学生活动、学生讨论来支持教学。
2、教学策略与教法、学法
【教法选择】
数学是一门培养人的思维,发展人的思维的重要学科,因此,在教学中,要展现获取知识和方法的思维过程,针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课采取引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。
以导为主,采用设疑的形式，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。
学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知。
这种教学理念紧随新课改理念，也反映了时代精神。
基本的教学程序包含“提出问题-实验操作-归纳验证-解决问题-课堂小结-布置作业”六个环节。
【学法指导】
我们常说:
“现代的文盲不是不识字的人,而是没有掌握学习方法的人”,因而在教学中要特别重视学法的指导,我采用了如下的学法指导：
新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此本节课在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
【教学辅助手段】
为了扩大课堂容量节省时间提高课堂效率，拟采用多媒体和几何画板工具辅助教学。
具体教具为：
多媒体PPT课件，几何画板工具，三角板，彩色粉笔，直角三角形纸板模具，每位学生制作四个全等的直角三角形。
五、教学过程设计
根据学生的认知规律和学习心理，本节课分六个活动进行学习，具体时间分配如下；
1、观察生活，情境引入（3分钟）→2、回眸历史，探究体验（7分钟）→
3、动手实践，展示交流（10分钟）→4、深入思考，合情推理（10分钟）→
5、文化育人，情感教育（10分钟）→6、温故反思，思维升华（5分钟）
问题与情景
师生行为
设计意图
活
动
一
情
境
引
入
每个人身上都隐藏着“勾股”模型，首先，师生一起展示“弯曲呈直角”的手臂，这就是源自中国古文的“勾股”。
把它想象成封闭图形是什么？
就是勾股定理得研究对象“直角三角形”。
显示图片：
在我国古代，把直角三角形的短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”；在中国现代，华罗庚先生曾提议将勾股定理的典型图——弦图送上太空，作为和外星人沟通的工具，勾股定理也被称作“几何学的基石”。
在本次活动中，教师应重点关注：
学生对勾股定理的历史和勾股定理内容是否感兴趣。
从生活情境和历史入手，抽象出数学问题，
激发学习兴趣。
活
动
二
回
眸
历
史
，
探
究
体
验
古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯，他在一次朋友家做客吃饭时，发现朋友家地砖中的图形刻画出了某种数学规律（显示图片）
问题1：
请同学们一起来观察图中的地面，正方形地砖被对角线分割成什么三角形？
学生活动：
观察、听取老师讲述的故事，从中发现图片中每个正方形地砖被分割成四个等腰直角三角形。
问题2：
观察以其三边分别画出的正方形，有什么性质？
学生活动：
与同伴合作探讨，图中不难直观发现下面的现象：
SI＝SII，SIII=SI+SII，即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
问题3：
可能有同学觉得毕达哥拉斯发现这个结论并不困难，那我们再想想，接着可以研究图中的什么关系？
为什么？
生：
可以研究正方形边长之间的关系，因为正方形的面积公式与边长有关。
问：
请大家思考由这三个正方形的边长构成的等腰直角三角形，它的三边有什么关系？
生：
两直角边的平方和等于斜边的平方
但有学生提出不同看法，能不能猜想直角边平方的两倍等于斜边的平方？
老师问：
从图中我们发现，等腰直角三角形的三边之间可能具有一种特殊的关系：
斜边的平方等于两直角边的平方和；但如果根据这个例子来分析，关系并不唯一？
问题4：
这是由什么原因造成的呢？
如果你是毕达哥拉斯，你这时会接着研究什么呢？
学生讨论：
等腰直角三角形是特殊的三角形，我会研究一般的直角三角形是否也有同样的特点？
教师显示网格图片，设定每个小方格的边长均为1，
（1）分别计算图中正方形
的面积；
（2）正方形
的面积之间有什么关系？
（3）以上结论与直角三角形又有什么关系？
与同伴交流。
学生：
分小组讨论，并踊跃发表自己的看法。
老师参与小组活动，指导、倾听学生交流。
针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法（割补法）得出大正方形C的面积，并进一步地猜想直角三角形的三边关系。
问题5：
以上两个例子中的三角形是否能代表一般情形？
生1：
不能。
因为第一个例子是通过研究特殊的等腰直角三角形得到的结论，第二个例子背景在网格中，三角形边长是整数。
生2：
我有补充说明。
我认为第二个例子中三角形边长不一定是是整数，因为一个单位长度可以代表任意实数，这个例子只能代表三边比例固定的的情形。
师：
因此，这不是最一般的三角形，还需要我们继续进行研究。
在本活动中，老师应重点关注：
（1）给学生留出足够的时间思考和交流，鼓励学生大胆说出自己的看法。
（2）学生能否准确挖掘出图形的隐含条件，计算各个正方形的面积。
（3）学生能否用不同的方法得到大正方形的面积，引导学生注意分割方法。
（4）学生能否将三个正方形面积转化为直角三角形三边之间的关系，并用自己的语言叙述出来。
（5）学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益。
鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验。
通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生探求新知的欲望。
给学生充分的时间与
空间讨论、交流，鼓励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性。
活
动
三
动
手
实
践
，
展
示
交
流
大家经历了勾股定理的发现历程，思考一下
是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？
这就需要对一个一般的直角三角形进行证明。
下面请大家一起动手体会一下：
请同学们与同桌合作，运用准备好的4个全等的直角三角形拼成一个大的正方形（中间可以有空白）；你能拼出几种不同的情形？
学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接。
教师深入小组参与活动，关注学生能否进行合理拼接，倾听学生的交流，对不同层次学生给予帮助、指导学生完成拼图活动。
教师尽量不干扰学生独立思考与交流。
对分工合作不合理的小组给出恰当引导性建议。
学生在教师协助下将拼接的结果展示在黑板上：
问题1：
对于拼出的这两个图形，我们研究图形哪方面的性质？
学生：
研究与面积有关的性质
师：
具体如何研究呢？
生：
以拼图2为例，大正方形的面积有两种表示方式，我们将其写成等式，即
问题2：
请将推导出的结果，分别用文字语言和符号语言描述。
生1：
文字语言为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
生2：
符号语言为在
△
中，
，两直角边长分别为
，斜边长为
，那么
这个结论就是勾股定理
思路点拨：
实际上，⑴以斜边为边长的正方形的面积等于某个大正方形的面积减去4个直角三角形的面积。
⑵以斜边为边长的正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上某个小正方形的面积。
注意到三个正方形是分别“生长”在直角三角形的三边上，发现直角三角形三边长度之间存在联系：
设直角三角形的两直角边长分别为
，斜边长为
，可用三角形的三边长表示三个正方形的面积。
于是猜想：
如果直角三角形的两直角边长分别为
，斜边长为
，那么
命题1）
即勾股定理。
顺势指出什么是定理.
引导学生，将正方形的面积与三角形的边长联系起来。
通过分析，归纳，发现直角三角形三边的关系在本次活动中，老师应重点关注：
1）学生对拼图活动是否感兴趣。
2）学生能否进行合理的分析拼图，对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助。
3）学生能否用自己的语言发表自己的观点，总结得到的结论。
利用拼图验证勾股定理是一种开放性探究活动，起点低，学生易于下手，每个学生都有解决问题的机会，体验成功的喜悦，激发学生探索创新意识。
使“不同的学生在数学上得到不同的发展”。
以两个拼图游戏为探究素材，帮助学生对勾股定理证明的掌握，培养学生的数形结合思想。
为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间观念，发展形象思维。
活
动
四
深
入
思
考
合
情
推
理
思考1：
在推导过程中，用了什么数学方法？
用了哪些数学思想？
分别体现在哪里？
生：
用了等积法和割补法；数形结合的思想，体现在将图形的面积关系用式子表达出来
生2：
还用了方程思想，体现在将面积用两种方法表示，形成了方程。
教师补充：
还用了从特殊到一般的思想，从特殊的等腰直角三角形的三边关系探究出了一般三角形的三边关系。
思考2：
在证明之后我们回头想一想，刚才其实是被老师“忽悠”去拼的正方形，那么，为什么证明勾股定理需要构造正方形？
生1：
因为公式中的
，可以联想到以
为边长的正方形面积公式。
——这是一个从“数”联想到“形”的过程。
师：
能不能从公式中的
结构来进行联想呢？
生2：
联想到完全平方公式；或者以
和
为边长的正方形面积之和。
师：
此时展示几何画板，体现两个“弦图”如何变形为面积为
的图形，看成两个正方形拼接的结果。
师：
那么，方程
的两倍各有几何的直观将方程移项处理，则
能否作为一种证明思路呢？
它可以想到平方差？
同学们可以回去思考一下。
总结：
本质上说，
（1）几种思路都用到了方程来建立几何模型；
（2）都通过数形结合思想来体现“数”和“形”的互化；
思考3：
一定要用正方形来证明吗？
生：
可以将弦图截成一半，即梯形，同样用等积法证明。
师：
这就是总统证法，你和美国总统加菲尔德有同样敏锐的眼光！
其实，迄今为止，已经有400多种证法，大多数是通过面积来证明的，我们这节课只是抛砖引玉。
希望同学学了新的知识之后，能尝试其他的方法。
在本次活动中，老师应重点关注：
1）学生是否懂得思考“为什么这么做”。
2）学生能否将公式中的代数式做充分、恰当的
联想和联系。
3）对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助。
4）学生能否用自己的语言发表自己的观点。
鼓励学生自己主动寻找用数学知识和数学思想方法解决问题的机会，并努力去完成。
给学生留有继续学习的空间和兴趣。
问题与情景
师生行为
设计意图
活
动
5
文
化
育
人
，
情
感
教
育
师：
课前，学生已经通过书本、网络等渠道了解了一些勾股定理得历史和文化，请他们来说一说：
生1：
公元前30世纪的古巴比伦的一块泥石板，记录了一些勾股数；公元前6世纪，毕达哥拉斯发现了这个定理，他的学派杀了一百只牛庆祝，勾股定理也叫做“百牛定理”。
师：
事实上，西方至今仍将“勾股定理”称为“毕达哥拉斯定理”。
有同学知道是什么原因吗？
请同学说说我国与勾股定理有关的历史。
生2：
公元前11世纪，西周的商高提出“勾广三，股修四，径隅五”，是世界上有记载的最早的勾股出处，是我们值得自豪的荣耀一笔。
师：
是的，但是，当时的商高并没有提出勾股定理的证法，相当于只提出了满足勾股定理的一个特例。
因此这正是被西方所诟病的地方。
生3：
三国时期，赵爽在《周髀算经》中给出了赵爽弦图，作为勾股定理的注解和证明。
生4：
公元前4世纪，欧几里得在《几何原本》中提出了一个很有代表性的欧几里得证法。
师：
这个证法非常的经典，除此之外，还有比如达芬奇证法等经典证法，勾股定理的证明方法，迄今已经有四百多种。
同学们说了古时候国内外的勾股定理方方面面，再说说现代吧。
生5：
2002年，在北京举办的国际数学家大会上，赵爽弦图作为大会的会徽。
师：
这也充分说明了勾股定理的地位，我国相当于用赵爽弦图来代表我国国家的数学形象。
师总结：
我们学习一个知识，一定要知道它“从哪里来”，也就是它发现和研究的历史，也要知道它“到哪里去”，也就是它如何应用，这是接下来的课程的内容。
设计意图：
1、课件中用形象的时间轴同时呈现了勾股定理在中西方产生的背景和发展史。
在教师的引导下，学生的回答将相关的历史事件重新整合，在这个过程中教师和学生共同感受数学中的人文精神。
2、《中国学生发展核心素养》总体框架中谈到，“文化是人存在的根和魂”，文化基础包括“人文底蕴”、“科学精神”，本部分内容承载着这两个要素，勾股定理体现了数形结合的核心思想，是几何学的基石．文化育人环节通过让学生自主查阅资料拓展视野，了解数学史，感受数学文化，发展数学核心素养．
让学生感受古代我国数学文化的灿烂辉煌，增添学生的民族自豪感，培养其爱国情怀，从而达到情感态度与价值观目标，从中得到深层次的发展。
问题与情景
师生行为
设计意图
活
动
6
温
故
反
思，
思
维
升
华
学生小组交流后自由谈本节课的收获。
教师对学生的精彩发言予以恰当评价，注意纠正学生的错误与不足。
从基本知识，基本技能，基本数学思想，基本活动经验四个方面对所学内容做总结，整理出本节课的收获：
一个定理：
勾股定理
两个拼图方案：
赵爽弦图，毕达哥拉斯拼图
三种数学思想：
数形结合思想，方程思想，从特殊到一般思想
四步探究经验：
观察，猜想，实践，推理
布置自主作业
1．整理课堂中所提到的勾股定理的证明方法；
2．探究：
由一个直角三角形的三边生成的其它图形是否也满足一定的关系？
尝试画一画！
3．通过上网学习勾股定理的其他证明方法，并模仿其中一种方法证明之．
在本次活动中，老师应重点关注：
1）不同层次的学生对知识的理解程度。
2）学生是否从不同方面谈感受。
3）倾听他人的意见，体会合作学习的必要性。
通过提问的方式，引导学生小结本节重要的知识和思想方法，养成学习—总结—学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，培养学生语言表达能力。
附：
板书设计
17.1勾股定理（第一课时）
拼图：
证明：
数学方法：
割补法，等积法
勾股定理：
…数学思想：
数形结合
特殊到一般
方程思想
PPT展示区
六、目标检测设计：
在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：
本课的教学目标达成情况如下：
通过教学环节1,2,3，完成知识技能目标；
通过教学环节2,3，4，完成数学思考目标；
通过教学环节3，4，完成解决问题目标；
通过教学环节3，5,6，完成情感态度目标。
由于本堂课是一节探究课，主要是通过学生经历“观察—猜想---验证---证明”的探索过程，来探究、理解、思考勾股定理的证明方式及其本质，因此，以学生活动、讨论来达到教学的目标，没有设置习题和练习进行检测。
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