.
答案：
C
12．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）>0，f（x＋2）＝
对任意x∈R恒成立，则f（2023）＝________．
解析：
因为f（x）>0，f（x＋2）＝
，
所以f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝
＝
＝f（x），
则函数f（x）的周期为4，
所以f（2023）＝f（506×4－1）＝f（－1）．
因为函数f（x）为偶函数，
所以f（2023）＝f（－1）＝f
（1）．
当x＝－1时，f（－1＋2）＝
，得f
（1）＝
.
由f（x）>0，得f
（1）＝1，所以f（2023）＝f
（1）＝1.
答案：
1
13．设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.
（1）求f（π）的值；
（2）当－4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积．
解：
（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，
f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
所以f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4.
（2）由f（x）是奇函数且f（x＋2）＝－f（x），
得f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，
即f（1＋x）＝f（1－x）．
故知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，
则f（x）的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×
＝4.
[C级 素养提升]
14．（多选题）（2020·山东四校联考）已知偶函数f（x）满足f（x）＋f（2－x）＝0，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）是以2为周期的周期函数
B．函数f（x）是以4为周期的周期函数
C．函数f（x－1）为奇函数
D．函数f（x－3）为偶函数
解析：
偶函数f（x）满足f（x）＋f（2－x）＝0，
即有f（－x）＝f（x）＝－f（2－x），
即为f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
可得f（x）的最小正周期为4，故A错，B正确．
由f（x＋2）＝－f（x），得f（x＋1）＝－f（x－1）．
又f（－x－1）＝f（x＋1），则f（－x－1）＝－f（x－1），
故f（x－1）为奇函数，C正确．
由f（－x－3）＝f（x＋3），若f（x－3）为偶函数，即有f（－x－3）＝f（x－3），
得f（x＋3）＝f（x－3），所以f（x＋6）＝f（x）．
可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D不正确．
答案：
BC
素养培育
数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论（自主阅读）
1．奇函数的最值性质
已知函数f（x）是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若奇函数f（x）在D上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝0，且若0∈D，则f（0）＝0.
[典例1] 设函数f（x）＝
的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析：
显然函数f（x）的定义域为R.
f（x）＝
＝1＋
.
设g（x）＝
，则g（－x）＝－g（x），
所以g（x）为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，
所以M＋m＝g（x）max＋1＋g（x）min＋1＝2＋g（x）max＋g（x）min＝2.
答案：
2
2．抽象函数的周期性
（1）如果f（x＋a）＝－f（x）（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T＝2a.
（2）如果f（x＋a）＝
（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
（3）如果f（x＋a）＋f（x）＝c（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
[典例2] 已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x＋3）＝－f（x），且当x∈（0，3）时，f（x）＝x＋1，则f（－2023）＋f（2024）＝（ ）
A．3B．2C．1D．0
解析：
因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（－2023）＝－f（2023），
因为当x≥0时，有f（x＋3）＝－f（x），
所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），即当x≥0时，
自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．
又当x∈（0，3）时，f（x）＝x＋1，
所以f（2023）＝f（337×6＋1）＝f
（1）＝2，
f（2024）＝f（337×6＋2）＝f
（2）＝3.
故f（－2023）＋f（2024）＝－f（2023）＋3＝1.
答案：
C
3．抽象函数的对称性
已知函数f（x）是定义在R上的函数．
（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝
对称，特别地，若f（a＋x）＝f（a－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．
（2）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a－x）＝0，即f（x）＝－f（2a－x），则f（x）的图象关于点（a，0）对称．
[典例3] 函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减，且f（x＋1）是偶函数，不等式f（m＋2）≥f（x－1）对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[－3，1]
B．（－∞，－3]∪[1，＋∞）
C．[－4，2]
D．（－∞，－4]∪[2，＋∞）
解析：
由于f（x＋1）是偶函数，
所以f（－x＋1）＝f（x＋1），
因此函数y＝f（x）的图象关于x＝1对称．
由f（x）在[1，＋∞）上递减，知f（x）在（－∞，1]上递增．
又x∈[－1，0]，知x－1∈[－2，－1]，
若m＋2≤1时，f（m＋2）≥f（x－1）对x∈[－1，0]恒成立．
则m＋2≥x－1对x∈[－1，0]恒成立，
所以－3≤m≤－1；①
若m＋2>1时，f（m＋2）≥f（x－1）＝f（3－x）．
所以m＋2≤3－x对x∈[－1，0]恒成立，
则－1由①②知，实数m的取值范围是[－3，1]．
答案：
A
[典例4] 函数y＝f（x）对任意x∈R都有f（x＋2）＝f（－x）成立，且函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，f
（1）＝4，则f（2020）＋f（2021）＋f（2022）的值为________．
解析：
因为函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，
所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）是R上的奇函数，
f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
故f（x）的周期为4.
所以f（2021）＝f（505×4＋1）＝f
（1）＝4，
所以f（2020）＋f（2022）＝f（2020）－f（2020）＝0
所以f（2020）＋f（2021）＋f（2022）＝4.
答案：
4
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