三角函数的有关概念同角三角函数的关系式和诱导公式.docx
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三角函数的有关概念同角三角函数的关系式和诱导公式
第四章 三角函数
第1讲 三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式
考纲展示 命题探究
1 三角函数的有关概念
（1）终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
（2）角度与弧度的互化
①360°＝2πrad；②180°＝πrad；
③1°＝rad；④1rad＝°≈57.30°.
（3）弧长及扇形面积公式
①弧长公式：
l＝|α|r；
②扇形面积公式：
S＝lr＝|α|r2.
其中l为扇形弧长，α为圆心角，r为扇形半径．
（4）任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P（与原点不重合）的坐标为（x，y），它到原点的距离是r＝.
三角函数
定义
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
（5）三角函数在各象限的符号
记忆口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
（6）三角函数线
角所在
的象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
图形
2 同角三角函数基本关系式
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1.
（2）商数关系：
tanα＝.
3 诱导公式及记忆规律
（1）诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα
—
—
（2）诱导公式的记忆规律
①诱导公式可简记为：
奇变偶不变，符号看象限．
②“奇”“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k为奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．
③“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
注意点 应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取
（1）利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号．
（2）利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍.
1．思维辨析
（1）120°角的正弦值是，余弦值是－.（ ）
（2）同角三角函数关系式中的角α是任意角．（ ）
（3）六组诱导公式中的角α可以是任意角．（ ）
（4）诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．（ ）
（5）锐角是第一象限角，反之亦然．（ ）
（6）终边相同的角的同一三角函数值相等．（ ）
答案
（1）×
（2）× （3）× （4）√ （5）× （6）√
2．已知角α的终边经过点（－4,3），则cosα＝（ ）
A.B.
C．－D．－
答案 D
解析 由三角函数的定义知cosα＝＝－.故选D.
3．
（1）角－870°的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
（2）弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．
答案
（1）C
（2）4 6π
解析
（1）因为－870°＝－2×360°－150°，又－150°是第三象限角，所以－870°的终边在第三象限．
（2）弧长l＝3π，圆心角α＝π，由弧长公式l＝|α|·r，得r＝＝＝4，面积S＝lr＝6π.
[考法综述] 对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合．如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力．
命题法 三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用
典例
（1）已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为（ ）
A．－B.
C．－D.
（2）若角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，则cosθ的值为________．
（3）已知扇形周长为40，当它的半径r＝________和圆心角θ＝________分别取何值时，扇形的面积取最大值？
（4）已知cos＝，则sin＝________.
[解析]
（1）∵<α<，
∴cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，
∴cosα－sinα>0.
又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，
∴cosα－sinα＝.
（2）点P（－，m）是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sinθ＝.又sinθ＝m，
∴＝m.
又m≠0，∴m2＝5，
∴cosθ＝＝－.
（3）设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
又S＝θr2＝r（40－2r）＝r（20－r）＝－（r－10）2＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.
∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．
（4）∵＋＝－，
∴α－＝－－，
∴sin＝sin，
＝－cos＝－.
[答案]
（1）B
（2）－ （3）10 2 （4）－
【解题法】 同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤
（1）同角关系式的应用技巧
①弦切互化法：
主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦函数．
②和积转换法：
如利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．
③巧用“1”的变换：
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝sin2θ.
（2）使用诱导公式的原则和步骤
①原则：
负化正、大化小、化到锐角为终了．
②步骤：
利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～之间角的三角函数，然后求值．
1.若tanα＝2tan，则＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案 C
解析 ＝
＝＝
＝
＝＝＝3，故选C.
2．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（ ）
A．a>b>cB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
答案 C
解析 ∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，
c＝tan35°＝，
∴>sin35°>sin33°.∴c>b>a，选C.
3．已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．2B．1
C.D．3
答案 A
解析 设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r（4－2r）＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.
从而α＝＝＝2.
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
答案 －8
解析 若角α终边上任意一点P（x，y），|OP|＝r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.P（4，y）是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ＝，又sinθ＝－，
∴＝－，且y<0，解得y＝－8.
5.若α∈，则的最大值为________．
答案
解析 ∵α∈，∴tanα>0，
∴＝＝＝≤，当且仅当tanα＝2时取等号．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sinx，cosx），x∈.
（1）若m⊥n，求tanx的值；
（2）若m与n的夹角为，求x的值．
解
（1）∵m⊥n，∴m·n＝0.
故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1.
（2）∵m与n的夹角为，∴cos〈m，n〉＝＝＝，故sin＝.
又x∈，∴x－∈，x－＝，即x＝，故x的值为.
已知角α的终边在直线2x－y＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值．
[错解]
[错因分析] 直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解．
[正解] 在直线2x＋y＝0上取点（m,2m）（m≠0）
则r＝|m|，
当m>0时，r＝m，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2.
当m<0时，r＝－m，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝2.
[心得体会]
………………………………………………
………………………………………………
时间：
45分钟
基础组
1．[2016·冀州中学期中]已知角α的终边过点P（－a，－3a），a≠0，则sinα＝（ ）
A.或B.
C.或－D.或－
答案 D
解析 当a>0时，角α的终边过点（－1，－3），利用三角函数的定义可得sinα＝－；当a<0时，角α的终边过点（1,3），利用三角函数的定义可得sinα＝.故选D.
2.[2016·衡水中学仿真]若sinα＋cosα＝（0<α<π），则tanα等于（ ）
A．－B.
C．－D.
答案 C
解析 由sinα＋cosα＝，两边平方得
1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，
又2sinαcosα<0,0<α<π.
∴<α<π.∴sinα－cosα>0.
∵（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝，
∴sinα－cosα＝.
由得∴tanα＝－.
3．[2016·枣强中学预测]设集合M＝·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝·180°＋45°，k∈Z，那么（ ）
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
答案 B
解析 M＝＝，故当集合N中的k为偶数时，M＝N，当k为奇数时，在集合M中不存在，故M⊆N.
4．[2016·冀州中学一轮检测]已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝（ ）
A．－2B．2
C．0D.
答案 B
解析 由角θ的终边在直线2x－y＝0上，可得tanθ＝2，原式＝＝＝2.
5．[2016·武邑中学一轮检测]已知sinα－cosα＝，α∈（0，π），则tanα＝（ ）
A．－1B．－
C.D．1
答案 A
解析 解法一：
由sinα－cosα＝sin＝，
α∈（0，π），解得α＝，∴tanα＝tan＝－1.
解法二：
由sinα－cosα＝及sin2α＋cos2α＝1，得（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1<0，故tanα<0，且2sinαcosα＝＝＝－1，解得tanα＝－1（正值舍）．
6．[2016·武邑中学月考]已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为（ ）
A.B.
C.D.
答案 B
解析 ∵sin＝，cos＝－，∴角x的终边经过点，tanx＝－，∴x＝2kπ＋π，k∈Z，∴角x的最小正值为.
7.[2016·衡水中学热身]已知函数f（x）＝sinx－cosx，且f′（x）＝2f（x），则tan2x的值是（ ）
A．－B.
C．－D.
答案 C
解析 因为f（x）＝sinx－cosx，所以f′（x）＝cosx＋sinx，于是有cosx＋sinx＝2（sinx－cosx），整理得sinx＝3cosx，所以tanx＝3，因此tan2x＝＝＝－，故选C.
8．[2016·衡水二中期中]已知sin（π－α）＝log8，且α∈，则tan（2π－α）的值为（ ）
A．－B.
C．±D.
答案 B
解析 sin（π－α）＝sinα＝log8＝－，
又因为α∈，则cosα＝＝，所以tan（2π－α）＝tan（－α）＝－tanα＝－＝.
9．[2016·武邑中学预测]在三角形ABC中，若sinA＋cosA＝，则tanA＝（ ）
A.B．－
C．－D．±
答案 B
解析 解法一：
因为sinA＋cosA＝，所以（sinA＋cosA）2＝2，所以1＋2sinAcosA＝，所以sinAcosA＝－.
又A∈（0，π），所以sinA>0，cosA<0.
因为sinA＋cosA＝，sinAcosA＝－，所以sinA，cosA是一元二次方程x2－x－＝0的两个根，
解方程得sinA＝，cosA＝－，所以tanA＝－.故选B.
解法二：
由解法一，得sinA>0，cosA<0，又sinA＋cosA＝>0，所以|sinA|>|cosA|，所以10．[2016·枣强中学模拟]已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝________.
答案 0
解析 原式＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以cosα＋sinα＝－1＋1＝0，即原式等于0.
11.[2016·武邑中学猜题]设f（α）＝，则f＝________.
答案
解析 ∵f（α）＝
＝＝＝，
∴f＝＝
＝＝.
能力组
12.[2016·冀州中学仿真]已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A.B.
C.D.
答案 B
解析 S扇＝|α|r2＝|α|×1＝，所以|α|＝.
13．[2016·武邑中学预测]已知sin（3π－α）＝－2sin，则sinαcosα等于（ ）
A．－B.
C.或－D．－
答案 A
解析 因为sin（3π－α）＝sin（π－α）＝－2sin，
所以sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2，
所以sinαcosα＝＝＝－.
14．[2016·衡水二中模拟]已知α∈（0，π）且sinα＋cosα＝m（0A．为正B．为负
C．为零D．为正或负
答案 B
解析 若0<α<，如图所示，在单位圆中，P（cosα，sinα），OM＝cosα，MP＝sinα，所以sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.若α＝，则sinα＋cosα＝1.由已知015．[2016·枣强中学期末]△ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为（sinA－cosB，cosA－sinC），则＋＋的值是（ ）
A．1B．－1
C．3D．4
答案 B
解析 因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin（90°－B）＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1，故选B.
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