第七章 1 11 随机现象 12 样本空间 13 随机事件.docx

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第七章111随机现象12样本空间13随机事件

§1　随机现象与随机事件

1．1　随机现象

1．2　样本空间

1．3　随机事件

学习目标

　1.结合具体实例，理解样本点和样本空间的含义.2.能够在实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念.3.理解随机事件与样本点的关系．

知识点一　随机现象

定义

特点

确定性现象

在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象

结果是必然的

随机现象

在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象

（1）结果至少有2种

（2）事先并不知道会出现哪一种结果

知识点二　样本空间

定义

表示符号

样本空间

将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间

Ω

样本点

样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点

ω

有限样本空间

如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间

Ω

思考　对于同一试验E的样本点与样本空间是什么关系？

答案　样本空间是集合，样本点是样本空间里的元素．

知识点三　随机事件

定义

随机事件

把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示

必然事件

样本空间Ω包含了所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件

不可能事件

空集∅不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件

思考　事件的分类是确定的吗？

答案　事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．

1．如果试验E的样本空间中只含有一个样本点，则它是有限样本空间．（　√　）

2．样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω是一个事件．（　√　）

3．空集∅不含任何样本点，因此空集∅不是一个事件．（　×　）

4．“瑞雪兆丰年”是随机事件．（　√　）

一、事件类型的判断

例1　（多选）下列事件是随机事件的是（　　）

A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷

C．春霜不出三日雨D．梅子黄时日日晴

答案　ACD

解析　B是必然事件，ACD是随机事件．

反思感悟　对事件类型判断的两个关键点

（1）条件：

在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．

（2）结果发生与否：

若一定发生的，则为必然事件；一定不发生的，则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件．

跟踪训练1　（多选）下列事件不是随机事件的是（　　）

A．从分别标有1,2,3,4的4个乒乓球中任取一个，得到1号球

B．在标准大气压下，水加热到60℃时会沸腾

C．对顶角相等

D．同时掷两枚硬币，落地后都是反面向上

答案　BC

解析　AD是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件．

二、求样本空间

例2　下列随机事件中，一次试验各指什么？

试写出试验的样本空间．

（1）先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；

（2）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取3个球．

解　

（1）一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为{（正，反），（正，正），（反，反），（反，正）}．

（2）一次试验是指“从袋中4个球中取3个球”，试验的样本空间为{（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d）}．

延伸探究

若本例

（2）中的问法改为任取2个球呢？

解　一次试验是指“从袋中4个球中取2个球”，试验的样本空间为{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}．

反思感悟　确定样本空间的方法

（1）当样本点个数较少时，可用列举法直接列出所有样本点．

（2）当样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法、列表等方法解决．

跟踪训练2　王老师开车上班要过三个十字路口，表示他在三个路口是否遇到红灯的情况，请选择合适的方法表示样本点，并写出样本空间．

解　用0表示本次没遇到红灯，1表示遇到红灯，则样本空间为{（0,0,0），（0,0,1），（0,1,0），（1,0,0），（0,1,1），（1,0,1），（1,1,0），（1,1,1）}．

三、事件与样本空间

例3　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）．

（1）写出这个试验的样本空间；

（2）求这个试验的样本点的总数；

（3）“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？

“x<3且y>1”呢？

（4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？

“x＝y”呢？

解　

（1）Ω＝{（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）}．

（2）样本点的总数为16.

（3）“x＋y＝5”包含以下4个样本点：

（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：

（1,2），（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4）．

（4）“xy＝4”包含以下3个样本点：

（1,4），（2,2），（4,1）；“x＝y”包含以下4个样本点：

（1,1），（2,2），（3,3），（4,4）．

反思感悟　事件与样本空间的两种题型与求解策略

（1）随机事件的表示，先列出所有的样本点，再确定要求的随机事件包含哪些样本点，把这些样本点作为元素表示成集合即可．

（2）说明随机事件的含义，要先理解事件中样本点的意义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义．

跟踪训练3　做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：

（1）这个试验的样本空间；

（2）这个试验的结果的个数；

（3）指出事件A＝{（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）}的含义．

解　

（1）这个试验的样本空间Ω为

{（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），

（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），

（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），

（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），

（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），

（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）}．

（2）这个试验的结果的个数为36.

（3）事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.

1．下列现象是确定性现象的是（　　）

A．2022年世界杯足球赛期间不下雨

B．若a是偶数，则a＋2也是偶数

C．对任意x∈R，有x＋1>2x

D．抛掷一枚硬币，正面朝上

答案　B

解析　ACD是随机现象，B是确定性现象．

2．（多选）下列事件中，是随机事件的为（　　）

A．方程ax＋b＝0有一个实数根

B．在标准大气压下，－2℃水已结冰

C．在常温下，锡块熔化

D．若a>b，那么ac>bc

答案　AD

3．先后两次掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．若事件A：

点数之和为3，则A事件包含的样本点为（　　）

A．（3）B．（3,3）

C．（1,2），（2,1）D．（3），（1,2），（2,1）

答案　C

解析　用（1,2）表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，则可知所有样本点均可表示成（i，j）的形式，其中i，j都是1,2,3,4,5,6中的数，由题意A＝{（1,2），（2,1）}．

4．用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{（红，红），（黑，黑），（黄，黄）}，则事件A的含义是______________________．

答案　甲、乙两个小球所涂颜色相同

解析　每个样本点中两个字分别表示甲、乙两个小球所涂的颜色，A事件中颜色相同，所以事件A的含义是“甲、乙两个小球所涂颜色相同”．

5．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为__________________________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．

答案　Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　5

解析　任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5个，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.

1．知识清单：

（1）随机事件、必然事件、不可能事件的概念．

（2）实际问题中样本空间及样本点的求法．

（3）随机事件的含义，随机事件的样本空间的表示．

2．方法归纳：

列举法．

3．常见误区：

因未按照一定的顺序列举样本点，导致样本点重复或遗漏．

1．（多选）下列说法正确的是（　　）

A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件

B．“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件

C．“一个三角形的大边对的角小、小边对的角大”是必然事件

D．“从100个灯泡（有10个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件

答案　ABD

解析　A正确，因为无论怎么放，其中一个盒子的球的个数都不小于2；B正确，因为无论x为何实数，x2<0均不可能发生；C错误，三角形中大边对大角，所以③是不可能事件；D正确，因为“从100个灯泡（有10个是次品）中取出5个，5个都是次品”这件事有可能发生，也有可能不发生，确实是随机事件．

2．先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　　）

A．“至少一枚硬币正面向上”

B．“只有一枚硬币正面向上”

C．“两枚硬币都是正面向上”

D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”

答案　A

解析　“至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”，“1分向下，2分向上”，“1分，2分都向上”三个样本点．

3．同时投掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是（　　）

A．3B．4C．5D．6

答案　D

解析　有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1），共6个样本点．

4．（多选）已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的命题正确的是（　　）

A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件

B．若任取x∉A，则x∈B是不可能事件

C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件

D．若任取x∉B，则x∉A是必然事件

答案　ACD

解析　∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此A正确，B错误，C正确，D正确.

5．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有（　　）

A．7个B．8个

C．9个D．10个

答案　C

解析　“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数．故选C.

6．质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．

答案　随机

解析　质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件．

7．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．

答案　4

解析　从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），共10种情况，其中（1,2,4），（1,3,5），（2,3,4），（2,4,5）中三个数字之和为奇数．

8．在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有________个，若事件A＝{（1,1），（2,2），（3,3），（4,4），（5,5），（6,6）}，则事件A的含义是________．

答案　5　两次掷出的点数相同

解析　点数之和为8的样本点为（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2），共5个；A事件的每个样本点中两数字相同，说明两次掷出的点数相同．

9．柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义．

（1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；

（2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；

（3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．

解　

（1）事件M的含义“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．

（2）事件N的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．

（3）事件P的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”．

10．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．

（1）写出该事件的样本空间Ω；

（2）写出事件A，事件B包含的样本点的集合；

（3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？

解　

（1）Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．

（2）A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；

B＝{S7，S8，S9，S10}．

（3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45（种）．

11．下列事件中，为必然事件的是（　　）

A．10人中至少有2人生日在同一个月

B．11人中至少有2人生日在同一个月

C．12人中至少有2人生日在同一个月

D．13人中至少有2人生日在同一个月

答案　D

解析　一年有12个月，因此无论10,11,12个人都有不在同一月出生的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月出生．

12．任意说出星期一到星期日中的两天（不重复），则随机事件A：

恰有一天是星期六，A包含的样本点个数是（　　）

A．3B．4C．5D．6

答案　D

解析　A＝{（1,6），（2,6），（3,6），（4,6），（5,6），（6,7）}共有6个样本点．

13．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：

①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；

②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；

③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；

④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于9.

其中________是必然事件；______是不可能事件；________是随机事件．（填序号）

答案　③④　②　①

解析　200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于9.

14．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用（x，y）表示一个样本点．则满足条件“

为整数”这一事件包含样本点的个数为________．

答案　8

解析　先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）}，共16个样本点．

用A表示满足条件“

为整数”的事件，则A＝{（1,1），（2,1），（2,2），（3,1），（3,3），（4,1），（4,2），（4,4）}，共8个样本点．

15．下列事件中是随机事件的是（　　）

A．在数轴上向区间（0,1）内投点，点落在区间（0,1）内

B．在数轴上向区间（0,1）内投点，点落在区间（0,2）内

C．在数轴上向区间（0,2）内投点，点落在区间（0,1）内

D．在数轴上向区间（0,2）内投点，点落在区间（－1,0）内

答案　C

解析　当x∈（0,1）时，必有x∈（0,1），x∈（0,2），所以A和B都是必然事件；

当x∈（0,2）时，有x∈（0,1）或x∉（0,1），所以C是随机事件；当x∈（0,2）时，必有x∉（－1,0），所以D是不可能事件．

16．如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．

（1）写出试验的样本空间；

（2）用集合表示下列事件：

M＝“恰好两个元件正常”；

N＝“电路是通路”；

T＝“电路是断路”．

解　

（1）分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用（x1，x2，x3）表示．进一步地，用1表示元件“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω＝{（0,0,0），（1,0,0），（0,1,0），（0,0,1），（1,1,0），（1,0,1），（0,1,1），（1,1,1）}．

如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果．

（2）“恰好两个元件正常”等价于（x1，x2，x3）∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1.

所以M＝{（1,1,0），（1,0,1），（0,1,1）}．

“电路是通路”等价于（x1，x2，x3）∈Ω，x1＝1，且x2，x3中至少有一个是1，所以N＝{（1,1,0），（1,0,1），（1,1,1）}．

同理，“电路是断路”等价于（x1，x2，x3）∈Ω，x1＝0，或x1＝1，x2＝x3＝0.

所以T＝{（0,0,0），（0,1,0），（0,0,1），（0,1,1），（1,0,0）}．