最短路径问题专项练习题.docx

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最短路径问题专项练习题

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最短路径问题专项练习

共13页，全面复习与联系最短路径问题

一、具体内容包括：

蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；

线段（之和）最短问题；

二、原理：

B两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）

1．最短路径问题

A

（1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线

的交点即为所求．

如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在

l上找一个点C，使CA＋CB最短，

这时点C是直线l与AB的交点．

（2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，

B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：

证明：

由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

所以直线l是线段BB′的垂直平分线．

因为点C与C′在直线l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，

所以AC＋BC＜AC′＋C′B.

【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

分析：

先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的

交点M即为所求的点．

解：

如图所示：

（1）作点B关于直线l的对称点B′；

（2）连接AB′交直线l于点M.

（3）则点M即为所求的点．

点拨：

运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用

“两点之间线段最短”解决问题.

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2.运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距

离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到

直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的

三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，

不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

3．利用平移确定最短路径选址

选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点

的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与

原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值

或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为

零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

（1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

（2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

分析：

（1）到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离

相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．

（2）要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A（或B）

点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．

解：

（1）如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B

的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于1

2AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作

直线，与EF的交点P即为所求．

（2）如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．

【例3】如图，从A地到B地经过一条小河（河岸平行），今欲在河上建一座与两岸垂直

的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

思路导引：

从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使

路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C

到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即

为所建的桥．

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解：

（1）如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．

（2）连接BC与河岸的一边交于点N.

（3）过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.

则MN为所建的桥的位置．

4．生活中的距离最短问题

由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运

用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对

称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的

长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．

【例4】（实际应用题）茅坪民族中学八

（2）班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排（图中的AO，BO），AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

图a

图b

解：

如图b.

（1）作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，

（2）连接C1D1，分别交OA，

OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．

5.运用轴对称解决距离之差最大问题

利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．

先做出其中一点关于

对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，

所得直线与对称轴的交点，

即为所求．根据垂

直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．

破疑点

解决距离的最值问题的关键

运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距

离的最值问题的有效方法．

【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．

分析：

此题的突破点是作点A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），作直线A′B（AB′）

与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．

解：

如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：

在直线l上任找一点C′（异于点C），连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.

点拨：

根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．

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三、例题：

例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点

A沿木块侧

面爬到点B处，则它爬行的最短路径是

。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它

要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是

。

D

C

A

B

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

李庄B

张村A

L

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。

请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边

的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长

度为

。

李庄

张村

四、练习题（巩固提高）

（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，

它要沿着木块侧面爬到点

D处，则蚂蚁爬行的最短路径是

。

D

B

B

C

A

A

B

A

第1题

A

题

第3题

第2

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值

为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食

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物，知圆柱体的高为5cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径

为。

4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN

的最小值为。

A

D

D

P

AC

E

OC

P

B

B

第4题

图

（2）

第6题

第7题

第5题

图（3）

5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的

一个动点，则PE+PB的最小值为

。

6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上

一动点，则EC＋ED的最小值为____

___。

⌒

⌒⌒

7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD=2CD，

点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为____

___。

（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交

OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。

9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。

10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交

AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长。

11、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，

M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），

当n=时，AC+BC的值最小．

DC

P

F

AEB

第11题第14题第15题

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13、△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，

PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于．

14、如图，菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上

的动点，则PE+PF的最小值为___________.

15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．

（三）16、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。

试画出图形，并说明理由。

17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们

的坐标：

B′、C′；

归纳与发现：

（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：

坐标

平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角

平分线l的对称点P′的坐标为；

运用与拓广：

（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试

在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的

距离之和最小，并求出Q点坐标．

18、几何模型：

条件：

如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问

题：

在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：

作点A关于直线l的对称点A，连结AB

交l于点P，则PAPBAB的值最小（不必

证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则

PBPE的最小值是___________；

（2）如图2，

⊙O

的半径为2，点

A、B、C

在

⊙O

上，

OA

OB

，

AOC60°

，P

是OB上一动点，求PA

PC的最小值；

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（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是动点，求△PQR周长的最小值．

B

B

A

A

E

C

l

A

B

C图2

O

B

P

P

图1

O

A

OA、OB上的

B

RP

QA

图3

19、问题探究

D

（1）如图①，四边形ABCD是正方形，AB

10cm，E为边BC的中点，P为BD

上的一个动点，求PC

PE的最小值；

（2）如图②，若四边形

ABCD

是菱形，

AB

10cm

，

ABC45°

BC

上

，E为边

的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC

PE的最小值；

问题解决（3）如图③，若四边形

ABCD是矩形，AB

10cm，BC

20cm，E为

边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC

PE的最小值；

A

D

A

D

A

D

P

B

C

C

BE

C

B

20.如图，在直角坐标系中，点

A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点

O顺时针旋转

。

120，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：

本题中的结果均保留根号）

。

在Rt△OBD

解：

（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：

OB=OA=2，∠BOD=60.

。

。

中，∠ODB=90，∠OBD=30.

∴OD=1，DB=3

∴点B的坐标是（1，

3）.

（2）设所求抛物线的解析式为yax2bxc，由已

知可得：

c

0

a

bc

3

4a

2b

c0

解得：

a

3,b

23,c

0.

3

3

∴所求抛物线解析式为y

3

x2

23

x.

3

3

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（3）存在.

由y

3x2

23x配方后得：

y

3x1

2

3

3

3

3

3

∴抛物线的对称轴为x=－1.

（也写用顶点坐标公式求出）

∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小.

∵点O与点A关于直线x=－1对称，有CO=CA.

△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.

∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小.

设直线AB的解析式为y

kx

b,则有:

k

b

3

2kb

0

解得：

k

3,b

23.

∴直线AB的解析式为y

3x

2

3.

3

3

3

3

当

x

=－1时，

3

∴所求点

的坐标为（－

，

3

）.

y.

C

1

3

3

21、如图，抛物线yax2

bx

c的顶点

P

的坐标为

，4

3

，交x轴于A、B两

1

3

点，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式．

（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．

判断四边形ADBC的形状，并说明理由．

（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，

若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由题意知

y

D

AOE

B

x

C

P

解得a

3，b

2

3

-------------3

分

3

3

（列出方程组给

1分，解出给2分）

∴抛物线的解析式为y

3

x2

23

x3-----------4

分

3

3

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（2）设点A（x1，0），B（x2，0），则

3x2

2

3x30，

3

3

解得x1

1，x2

3

-------------5

分

∴∣

OA∣＝，∣OB∣＝

．又∵

tan

∠OCB＝

|OB|

1

3

3

|OC|

∴∠OCB＝

°，同理可求∠OCA＝

°．∴∠ACB＝

90

°

----------6

分

60

30

由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD

∴四边形ADBC是平行四边形

----------------------------

7

分

又∵∠

ACB

ADBC--------------------------

8

分

＝90°．∴四边形

是矩形

（3）延长BC至N，使CN

CB．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．

即FDFBDB最小．

∵

DB固定长．∴只要

FDFB最小．又∵CA⊥BN

+

∴

FDFB＝FDFN．

+

+